Az n-edik gyökvonás azonosságai

Az n-edik gyökvonás azonosságainál az n-edik  gyök fogalmánál megfogalmazott feltételek az érvényesek. Azaz:

Az n gyökkitevő 1-nél nagyobb egész szám lehet,  n∈ℕ, n≥2 és a,b ∈ℝ.
Ha n  gyökkitevő páros (n=2⋅k), akkor a gyök alatt nemnegatív valós szám állhat, azaz a≥0, b≥0.
Ha n gyökkitevő páratlan (n=2⋅k+1), akkor a gyök alatt azaz tetszőleges valós szám állhat.

Az azonosságok:

1. Szorzat n-edik gyöke megegyezik a tényezők n-edik gyökének szorzatával.  ​\( \sqrt[n]{a·b}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b} \)

2.  Egy tört n-edik gyöke egyenlő a számláló és a nevező n-edik gyökének hányadosával. ​\( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)

További feltétel:  A b≠0 feltételnek teljesülnie kell a nevező miatt.

3. A gyökvonás és a hatványozás felcserélhető műveletek.  ​\( \left( {\sqrt[n]{a}} \right) ^k=\sqrt[n]{a^k} \)

További feltétel: k∈ℤ.

4. Egymásba ágyazott gyökök esetén a legbelső gyökjel alatti kifejezésből  az eredeti gyökkitevők szorzatával képzett gyökkitevővel vonunk gyököt.  ​\( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a} \)

További feltétel:  m∈ℕ; m≥2.

5. A gyökkitevő és hatványkitevő bővíthető és egyszerűsíthető. ​​\( \sqrt[n]{a^m}= \)\( \sqrt[n⋅k]{a^{m⋅k}} \)

További feltétel: k∈ℕ; k≥2; m∈ℤ.

Az azonosságok bizonyítása.

1.   Állítás:\( \sqrt[n]{a·b}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b} \)

Bizonyítás:

Emeljük n-edik hatványra az állítás mindkét oldalát!
\( \left(\sqrt[n]{a·b} \right)^n= \)​​\( \left( \sqrt[n]{a} \right)^n·\left( \sqrt[n]{b} \right)^n \)

A baloldal n-edik hatványa: \( \left(\sqrt[n]{a·b} \right)^n=a·b \)​​​, az n-edik gyök definíciója szerint.

A jobboldal n-edik hatványa, felhasználva, hogy egy szorzat tényezőnként hatványozható, és hivatkozva az n-edik gyök definíciójára:
\( (\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n·(\sqrt[n]{b})^n=a·b \)

Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.

2.  Állítás: ​\( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)

Bizonyítás:

Emeljük n-edik hatványra az állítás mindkét oldalát! A baloldal n-edik hatványa: ​\( \left(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \right)^n=\frac{a}{b} \)​, az n-edik gyök definíciója szerint.

A jobboldal n-edik hatványa, felhasználva, hogy egy törtnél a számláló és a nevező külön-külön is hatványozható, és hivatkozva az n-edik gyök definíciójára: ​\( \left( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \right)^n \)​=​​\( \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}=\frac{a}{b} \)

Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.

3. Állítás: \( \left( {\sqrt[n]{a}} \right) ^k=\sqrt[n]{a^k} \)

Bizonyítás:

Emeljük n-edik hatványra az állítás mindkét oldalát!
A baloldal n-edik hatványa, felhasználva, hogy hatvány hatványozásánál a kitevők felcserélhetők: ​​\( \left( \left( \sqrt[n]{a}\right)^k \right)^n=\left( \left(\sqrt[n]{a} \right)^n \right)^k =a^{k} \)
A jobboldal n-edik hatványa a n-edik gyök definíciója szerint: ​\( \left( \sqrt[n]{a^k} \right)^n=a^{k} \)

Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.

4. Állítás:\( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n·m]{a} \)

Bizonyítás:

Emeljük n-edik, majd m-edik hatványra az állítás mindkét oldalát!
A baloldalon:​\( \left( \left(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \right)^n\right)^m \)​=​\( \left(\sqrt[m]{a}\right)^m=a \)​. Itt felhasználtuk két ízben is az n-edik gyök definícióját.
A jobb oldalon: ​\( \left( \left(\sqrt[n·m]{a} \right)^n\right)^m=\left( \sqrt[n·m]{a} \right)^{n·m}=a \)

Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.

5. Állítás: \( \sqrt[n]{a^m}= \)\( \sqrt[n⋅k]{a^{m⋅k}} \)

Bizonyítás:

Emeljük n-edik hatványra a baloldali kifejezést! ​\( \left( \sqrt[n]{a^m}\right)^n=a^{m} \)
Emeljük n-edik hatványra a jobboldali kifejezést! ​​\( \left(\sqrt[n·k]{a^{m·k}} \right)^n=\sqrt[k]{a^{m·k}} =a^{m} \)

Mivel mindkét estben ugyanazt kaptuk, az állítás tehát igaz.

Feladat:

Végezze el az alábbi műveleteket!

a) ​\( \sqrt{x·\sqrt[3]{x^{2}·\sqrt[4]{x}}} \)​, x≥0.

b) ​\( \frac{\sqrt{x^{3}}·\sqrt[4]{x}·\sqrt[6]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \)​, x>0.

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 398.)

Megoldás:

a)  ​\( \sqrt{x·\sqrt[3]{x^{2}·\sqrt[4]{x}}} \)​, x≥0. Haladjunk belülről kifelé.

Vigyük be az x2-t a negyedik gyök alá negyedik hatványra emeléssel.
Így a negyedik gyök alatt x9-t kaptunk: ​\( \sqrt{x·\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{9}}}} \)​.
Az egymásba ágyazott gyököket a gyökkitevők összeszorzásával összevonva: ​\( \sqrt{x·\sqrt[12]{x^{9}}} \)​ .
Ismételjük meg az eljárást, vigyük be az “x”-t 12. hatványra emelve a 12. gyök alá: ​\( \sqrt{\sqrt[12]{x^{12}·x^{9}}} \)​.
A gyök alatti azonos kitevőjű hatványokat összevonva, az egymásba ágyazott gyököket a gyökkitevők összeszorzásával összevonva:  ​\( \sqrt[24]{x^{21}} \)​.​
Mivel a 24-nek és a 21-nek van közös osztója, ezért ennek az eredménynek egy egyszerűbb alakja: ​\( \sqrt[8]{x^{7}} \)​.

b) ​\( \frac{\sqrt{x^{3}}·\sqrt[4]{x}·\sqrt[6]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \)​, x>0.

Hozzuk a számlálóban  és a nevezőben lévő gyökök kitevőit közös kitevőre: ​\( \frac{\sqrt[12]{x^{18}}·\sqrt[12]{x^{3}}·\sqrt[12]{x^{10}}}{\sqrt[12]{x^{8}}} \).
A számlálóban lévő gyököket vigyük egy gyök alá és a hatványkitevőket összegezzük:​\( \frac{\sqrt[12]{x^{31}}}{\sqrt[12]{x^{8}}} \)​.
A számlálót és a nevezőt közös gyök alá helyezve és az azonos alapú hatványok  osztását elvégezve: ​\( \sqrt[12]{\frac{x^{31}}{x^{8}}}=\sqrt[12]{x^{23}} \)​.
Hozzuk egyszerűbb alakra! Amit lehet vigyünk ki a gyök elé: ​\( \sqrt[12]{x^{23}}=\sqrt[12]{x^{12}·x^{11}}=x·\sqrt[12]{x^{11}} \)​.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.