Pascal háromszög

Binomiális tétel kimondja, hogy kéttagú kifejezések pozitív egész kitevőjű hatványának rendezett polinom alakban történő felírásakor a következő kifejezéseket kapjuk:

Ha a és b tetszőleges valós számok és n pozitív egész szám, akkor:

A tételben szereplő ​\( \binom{n}{k}​ \)​ együtthatókat binomiális együtthatóknak is nevezik.

Pascal francia matematikus 1654-ben (a +b)n binomiális együtthatókat tanulmányozta és módszert adott kiszámításukra.

(a+b)0 = 1 =  ​\( \binom{0}{0}​ \)
(a+b)1 = a+b =  ​\( \binom{1}{0}​ \) a+​\( \binom{1}{1}​ \)​ b
(a+b)2 = a2+2ab+b2 =  ​\( \binom{2}{0}​ \)​a+ ​\( \binom{2}{1}​ \)​ 2ab+ ​\( \binom{2}{2}​ \)​ b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = \( \binom{3}{0}​ \)​ a3+​\( \binom{3}{1}​ \)​a2b+​\( \binom{3}{2}​ \)​ab2+​\( \binom{3}{3}​ \)​b3

Rendezzük el a binomiális együtthatókat egy táblázatban:

 \( \binom{0}{0}​ \)
 \( \binom{1}{0}​ \)  \( \binom{1}{1}​ \)
 \( \binom{2}{0}​ \)  \( \binom{2}{1}​ \)  \( \binom{2}{2}​ \)
 \( \binom{3}{0}​ \)  \( \binom{3}{1}​ \)  \( \binom{3}{2}​ \) \( \binom{3}{3}​ \)
 \( \binom{4}{0}​ \) \( \binom{4}{1}​ \) \( \binom{4}{2}​ \) \( \binom{4}{3}​ \)  \( \binom{4}{4}​ \)
 \( \binom{5}{0}​ \)  \( \binom{5}{1}​ \)  \( \binom{5}{2}​ \)  \( \binom{5}{3}​ \)  \( \binom{5}{4}​ \) \( \binom{5}{5}​ \)
Pascal háromszög

És így tovább.

Most helyezzük el a binomiális együtthatók értékeit egy hasonló táblázatba:

A binomiális együtthatóknak ezt az elrendezését nevezzük Pascal háromszögnek.

 

A háromszög minden sora 1-gyel kezdődik, és 1-gyel végződik.
Ebben a háromszög elrendezésben a 2. sortól kezdve a sorok bármely belső száma a felette lévő sorban balról és jobbról álló két számnak az összege.

Így nagyon gyorsan ki lehet tölteni a következő sort, amely a következő binom polinom alakjához használható:

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.

Az előbb megfigyelt összefüggés általánosan felírva:

\( \binom{n}{k}​ \)​+​\( \binom{n}{k+1}​ \)​=​\( \binom{n+1}{k+1}​ \)

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.