Nevezetes közepek közötti összefüggések

Állítás:

Az egyes nevezetes közepek között a következő relációk érvényesek adott  nem-negatív valós számok esetén:

Harmonikus közép (H) ≤ Geometria közép (G)≤ Számtani közép (A)≤ Négyzetes közép.
Egyenlőség csak egyenlő számok esetén áll fenn.

Formulával (két szám esetére):

\( H(a;b)=\frac{2ab}{a+b}≤G(a;b)=\sqrt{a·b}≤A(a;b)=\frac{a+b}{2}≤N(a,b)=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \)​​

A számtani és mértani közép közötti  ​\( G(a;b)=\sqrt{a·b}≤A(a;b)=\frac{a+b}{2} \)​ összefüggés bizonyítását itt láthatod.

Bizonyítandó még tehát, hogy:​

​ 1. \( H(a;b)=\frac{2ab}{a+b}≤G(a;b)=\sqrt{a·b} \)

2.  \( A(a;b)=\frac{a+b}{2}≤N(a,b)=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \)

1. Állítás:

Két nem-negatív valós szám harmonikus közepe nem lehet nagyobb, mint ugyanezen két szám geometriai közepe.

Bizonyítás:

Az állítás: tehát:   ​\( \frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{a·b} \)​. (a+b)≠0
Mindkét oldalt négyzetre emelve: \( \frac{4a^{2}b^{2}}{\left( a+b\right)^2 }≤a·b \).
Egyszerűsítve a⋅b-vel (a⋅b≠0): ​\( \frac{4ab}{\left( a+b\right)^2 }≤1 \)​.
Átszorozva: 4ab≤(a+b)2.
Rendezve: 0≤a2-2ab+b2=(a-b)2Ez pedig mindig igaz.

2. Állítás:

Két nem-negatív valós szám számtani közepe nem lehet nagyobb, mint ugyanezen két szám négyzetes közepe.

Bizonyítás:

Az állítás tehát: ​\( \frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \)
Mindkét oldalt négyzetre emelve: ​\( \frac{\left(a+b\right)^2 }{4}≤\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \)​.
Átszorozva: (a+b)2=a2+2ab+b2≤2(a2+b2)=2a2+2b2.
Rendezve: 0≤a2-2ab+b2=(a-b)2. Ez pedig mindig igaz.

A mellékelt ábrán a trapéz „a” és „c” párhuzamos oldalakkal rendelkező trapézon (a=8, c=3) láthatjuk az egyes nevezetes közepeket reprezentáló szakaszokat.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.