Háromszög területe adott két oldal és közbezárt szög esetén

A háromszög területének kiszámítása gyakori feladat. Különböző képletek segítenek ebben.

1. A legismertebb képlet az oldal és a hozzátartozó magasság ismeretében határozza meg a területet: TΔ=a⋅ma/2.

2. Háromszög területe három oldal ismeretében. Ez a Héron képlet: ​\( t=\sqrt{s(s-a)(s-b(s-c)} \)  , ahol s a háromszög kerületének a fele, azaz  ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​.

3. Háromszög területe és a beírt kör sugara (rb) közötti összefüggés:  TΔ=rb⋅s, ahol  s a háromszög kerületének a fele, azaz  ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​.

4.Háromszög területe, oldalai és a köréírt kör sugara (rk) közötti összefüggésTΔ=a⋅b⋅c/(4⋅rk).

5. A háromszög területe a két oldalból és a közbezárt szög segítségével: TΔ=a⋅c⋅sin(β)/2.

  Ez utóbbi levezetése látható itt.

Legyen adott a háromszög két oldala, például a és c, valamint az általuk közbezárt β szög. Itt két esetet vizsgáljunk:

A megadott β szög tompaszög.
A megadott β szög hegyesszög.

A levezetés lépesei:

1. A háromszög területét a ​\( t=\frac{a·m_{a}}{2} \)​ képlet szerint számítjuk.
2. Most itt adott az a oldal, de nem ismert az ma magasság. Adott viszont a c oldal.
3. Az ABT derékszögű háromszögben ​\( sinβ=\frac{m_{a}}{c} \)​ . Átrendezve: ma=c⋅sinβ.
4. Ezt behelyettesítve a területképletbe:  ​\( t=\frac{a·c·sinβ}{2} \)​.
5. Mivel sinβ=sin(180°-β), ezért ez az összefüggés független attól, hogy a β szög hegyes, vagy tompaszögű.
6. Tehát a háromszög területét megkapjuk, ha a két oldalának szorzatát megszorozzuk a közbezárt szög sinusával, és a kapott eredményt osztjuk kettővel: TΔ=a⋅c⋅sin(β)/2.

A kapott összefüggés abban az esetben is alkalmazható, amikor a közbezárt szög derékszög, hiszen sin90° =1.

Ennek az összefüggésnek a segítségével bizonyítjuk be a szinusz tételt.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.