Ne higgy a szemednek megoldása

A feladatban azt kell kideríteni, hogy a piros és a zöld háromszögek felcserélésével hogyan jött létre az 1 területegységnyi kis négyzet.

Kezdjük a területek kiszámításával.

piros ADG derékszögű háromszög területe: 8⋅3/2=12 területegység.

A zöld GFC derékszögű háromszög területe: 5⋅2/2=5 területegység.

A sárga síkidom területe:5⋅1+2⋅1= 7 területegység.

A kék színnel jelölt síkidom területe: 5⋅1+3⋅1=8 területegység.

Ezek összege: 12+5+7+8= 32 területegység.

Az ABC pontokkal meghatározott  derékszögű háromszög területe: 13⋅5/2= 32.5 területegység.

Itt tehát 0.5 területegységnyi eltérés van.

Mi lehet ennek az oka?

Az, hogy az ABC pontokkal meghatározott derékszögű háromszög nem azonos a színes síkidomok által összeállított síkidommal.

Egyszerűbben mondva a G pont nem illeszkedik az AC szakaszra. A “G” pont az AC szakasz alatt van.

Ezt a következőképpen láthatjuk be a legegyszerűbben:

Az ADG piros derékszögű háromszögben az AG szakasz emelkedése: 3 egység az 8 egységnyi AD szakaszon.
Az AG szakasz meredeksége: 3/8=0.375. Tangens szögfüggvény segítségével: DAG∠ tangense: tg(DAG∠)=0.375, ebből DAG∠≈20.56°

A DFC zöld derékszögű háromszögben az GC szakasz emelkedése: 2 egység az 5 egységnyi GF szakaszon.
A GC szakasz meredeksége: 2/5=0.4. Tangens szögfüggvény segítségével: FGC∠ tangense: tg(FGC∠)=0.4, ebből FGC∠≈21.8°

A kettő közötti különbség: 1.24°. És ezt az eltérést a mi szemünk nem veszi észre!

De ha a háromszöget kinagyítjuk, akkor már láthatóvá válik!

Tehát Az AGC pontok nem egy egyenesbe esnek, az AGC pontok egy (barna színű) háromszöget határoznak meg.

Ennek területe éppen 0.5 területegység.

A piros és a zöld háromszögek felcserélésénél hasonló dolgot figyelhetünk meg.

Az “A” pont nem illeszkedik az GC vonalra, hiszen a zöld háromszög GA átfogójának a meredeksége nagyobb, mint a piros háromszög AC átfogójának a meredeksége. Az “A” pont a GC szakasz fölött van.

A létrejött GAC  (barna) háromszög területe most is éppen 0.5 területegység.

A két eltérés összege éppen 1 területegység!

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.