Egyenes irányvektoros egyenlete

Definíció:

A (xy) síkban egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, a zérusvektortól különböző bármely vektor.

Adott az egyenes egy P0(x0;y0) pontja, helyvektora ​\( \vec{r_0} \)​,  és adott az egyenes  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​  irányvektora. Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora ​\( \vec{r}(x;y) \)​.
A P pont bármely helyzetében a P0 pontból a P pontba mutató vektor egyenlő a pontok helyvektorainak különbségével:  ​\( \overrightarrow{P_0P}=\vec{r}-\vec{r_{0}} \)​  így koordinátái: ​\( \overrightarrow{P_0P}=(x-x_{0};y-y_{0}) \).

Ez a ​\( \overrightarrow{P_0P} \)​vektor párhuzamos az egyenessel, így párhuzamos a megadott  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektorral, azaz annak valahányszorosa.
Ezért  ​\( \overrightarrow{P_0P}=t·\vec{v}, \; ahol \; t∈\mathbb{R} \)​.
Így az egyenes változó (futó) P(x;y) pontjára, illetve annak ​\( \vec{r} \)​ helyvektorára érvényes a következő vektoregyenlet: ​\( \vec{r}=\vec{r_{0}}+\overrightarrow{P_{0}P} \)​.Ahol ​\( \overrightarrow{P_0P}=t·\vec{v} \)​. Így az egyenelet: ​\( \vec{r}=\vec{r_{0}}+t·\vec{v} \)​ alakba írható.

Az egyenes paraméteres vektoregyenlete tehát:  ​\( \vec{r}=\vec{r_{0}}+t·\vec{v} \)​.

Írjuk át ezt a vektoregyenletet a koordinátákra:
1. x=x0+tv1
2. y=y00+tv2.

Felhasználtuk, hogy az összegvektor koordinátái a tagok megfelelő koordinátáinak összegei, illetve vektor számszorosának koordinátái a megfelelő koordináták számszorosai.
Szorozzuk meg az első egyenletet v2-vel, a másodikat v1-gyel:
1. v2x=v2x0+tv2v1
2. v1y=v1y0+tv2v1.

A két egyenletet kivonva egymásból: v2x-v1y=v2x0-v1y0.

A kapott egyenletet csak az egyenes pontjainak koordinátái elégítik ki és azok mindegyikére igaz.
Az egyenlet akkor is érvényes, ha az adott egyenes valamelyik koordináta tengellyel párhuzamos, azaz vagy v1=0, vagy v2=0. A v1=0 esetben az egyenes párhuzamos az y tengellyel, v2=0 esetén pedig az x tengellyel.

Megjegyzés:

Mivel az egyenesek irány és normálvektoraik merőlegesek egymásra, ezért az adott  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektor 90°-os elforgatottja az egyenes normálvektora lesz, azaz  ​\( \vec{n}(v_2;-v_1) \)​ .

Az egyenes n1x+n2y=n1x0+n2y0 normálvektoros egyenletébe n1=v2 és n2=-v1 helyettesítést alkalmazva: v2x-v1y=v2x0-v1y0 alakot kapjuk.

Az adott P0(x0;y0) ponton átmenő adott  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektorú egyenes egyenlete tehát:

v2x-v1y=v2x0-v1y0.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.