Határozzuk meg a következő határértéket: \( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x} \)!
Mivel a sin(x) páratlan függvény, azaz sin(-x)=-sin(x), ezért az \( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \) függvény páros, hiszen: \( f(-x)=\frac{sin(-x)}{-x} \) =\( \frac{-sin(x)}{-x} \)=\( \frac{sin(x)}{x} \)=f(x).
Ebből az következik, hogy elegendő a csak az x>0 estben vizsgálni a függvényt.
Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatát! Azt sejtjük, hogy a függvényértékek sorozata közeledik az 1-hez, ha a függvény „x” változója a 0-hoz közeledik.
A következő becslésből indulhatunk el: sin(x)<x<tg(x).
Ennek a becslésnek a belátásában segít a következő ábra. Itt OP=OB=1. A szögfüggvények általános definícióját felhasználva: Ha a BOP szög ívmértéke „x” radián, akkor AP szakasz hossza= sin(x), míg a BP ív hossza = x. Az egységsugarú körhöz a B pontban az OB sugárra merőleges BC szakasz hossza pedig tg(x).
Osszuk végig a fenti sin(x)<x<tg(x) egyenlőtlenséget sin(x)>0-val! A reláció megmarad.
Így \( 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{tg(x)}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)} \).
Most képezzük az egyes kifejezések reciprokát! Ekkor a relációs jel megfordul. \( 1>\frac{sin(x)}{x}>cosx \).
Itt azt is beláttuk, hogy a függvény értékkészlete valóban: f(x)∈ℝ|-1<f(x)<1
Tudjuk, hogy a cos(x) függvény folytonos az x0=0 pontban és cos(0) = 1.
Ha tehát bármely x→0-hoz sorozatot veszünk is, a cos(x) függvényértékek sorozata az 1-hez fog tartani, azaz cos(x)→1.
A rendőrszabály alkalmazva: \( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x}=1 \).
Az \( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \) függvény grafikonja:
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.