Párhuzamos és merőleges egyenesek

Tekintsük az alábbi ábrát. Az „e” és „f” egyenesek párhuzamosak egymással, és az „m” egyenes merőleges mindkettőjükre. A ​\( \vec{v} \)​ vektor párhuzamos e és f egyenesekkel, míg az ​\( \vec{n} \)​n vektor merőleges rájuk.

Mivel az (xy) síkban egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, a zérusvektortól különböző bármely vektor, ezért az „‘e”, az „f” és az „m” egyenesek irányvektoraira:
​\( \vec{v_{e}}=\vec{v_{f}}=t·\vec{v} \)​ és ​\( \vec{v_{m}}=t·\vec{n} \)​, ahol t tetszőleges nullától különböző valós szám.

Mivel az (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérusvektortól különböző bármely vektor, ezért az „‘e”, az „f” és az „m” egyenesek normálvektora:
\vec{n_{e}}=\vec{n_{f}}=t·\vec{n} és ​\( \vec{n_{m}}=t·\vec{v} \)​, ahol t tetszőleges nullától különböző valós szám.

Párhuzamos egyenesek:

Ha két egyenes párhuzamos (e||f), akkor irányvektoraik egyállásúak, azaz egymás számszorosai.

​\( \vec{v_{e}}=a·\vec{v_{f}} \)​, és ​\( \vec{n_{e}}=b·\vec{n_{f}} \)​, ahol a és b tetszőleges, nullától eltérő valós számok.

Párhuzamos egyenesek irányszögei egyenlők. Ha az egyeneseknek van iránytangensük (meredekségük), azaz ha irányszögük≠90°, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor az egyenesek iránytangensei (meredekségei) megegyezzenek: m_e=m_f. Itt az m_e és m_f számok az e és f egyenesek meredekségei.

Merőleges egyenesek:

Ha két egyenes merőleges egymásra (m⊥e), akkor irányvektoraik is merőlegesek egymásra, azaz skaláris szorzatuk nulla: v_m⋅v_e=0.

Ha az egyeneseknek van iránytangensük (meredekségük), azaz ha irányszögük≠90°, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor az egyenesek iránytangensei (meredekségei) egymás ellenkező előjelű reciprokai: m_m=-1/m_e.

Itt m_m az „m” egyenes, és m_e az „e” egyenes iránytangensét jelenti. Ez az összefüggés a v_m⋅v_e=0 egyenlőségből következik.

Legyen ​\( \vec{v_{m}}(v_{1m;}v_{2m}) \)​, és ​\( \vec{v_{e}}(v_{1e;}v_{2e}) \). Ekkor a skaláris szorzatot koordinátákkal kifejezve: v_1m⋅v_1e+v_2m⋅v_2e=0.

Osztva az egyenlőséget v_2m és v_1e értékekkel: v_1m/v_2m+v_2e/v_1e=0. Ezt átrendezve: v_1m/v_2m=-v_2e/v_1e.
Itt figyelembe véve azt, hogy v_1m/v_2m=m_m, és v_2e/v_1e =1/m_e, az összefüggés tehát: m_m=-1/m_e.

Feladat:

A „p” paraméter mely értékére lesz egymásra merőleges a következő két egyenes: px+y=-1, és 3x-8y=11

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3230. feladat.)

Megoldás:

Az első e: px+y=-1 egyenletű egyenes normálvektora az egyenes normálvektoros egyenlete alapján: n_e(p;1). Irányvektora v_e(-1;p), meredeksége: m_e=-p.

A második f: 3x-8y=11 egyenletű egyenes normálvektora az egyenes normálvektoros egyenlete alapján: n_f(3;8). Irányvektora v_e(8;-3), meredeksége: m_e=-3/8.

Ha e⊥f, akkor m_e=-1/m_f összefüggésnek teljesülnie kell, ezért:-p=-1/(-3/8). Ebből p=8/3.
Az alábbi ábrán látható a két egyenes grafikonja.
„e” egyenes, p=8/3 helyettesítéssel: 8x/3+y=-1, vagyis: y=-8x/3-1.
„f” egyenes:3x-8y=11, vagyis y=3x/8-11/8.