Két kör közös érintői

Két kör közös érintőjének szerkesztése előtt érdemes tisztázni, mit értünk egy kör érintőjén és hogyan lehet egy adott körhöz érintőt szerkeszteni.

Definíció:

Egy kör érintője olyan egyenes a síkon, amelynek egy adott körrel egy és csak egy közös pontja van.

Az érintő merőleges a kör érintési pontjába húzott sugárra.
A körvonal egy adott pontjába érintő szerkesztése tehát egy merőleges megszerkesztését jelenti.

Egy adott körhöz adott külső pontból érintő szerkesztését  pedig a Thalész tétel segítségével végezzük.

Most nézzük, hogy lehet két körhöz közös érintőt szerkeszteni.
Ez természetesen függ a két kör kölcsönös helyzetétől.

Adott két kör: k1(O1; r1), k2(O2;r2) és a két középpont távolsága. (O1O2).
Tételezzük fel, hogy a két kör sugara nem egyenlő, azaz r1≠r2. Legyen r1>r2.

Ha O1O2>r1+r2, akkor a két körnek (körlemeznek) nincs közös pontja, a két kör egymáson kívül van.
Szerkesztendő olyan egyenes, amely mindkét kört érinti.

Külső érintőkről beszélünk, ha az érintők a középpontokat összekötő O1O2 szakaszon kívül metszik egymást. Belső érintőkről beszélünk, ha az érintők a középpontokat összekötő O1O2 szakasz két végpontja között metszik egymást.

A szerkesztés menete:

Kér körhöz közös érintők szerkesztését visszavezetjük egy adott körhöz húzott érintő szerkesztésére. Az eljárás lényege, hogy a nagyobbik sugarú kör O1 középpontja körül egy r1-r2 (külső érintőkhöz) illetve egy r1+r2 (belső érintőkhöz) sugarú körhöz szerkesztünk kört a kisebbik sugarú kör O2 középpontjából a Thalész tétel segítségével.

A kiindulási helyzet:

1. Húzzunk az O1 pont köré k3 kört r1-r2 (külső érintők esetén) illetve r1+r2 (belső érintők esetén) sugárral.

2. Emeljünk Thalész kört az O1O2 szakasz fölé. Ezek metszik az k3 kört M1 és M2 pontban.

3. Az OM1 és az OM2 egyenesek kimetszik a k1 körön az E1 és E2 pontokat.

4. Húzzunk párhuzamost az O2 ponton át az O1E1 illetve az O1E2 egyenesekkel (szakaszokkal).
Ezek metszik a k2 kört az E3 és E4 pontokban.

5. Az E1E2 és az E3E4 egyenesek a két kör közös érintői, amelyek egymást a centrálison metszik az M pontban.

A fenti esetben két körnek négy közös érintője van. Két külső (a két érintő, amelyek a két körön kívül metszi egymást. És két belső érintő, amelyek a centrálist a két középpont között metszik egymást.

Megjegyzés:

Ha a két kör sugara egyenlő  (r1=r2), akkor a közös külső érintők (ha vannak) párhuzamosak a centrálissal.
A belső érintő (ha van) pedig merőleges a középpontokat összekötő centrálisra.
Ezek megszerkesztése a mellékelt rajzok alapján könnyen kivitelezhetők.

Két “külső” érintő. Két “külső” és egy “belső” érintő.
Két “külső” érintő. Egy érintő.

 

Print Friendly, PDF & Email