Egy 3 egység oldalú kocka térfogata \( 3^{3}=27 \). Ha a feladat fordított, és a kocka térfogatából kell meghatározni a kocka oldalát, akkor új műveletre, a köbgyökvonásra van szükség. Például: Mekkora a kocka éle, ha a térfogata 64 \( cm^{3} \) ? Azaz \( 64=a^{3} \).
Általában:
Ha egy n-edik hatványérték ismeretében kell az alap értékét meghatározni, ehhez az n-edik gyök fogalmára van szükség.
Azonban az n-edik gyök fogalmát páros és páratlan gyökkitevő esetén külön kell értelmezni.
Páros gyökkitevő esetén:
Definíció:
Egy valós szám n-edik, páros kitevőjű gyöke az a valós szám, amelynek a n-edik hatványa az eredeti szám.
Páratlan gyökkitevő esetén:
Definíció:
Egy valós szám n-edik, páratlan kitevőjű gyöke az a valós szám, amelynek a n-edik hatványa az eredeti szám.
Mint látható, a különbség csak a feltételekben van.
Formulával: \( \sqrt[n]{a}=b \), ha bn=a, vagy röviden: \( (\sqrt[n]{a})^n=a \).
Feltételek:
Páros gyökkitevő (n=2k, k∈ℕ+) esetén: a∈ℝ|a³≥0, b∈ℝ| b≥0.
Páratlan gyökkitevő (n=2k+1, k∈ℕ+) esetén: a∈ℝ, b∈ℝ.
Példák:
\( \sqrt[3]{27}=3 \), mert 33=27,
\( \sqrt[4]{256}=4 \), mert 44=256,
\( \sqrt[5]{-32}=-2 \), mert (-2)5=-32
Megjegyzés:
Ez a definíció n=2 esetben a négyzetgyökvonás definícióját adja. Páros gyökkitevő esetén nem mindegy a hatványozás és a gyökvonás sorrendje, azaz \( \sqrt[n]{a^n}=|a| \), ha n páros (n=2k, k∈ℕ+).
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.