Egyenes irányvektoros egyenlete

Definíció:

A (xy) síkban egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, a zérusvektortól különböző bármely vektor.

Adott az egyenes egy P₀(x₀;y₀) pontja, helyvektora ​\( \vec{r_0} \)​,  és adott az egyenes  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​  irányvektora. Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora ​\( \vec{r}(x;y) \)​.
A P pont bármely helyzetében a P₀ pontból a P pontba mutató vektor egyenlő a pontok helyvektorainak különbségével:  ​\( \overrightarrow{P_0P}=\vec{r}-\vec{r_{0}} \)​  így koordinátái: ​\( \overrightarrow{P_0P}=(x-x_{0};y-y_{0}) \).

Ez a ​\( \overrightarrow{P_0P} \)​vektor párhuzamos az egyenessel, így párhuzamos a megadott  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektorral, azaz annak valahányszorosa.
Ezért  ​\( \overrightarrow{P_0P}=t·\vec{v}, \; ahol \; t∈\mathbb{R} \)​.
Így az egyenes változó (futó) P(x;y) pontjára, illetve annak ​\( \vec{r} \)​ helyvektorára érvényes a következő vektoregyenlet: ​\( \vec{r}=\vec{r_{0}}+\overrightarrow{P_{0}P} \)​.Ahol ​\( \overrightarrow{P_0P}=t·\vec{v} \)​. Így az egyenelet: ​\( \vec{r}=\vec{r_{0}}+t·\vec{v} \)​ alakba írható.

Az egyenes paraméteres vektoregyenlete tehát:  ​\( \vec{r}=\vec{r_{0}}+t·\vec{v} \)​.

Írjuk át ezt a vektoregyenletet a koordinátákra:
1. x=x₀+tv₁
2. y=y₀0+tv₂.

Felhasználtuk, hogy az összegvektor koordinátái a tagok megfelelő koordinátáinak összegei, illetve vektor számszorosának koordinátái a megfelelő koordináták számszorosai.
Szorozzuk meg az első egyenletet v₂-vel, a másodikat v₁-gyel:
1. v₂x=v₂x₀+tv₂v₁
2. v₁y=v₁y₀+tv₂v₁.

A két egyenletet kivonva egymásból: v₂x-v₁y=v₂x₀-v₁y₀.

A kapott egyenletet csak az egyenes pontjainak koordinátái elégítik ki és azok mindegyikére igaz.
Az egyenlet akkor is érvényes, ha az adott egyenes valamelyik koordináta tengellyel párhuzamos, azaz vagy v₁=0, vagy v₂=0. A v₁=0 esetben az egyenes párhuzamos az y tengellyel, v₂=0 esetén pedig az x tengellyel.

Megjegyzés:

Mivel az egyenesek irány és normálvektoraik merőlegesek egymásra, ezért az adott  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektor 90°-os elforgatottja az egyenes normálvektora lesz, azaz  ​\( \vec{n}(v_2;-v_1) \)​ .

Az egyenes n₁x+n₂y=n₁x₀+n₂y₀ normálvektoros egyenletébe n₁=v₂ és n₂=-v₁ helyettesítést alkalmazva: v₂x-v₁y=v₂x₀-v₁y₀ alakot kapjuk.

Az adott P₀(x₀;y₀) ponton átmenő adott  ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektorú egyenes egyenlete tehát:

v₂x-v₁y=v₂x₀-v₁y_0.

Feladat

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;1), B(2;3), C(0,5). Írja fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletét!

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3228. feladat.)

Megoldás:

1. Alapadatok: Egy háromszög csúcspontjai, az A, B, C pontok. 2. Mivel az „A” csúcsból induló súlyvonal az „A” csúcsot a szemben lévő BC oldal Fa felezőpontjával köti össze, ezért meg kell határozni a felezőpont koordinátáit. Fa=(1,4). 3. A súlyvonal irányvektora a ​\( \vec{v_{s}}=\overrightarrow{AF_{a}} \)​ vektor. ​\( \vec{v_{s}}=\overrightarrow{AF_{a}}=(5;3) \). 4. Alkalmazzuk az egyenes egyenletének irányvektoros alakját: v2x-v1y=v2x0-v1y0. Itt x0=-4, y0=1 és v2=3,  v1=5. Ezért az A(-4;1) ponton átmenő ​\( \vec{v_{s}}=(5;3) \) irányvektorú „sa” egyenes egyenlete: 3x-5y=3⋅(-4)-5⋅1. 3⋅x-5⋅y=-17 Ellenőrzésképpen határozzuk meg az ABC háromszög súlypontjának koordinátáit! S=(-2/3;3). Ennek illeszkednie kell a keresett súlyvonalra. Helyettesítsük be a súlypont koordinátáit!