Polinomok osztása

Algebrai törteket tartalmazó kifejezéseknél (egyenletek, egyenlőtlenségek, függvények) adott esetben jó eszköz lehet a polinomok osztásának ismerete.

Ez természetesen középiskolában inkább csak emelt szintű feladatoknál fordulhat elő.

Két megjegyzés:

· A hányados fokszáma az osztandó és az osztó fokszámának a különbsége.

· Természetesen az osztás eredményeként maradékot – maradék polinomot – is kaphatunk.

Első példa:

Hozzuk polinomok osztásával egyszerűbb alakra a következő algebrai törtet! ​\( \frac{x^{3}-6x^{2}-5x+30}{x-6} \)​

Megoldás:

1.  A hányados első tagjának meghatározása az osztandó és az osztó legmagasabb fokszámú tagjainak együtthatóinak alapján. (x³ illetve x)
A hányados első tagja tehát: x².

2. A kapott kifejezéssel visszaszorozzuk az osztót: (x-6)∙x²=x³-6x².

3. Ezt kivonjuk az osztandóból. (x³-6x²-5x+30) – (x³-6x²)=-5x+30.

4.  A hányados második tagjának meghatározása az előbb kapott kifejezés és az osztó legmagasabb fokszámú tagjainak együtthatóinak alapján. (-5x és x) A hányados második tagja tehát -5.

5. A kapott értékkel visszaszorozzuk az osztót: (x-6) (-5). Kapjuk: -5x+30-at.

6. Ezt kivonjuk 3. lépésben kapott kifejezésből:(-5x+30)-(-5x+30).

A kivonás eredményeképpen 0-t kaptunk. Az osztandó végére értünk. Nincs maradék.
A hányados tehát:  x²-5.

Az eredmény: ​\( \frac{x^{3}-6x^{2}-5x+30}{x-6} \)=x²-5

Ellenőrzés:  (x-6)⋅(x²-5)=(x³-6x²-5x+30)

Második példa:

Végezzük el a következő polinomok osztását! (5x³-3x²+2x+5):(2x-1).

Megoldás:

1. A hányados első tagjának meghatározása az osztandó és az osztó legmagasabb fokszámú tagjai alapján. (x³ illetve x)
A hányados első tagjának az együtthatója az osztandó és az osztó főegyütthatóinak hányadosa: A hányados első tagja tehát: 2,5x².

2. A kapott kifejezéssel visszaszorozzuk az osztót: (2x-1)⋅2,5x². Kapjuk: 5x³-2,5x².

3. Ezt kivonjuk az osztandóból. (5x³-3x³+2x+5)- (5x³-2,5x²)=-0,5x²+2x+5

4. Most a hányados második tagjának a meghatározása következik. A hányados második tagjának az együtthatója az előbb kapott kifejezés  és az osztó főegyütthatóinak hányadosa: (-0.5)/2=-0,25.  A hányados második tagja tehát: -0,25x.

5. A kapott értékkel visszaszorozzuk az osztót: (2x-1)⋅ (-0,25x). Kapjuk: -0,5x²+0,25x

6. Ezt kivonjuk 3. lépésben kapott kifejezésből: (-0,5x²+2x+5)-(-0,5x²+0,25x)=1,75x+5

7. Most a hányados harmadik tagjának a meghatározása következik.  A hányados harmadik tagjának az együtthatója az előbb kapott kifejezés  és az osztó főegyütthatóinak hányadosa.  Kapjuk: 0,875.

8. A kapott értékkel visszaszorozzuk az osztót: (2x-1)⋅ (0,875) Kapjuk: 1,75x-0,875

9. Ezt kivonjuk 6. lépésben kapott kifejezésből: 1,75x+5)-(1,75x-0,875)=5,875.

Az osztandó végére értünk. A maradék: 5,875.

A hányados: 2,5x²-0,25x+0,875, és a maradék: 5,875

Ellenőrzés: (2x-1)⋅(2,5x²-0,25x+0,875)+5,875=5x³-3x³+2x+5.