Mértani sor összege

Bevezető feladatok

1. Írjuk fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját: 2.5; 5/21; 10/9!

Az eredmények:

2/5=0.1 pontos érték; ​\( \frac{5}{21}=0.2380952380…=0.\dot{2}3809\dot{5}….. \)​ ;  ​\( \frac{10}{9}=1.111111….=1.\dot{1} \)​ .

2. Hogyan írható fel a következő tizedes tört két egész szám hányadosaként?  ​\( 0.\dot{2}3\dot{8} \)​= ?

Legyen ​\( x=0.\dot{2}3\dot{8} \)​. Ekkor ​\( 1000x=238.\dot{2}3\dot{8} \)​. Formálisan elvégezve a következő műveletet: 1000x-x=238. Így 999x=238, azaz ​\( x=\frac{238}{999} \).

Mit is jelen az a szám hogy  ​\( \frac{10}{9}=1.\dot{1}=1.111111…. \)​  a végtelenségig?

Más alakban: ​\( \frac{10}{9}=1.1111…=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+… \)​ végtelenségig?

Van-e értelme azt mondani, hogy az 1; ​\( \frac{1}{10} \)​; ​\( \frac{1}{100} \)​ ; ​\( \frac{1}{1000} \)​ ; ​\( \frac{1}{10000} \)​;… sorozat tagjaiból képzett összeg „pontos” értékének a ​\( \frac{10}{9} \)​ -et tekintsük?

Legyen az {a_n} sorozat a következő: a_n=(1/10)^(n-1) ​\( (\frac{1}{10})^{n-1} \)​
Ekkor a sorozat tagjai:
a₁=1; a₂=\( \frac{1}{10} \); a₃=​\( \frac{1}{100} \); a₄=​\( \frac{1}{1000} \); …a_n=​\( \frac{1}{10^{n-1}} \)​;….

Ez a sorozat egy a₁=1 és ​\( q=\frac{1}{10} \)​ paraméterű mértani sorozat.
Ennek a sorozatnak a tagjaiból képezzük a következő sorozatot!

s₁=a₁;   s₂=a₁+a₂;   s₃=a₁+a₂+a₃;   s₄=a₁+a₂+a₃+a₄;  ….  ​\( s_{n}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}} \)​.

Az {s_n} sorozat tagjai fenti esetben:

s₁=1;    s₂=​\( 1+\frac{1}{10} \)​;      s₃=  ​\( 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100} \)​;      s₄= ​\( 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000} \);…

Azaz:    s₁=1;    s₂=​1,1;      s₃=​1,11;     s₄=​1,111; ….;….

Ennek a sorozatnak az n-edik tagja az {a_n} mértani sorozat első n tagjának az összege.

Alkalmazva a mértani sorozat összegképletét: ​\( s_{n}=a_{1}·\frac{q^n-1}{q-1} \)​.

Azaz  ​\( s_{n}=1·\frac{(\frac{1}{10})^n-1}{\frac{1}{10}-1}=\frac{\frac{1}{10^n}-1}{-\frac{9}{10}}=\frac{1-\frac{1}{10^n}}{\frac{9}{10}} \)​.

Vagyis: ​\( s_{n}=\frac{10}{9}·\left( 1-\frac{1}{10^n}\right) \)​.

Ennek a sorozatnak a határértéke:

 ​\( \lim_{ n \to \infty }s_{n}=\lim_{ n \to \infty }\left [\frac{10}{9}·\left( 1-\frac{1}{10^n}\right) \right ] =\frac{10}{9} \)​.

Definíció:

Egy {a_n} sorozat tagjaiból képezett s=a₁+a₂+a₃+a₄+⋯+a_n+⋯ végtelen sok tagot tartalmazó „formális” összeget sornak nevezzük.

A ​\( \sum_{i=1}^{∞}{a_{i}} \)​ végtelen sor n-edik részletösszegén az ​\( s_{n}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}} \)​ számot értjük, ahol n= 1, 2, 3,….

Definíció:

Ha a részletösszegekből képzett (s_n) sorozat konvergens és határértéke „A” azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }s_{n}=A \)​, akkor azt mondjuk, hogy a végtelen sor konvergens és az összeg „A”.

Jelölés: ​\( \sum_{i=1}^{∞}{a_{i}}=A \)​.

Definíció:

A ​\( \sum_{i=0}^{∞}{ a·q^i} \)​ alakú sort mértani sornak nevezzük. 

Tétel:

A mértani sor akkor és csak akkor konvergens, azaz akkor és csak akkor van összege, ha 0<|q|<1. Az összeg ekkor  ​\( s=\frac{a}{1-q} \)​.

Például, ha a = 1 és q=​\( \frac{1}{10} \)​, akkor ​\( s=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{10}{9} \)​ .

Egy történet: (Péter Rózsa: „Játék a végtelennel” 106. oldal)

„Volt egy csokoládéfajta, amit úgy akartak népszerűvé tenni, hogy egy szelvényt is csomagoltak a burkoló ezüstpapírba. Aki 10 db ilyen szelvényt beszolgáltatott az egy újabb tábla csokoládét kapott érte. Ha van egy ilyen tábla csokoládém, mennyit is ér az valójában?”

Természetesen többet, mint 1 tábla csokit, hiszen a benne lévő szelvény is ér 0,1 táblát. De ehhez a tized csokoládéhoz jár egy tized szelvény, ami ér 0,01 század tábla csokoládét.
Könnyen belátható, hogy az én 1 tábla csokoládém tulajdonképpen  ​\( 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+… \)​ .

Az így árusított csokoládé ​\( \frac{10}{9}=1.\dot{1} \)​ csokoládét ér.

Ennek érzékeltetéséhez képzeljük el a következő szituációt:

Tegyük fel, hogy már van 9 db szelvényem. Bemegyek az üzletbe és azt mondom, hogy kérek egy tábla csokoládét, de itt a helyszínen szeretném elfogyasztani és majd ezután fizetek. A megkapott táblát kibontom, kiveszem belőle a szelvényt, a csokit megeszem, majd átadom fizetésképpen a most már 10 db szelvényt. A 9 szelvény pontos ellenértéke 1 csokoládé, 1 szelvényé 1/9 csokoládé, egy csokoládé szelvényestül   1 egész 1/9 , vagyis 10/9 csokoládé.