Szelő tétel

Ha egy körhöz egy külső “P” pontból szelőket húzunk, azt tapasztalhatjuk, hogy ahogy a szelő végigsöpör a körön, A “P” ponttól a távolabbi metszéspontokig terjedő szakaszok egy darabig növekednek, ugyanakkor a közelebbi metszéspontokig terjedő szakaszok csökkennek.

A “P” ponttól a távolabbi metszéspontokig terjedő szakaszok (PB1,PB2, PB3) egy darabig növekednek, ugyanakkor a közelebbi metszéspontokig terjedő szakaszok (PA1, PA2, PA3), csökkennek. Szélsőértéküket akkor érik el, amikor a szelő átmegy a kör középpontján. Ezután a folyamat megfordul és a két pont az “E” érintési pontban találkozik.
Ez azt mutatja, hogy ezek között a távolságok között (PBi, PAi, PE) kapcsolat van.

Húzzunk egy körhöz egy külső “P” pontból egy szelőt. Ennek a körrel való távolabbi metszéspontját jelöljük “B”-vel, a közelebbi metszéspontot pedig jelöljük “A”-val.

Tétel: 

A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek.
A mellékelt ábra jelölései szerint: PE2=PB⋅PA.

Bizonyítás:

Kössük össze a “B” és “A” metszéspontokat az “E” érintési ponttal.
A PBE és PAE háromszögek hasonlóak, mert: az ABE szög egyenlő AEP szöggel, mert mindketten az AE ívhez tartozó kerületi szögek, másrészt a P csúcsnál lévő szögük közös.
Ebből .következik, hogy megfelelő oldalaiknak az aránya egyenlő.
Azaz: PE:PB=PA:PE. Ezt szorzat alakba írva: PE2=PB⋅PA..

A szelő tétel más megfogalmazásban:

Ha egy (P) külső pontból egy körhöz egy szelőt és egy érintőt húzunk, akkor a szelőnek a távolabbi metszéspontig (B) terjedő PA szakasza úgy aránylik az érintő (PE) szakasz hosszához, mint az érintőszakasz hossza aránylik a rövidebbik (PA) szelőszakaszhoz.

Tétel:

Ha egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, akkor az egyes szelőkön a P ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjedő szakaszok szorzata állandó.

Ez a tétel a szelő tétel közvetlen következménye, mivel a szelő tétel az adott pontból induló bármely szelőre érvényes.

Azaz: PB1⋅PA1=PB2⋅PA2=PB3⋅PA3=..=PB7⋅PA7=PE2.

A szelő tétel segítségével is bizonyítható Pitagorasz tétele. Tekintsük a mellékelt ábrát. Ezen egy speciális helyzetű szelőt látunk, amely átmegy a kör középpontján.

Jelölések:
OP=c; OE=r; EP=e; Bo=r. PB=c+r, PA=c-r.

OEP∠=90° , ezért OEPΔ  derékszögű.

Írjuk fel a szelő tételt: PE2=PB⋅PA. Vagyis: e2=(c+r)(c-r). A jobb oldali szorzat nevezetes azonosság, ezért: e2=c2-r2. Ezt átrendezve: e2+r2=c2.
Ami éppen a Pitagorasz tételének felel meg.

Ez a levezetés Dugonics András (1740-1818) író, piarista szerzetes “A tudákosságnak második könyve” című munkájában szerepel.

Feladat:

A P pontból egy körhöz 4 cm-es érintőszakasz húzható. P a kör középpontjától 6 cm-re van, s a P-ből a körhöz olyan szelőt húzunk, amelynek hosszabbik szelete 8 cm. Mekkora távolságra van a kör középpontja e szelőtől?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 1967. feladat.)

Megoldás:

A mellékelt ábra jelölései szerint a megadott adatok:
PE=4; PO=6; PB=8
A keresett OF távolságot x-el jelöltük. OF=x.

A szelő és érintő szakaszok tétele értelmében: PE2=PB⋅PA => 42=8⋅PA, => 16=8⋅PA => PA=2.

Ebből BA=PB-PA, tehát BA=8-2, azaz BA=6, =>FA=3.

Tehát: FP=FA+PA; azaz FP=3+2 => FP=5.

Az OFP derékszögű háromszögben felírva Pitagorasz tételét, kapjuk:
OF2+FP2=OP2 => x2+52=62 => x2+25=36 => x2=11 =>x=​\( \sqrt{11} \)​.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.