Legkisebb közös többszörös

Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse.

Definíció:

Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója.

Jelöléssel: [a,b,c]=d, ha d a legkisebb olyan pozitív egész, hogy d=a⋅m, d=b⋅l, és d=c⋅k, ahol a, b, c, d, l, m, k pozitív egész számok.

Például: [63,105,252]=1260, mert 1260=63⋅20, 1260=105⋅12, 1260=252⋅5.

A legkisebb közös többszörös előállítása:

A legkisebb közös többszörösnek tartalmaznia kell a számokban előforduló prímtényezők mindegyikét. Ezért a legkisebb közös többszöröst is a számok prímtényezős felbontása alapján határozzuk meg.
Legyen a=63=3⋅3⋅7=3²⋅7 és b=105=3⋅5⋅7.
A legkisebb közös többszörös: [a;b]=[63;105]= 3²⋅5⋅7=315.

Röviden: A számok prímtényezős felbontásaiból az összes prímtényezőt kiválasztjuk az előforduló legnagyobb hatványkitevővel, és ezeket a prímszámhatványokat összeszorozzuk. 

Alkalmazása:

Például törtek közös nevezőre hozásánál. Mennyi ​\( \frac{5}{63} \)​ +\( \frac{2}{105} \)? Mivel [63,105]=315, ezért \( \frac{5⋅5}{5⋅63} \)​+\( \frac{2⋅3}{3⋅105} \)=\( \frac{25}{315} \)+\( \frac{6}{315} \)=\( \frac{31}{315} \).

Jó tudni, hogy két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata megegyezik a két szám szorzatával. Azaz (a,b)⋅[a,b]=a⋅b.

Például: (252,630)=126, [252,630]=1260, és 126⋅1260=158760=252⋅630.

Feladat:

Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyik 2-vel osztva 1, 3-mal osztva 2, 4-gyel osztva 3 és 5-tel osztva 4 maradékot ad?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3937. feladat.)

Megoldás:

Vegyük észre, hogy minden esetben a maradék 1-gyel kevesebb, mint az osztó. Ez azt jelenti, hogy a keresett számnál 1-gyel nagyobb szám osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 5-tel is. Ezek a számok a 2, 3, 4, 5 többszörösei. Mivel a feladat a legkisebb ilyet kéri, ezért a keresett számnál eggyel nagyobb szám: [2;3;4;5]=60. Így a keresett szám: 60-1=59.

Ellenőrzés:

59=2⋅29+1
59=3⋅19+2
59=4⋅14+3
59=5⋅11+4