Kör és egyenes kölcsönös helyzetének és esetleges közös pontjainak meghatározása az (x;y) koordináta rendszerben.
Kör és egyenesnek kölcsönös helyzetére nézve három lehetőség van:
1. Nincs közös pont: körön kívül haladó egyenes.
2. Egy közös pont: érintő egyenes.
3. Két közös pont: metsző egyenes
Adott egyenletű kör és egyenes metszéspontjainak meghatározása a két alakzat egyenleteiből álló egyenletrendszer megoldása jelenti, amit általában a behelyettesítő módszer segítségével oldunk meg.
Mivel a kör egyenlete egy másodfokú, az egyenes egyenlete pedig egy elsőfokú egyenlet, ezért az elsőfokú egyenletből fejezzük ki az egyik („x” vagy „y”) változót és helyettesítjük be a kör egyenletébe. Ekkor („x” vagy „y”) változójú másodfokú egyenletet kapunk.
- Ha az így kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa >0, akkor az egyenes két pontban metszi a kört.
- Ha az így kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa =0, akkor az egyenes érinti a kört,
- Ha az így kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa <0, akkor az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja.
Feladat
Összefoglaló feladatgyűjtemény 3333. számú faladat nyomán.
Milyen helyzetű az (x-3)2+(y-1)2=25 egyenletű körhöz viszonyítva következő három egyenes?
a) 4y-3x=-30;
b) x=9;
c) x-2y=6;
Megoldások:
a) Az első esetben a 4y-3x=-30 egyenletből fejezzük ki például az „y” változót. \( y=\frac{3x-30}{4} =0,75x+7,5 \)
Ezt helyettesítjük be a kör egyenletébe! \( (x-3)^2+(\frac{3x-30}{4}-1)^2=25 \)
Bontsuk fel a zárójeleket! \( x^2-6x+9+\frac{9x^2-180x+900}{16}-\frac{3x-30}{2}-1=25 \)
Szorozzuk végig az egyenletet 16-tal és végezzük el a lehetséges összevonásokat!
16x2-96x+9+9x2-180x+900-24x=240 azaz: 25x2-300x+900=0
Ezt az egyenletet érdemes 25-tel elosztani! x2-12x+36=0 Ez teljes négyzet: (x-6)2=0.
Ennek csak egy gyöke van. x=6. (Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa nulla).
Ezt az egyenes egyenletébe visszahelyettesítve y=-3 értéket kapunk.
Tehát a 4y-3x=-30 egyenletű egyenes az E(6; -3) pontban érinti az (x-3)2+(y-1)2=25 egyenletű kört.
b) A második esetben csak be kell helyettesíteni az x=9 értéket a (x-3)2+(y-1)2=25 kör egyenletébe.
(9-3)2+(y-1)2=25. Azaz: 36+y2-2y+1=25. Rendezve: y2-2y+12=0.
Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa: 4-48 negatív.
Tehát az x=9 egyenletű, az y tengellyel párhuzamos egyenesnek nincs közös pontja a (x-3)2+(y-1)2=25 körrel.
Megjegyzés:
Mivel a kör középpontjának az első koordinátája x=3, ebből következik, hogy az egyenes 6 egységnyi távolságban halad a kör középpontjától. Ez az érték nagyobb a kör r=5 sugaránál, így behelyettesítés nélkül, indoklással is belátható, hogy ebben az esetben az egyenes a körön kívül halad.
c) A harmadik esetben x-2y=6 egyenletből fejezzük ki az „x” változót. x=2y+6.
Ezt helyettesítsük be a (x-3)2+(y-1)2=25 kör egyenletébe! (2y+6-3)2+(y-1)2=25, vagyis: (2y+3)2+(y-1)2=25.
Zárójelek felbontása, a lehetséges összevonások és 0-ra redukálás után kapjuk: 5y2+10y-15=0.
Érdemes 5-tel osztani az egyenletet: y2+2y-3=0. Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa: 4+12=16.
Mivel a diszkrimináns pozitív, ezért az egyenletnek két gyöke van: y1=-3 és y2=1. Az ezekhez tartozó „x” értékek: x1=0 és x2=8.
Tehát az x-2y=0 egyenletű egyenes két pontban metszi a (x-3)2+(y-1)2=25 kört. A metszéspontok: M1(0;-3) és M2(8;1).
