Nevezetes szorzatok

Azonosságok:

1. Kéttagú összeg illetve különbség négyzete.
2. Két tag különbségének és összegének a szorzata.
3. Háromtagú összeg négyzete.
4. Kéttagú összeg illetve különbség harmadik hatványa.
5. Két tag köbének összege és különbsége.

1. Kéttagú összeg ill. különbség négyzete.

Szavakkal: Egy kéttagú kifejezés négyzete egyenlő az első tag négyzetének, az első és második tag előjeles szorzatának kétszeresének és a második tag négyzetének összegével.
Formulával: (a+b)²=a²+2ab+b². (Szorzat alak, összeg alak.)

Példa: ​​\( \left(3x±\frac{2}{5}y\right)^2=9x^2±\frac{12}{5}xy+\frac{4}{25}y^2 \)​

2. Két tag különbségének és összegének a szorzata.

Szavakkal: Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag négyzetének különbségével.
Formulával: (a+b)(a-b)=a²-b². (Szorzat alak, összeg alak.)

Példa: ​\( \left(\frac{2}{3}x+7y \right)\left(\frac{2}{3}x-7y\right)=\left(\frac{2}{3}x \right) ^2-(7y)^2=\frac{4}{9}x^2-49y^2 \)​

3. Háromtagú összeg négyzete.

Szavakkal: Egy háromtagú összeg négyzete egyenlő a tagok négyzeteinek és a lehetséges kétszeres szorzataiknak összegével.
Formulával: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc. (Szorzat alak, összeg alak.)

4. Kéttagú összeg illetve különbség harmadik hatványa.

Formulával: (Szorzat alak, összeg alak.)

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Megjegyzés: Két tag összegének (ill. különbségének) tetszőleges pozitív egész kitevőjű hatványára, azaz kifejezésre vonatkozó általános összefüggést a binomiális tétel tartalmazza.

5. Két tag köbének összege és különbsége.

Formulával: (Szorzat alak, összeg alak.)

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

Alkalmazás

• Algebrai törtekkel végzett műveleteknél. Egyszerűsítés, közös nevezőre hozás.
• Törtek gyöktelenítése.

Feladat:

Végezzük el a következő műveleteket a következő algebrai kifejezésben!

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 288. feladat.)

Megoldás:

Alakítsuk szorzattá amit lehet a fenti azonosságok segítségével:
Most már az értelmezési tartományt is könnyebb meghatározni!	a,b∈ℝ; |a|≠|b|; b2+4ab-a2≠0
Az első zárójelben szereplő törtek közös nevezője:	(a+b)2⋅(a-b)2
A közös nevezőre hozás után:
Az első tört számlálójában felbontjuk a zárójeleket:
Az első tört számlálójában elvégezzük a lehetséges összevonásokat:
Az osztó tört reciprokával szorzunk:
Észrevehetjük, hogy a második tört nevezője az első tört számlálójának az ellentettje:
Elvégezzük a lehetséges egyszerűsítéseket:
Tehát a végeredmény: