Szinusztétel

Tétel:

Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

A háromszögek területe meghatározható bármelyik két oldalának és a közbezárt szögének ismeretében, függetlenül attól, hogy az hegyes vagy tompa esetleg derékszög:

 

 

 

\( t=\frac{a·c·sinβ}{2} \)​, vagy ​\( t=\frac{a·b·sinγ}{2} \)​ vagy ​\( t=\frac{b·c·sinα}{2} \)​.

 

 

 

Ezekből az összefüggésekből kapjuk: a⋅c⋅sinβ=a⋅b⋅sinγ=b⋅c⋅sinα .

Az a⋅c⋅sinβ=b⋅c⋅sinα -ból “c“-vel egyszerűsítve: a⋅sinβ=b⋅sinα. Ezt aránypár alakba írva: a:b=sinα:sinβ.

Hasonlóan az a⋅c⋅sinβ=a⋅b⋅sinγ-ból “a“-val egyszerűsítve: c⋅sinβ=b⋅sinγ. Ezt aránypár alakba írva: b:c= sinβ:sinϒ.

A kapott összefüggéseket egy kifejezésbe írva kapjuk a szinusz tételt: a:b:c=sinα:sinβ:sinγ.

Szinusz tétel szavakkal:

Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

A szinusz tétel jól alkalmazható a háromszög adatainak meghatározásában.

A szinusz tétel alkalmazható:

1. Ha ismerjük a háromszög bármely két szögét és egy oldalát, a szinusz tétel segítségével kiszámíthatjuk a háromszög hiányzó oldalait.

2. Ha ismerjük a háromszög két oldalát és a nagyobbik ismert oldallal szemben lévő szöget, a szinusz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik oldallal szembeni szöget.

3. Ha a kisebbik oldallal szembeni szög az ismert, akkor ezek az adatok nem egyértelműen határozzák meg a háromszöget. Nulla, egy vagy két megoldás is elképzelhető. (Nincs háromszög, derékszögű a háromszög, vagy egy hegyes és egy tompa szögű háromszög.) Itt mérlegelni kell a lehetőségeket.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.