Binomiális tétel

​Nézzük meg a kéttagú kifejezések pozitív egész kitevőjű hatványának rendezett polinom alakban történő felírásakor kapott kifejezéseket!

(a+b)2=a2+2ab+b2.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Ezeket a polinomokat a hatványozás elvégzésével, és az összevonásokkal viszonylag könnyen meg tudtuk kapni.

Ha azonban egy kicsit általánosabban próbáljuk ezt problémát megközelíteni, akkor a kérdés úgy vethető fel, hogyan írható rendezett polinom alakban az (a+b)n kifejezés? Az egyes tagokban milyen változók milyen kitevőkön fordulnak elő, és a tagokban milyen együtthatók szerepelnek?

Változóként most az “a” és a “b” használjuk. A kitevők és az együtthatók meghatározása kombinatorikai meggondolásokat igényel.

Nézzük az (a+b)5 kifejezést, amely szorzatként kiírva:

(a+b)5=(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)⋅(a+b)

A tényezők a és b tagjai közül minden lehetséges módon össze kell szorozni egyet-egyet. Az így kapott egyes tagokat és a bennük szereplő változók kitevőit az alábbi meggondolással lehet meghatározni:

Ha minden tényezőből az a-t választjuk: a5.
Ha a-t négy tényezőből, b-t egyből: a4b.
Ha a-t háromból, b-t pedig kettőből: a3b2.
Ha a-t két tényezőből, b-t pedig háromból: a2b3.
Ha a-t egy tényezőből, a b-t pedig négyből: ab4.
Ha minden tényezőből b-t választjuk: b5.

Az a5, a4b, a3b2, a2b3, ab4, b5 tagok együtthatói azok a számok, amelyek megadják, hogy az 5 tényezőből hányféleképpen lehet kiválasztani azokat a tényezőket, amelyek a megfelelő számú (kitevőjű) b tényezőt adják. Ezek az együtthatók tehát 5-nek megfelelő számú kombinációja lesz. Ennek megfelelően:

Az a5 tag együtthatója 5-nek 0-ad fokú kombinációja: \( \binom{5}{0}​ \) = 1
Az a4b tag együtthatója 5-nek első fokú kombinációja. \( \binom{5}{1}​ \) = 5
Az a3b2 együtthatója 5-nek 2-od fokú kombinációja \( \binom{5}{2}​ \) = 10
Az a2b3 együtthatója 5-nek 3-ad fokú kombinációja  ​\( \binom{5}{3}​ \) = 10
Az ab4 együtthatója 5-nek 4-ed fokú kombinációja.  ​\( \binom{5}{4}​ \) = 5
Az b5 együtthatója 5-nek 5-öd fokú kombinációja. \( \binom{5}{5}​ \) = 1

Tehát:

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.

Tétel:

Ha a és b tetszőleges valós számok és n pozitív egész szám, akkor:

A tételben szereplő \( \binom{n}{k}​ \)​együtthatókat binomiális együtthatóknak is nevezik.

A fenti meggondolások és számítások azt sejtetik, hogy a tétel állítása igaz.

A tétel bizonyítása továbbiakban teljes indukcióval lenne lehetséges, amelytől itt most eltekintünk.

A binomiális tételben szereplő polinom n+1 tagú. Az ilyen sok tagból álló összeg leírására a matematikában egy rövidebb jelölést használnak.

A binomiális tétel rövidebb alakja: ​\( {{\left(a+b\right)}}^n=\sum_{i=0}^{n}{a^{n-i}b^{i}} \). ​​Az ebben szereplő Σ szimbólum, a görög abc szigma betűje jelöli az összegzés műveletét. A binomiális tétel Newton nevéhez kötődik.

Pascal francia matematikus 1654-ben (a +b)n binomiális együtthatókat tanulmányozta és a Pascal háromszöggel módszert adott kiszámításukra.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.