Valós számokon értelmezett műveletek tulajdonságai

A valós számokon értelmezett műveletek tulajdonságai:

1. kommutativitás (felcserélhetőség)
2. asszociativitás (csoportosíthatóság)
3. disztributivitás (tagolhatóság)

Valós számok a racionális számok és az irracionális számok együttese. Jele: ℝ. A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

1. Kommutativitás (felcserélhetőség) 

Az összeadás kommutatív tulajdonsága azt jelenti, hogy az összeg értéke nem változik, ha tagjait felcseréljük.

Legyen a és b két tetszőleges valós szám. Az összeadás kommutatív tulajdonsága tehát azt jelenti, hogy a+b=b+a.
Például: 15+8= 8+15=23.

A szorzás kommutatív tulajdonsága azt jelenti, hogy a szorzat értéke nem változik, ha tényezőit felcseréljük.

Legyen a és b két tetszőleges valós szám. A szorzás kommutatív tulajdonság tehát azt jelenti, hogy a⋅b=b⋅a.
Például: 15⋅8=8⋅15=120.

Megjegyzés: A kivonás és az osztás nem kommutatív. Általában a-b≠ b-a és  ​\( \frac{a}{b}≠\frac{b}{a} \)​

2. Asszociativitás (csoportosíthatóság)

Az összeadás asszociatív tulajdonsága azt jelenti, hogy három vagy több tag összeadásánál a kijelölt összeadások sorrendje tetszőleges.

Legyen a, b és c három tetszőleges valós szám. Az összeadás asszociatív tulajdonsága tehát azt jelenti, hogy a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
Például: 15+8+2=(15+8)+2=15+(8+2).

A szorzás asszociatív tulajdonsága azt jelenti, hogy három vagy több tényezős szorzat esetén a kijelölt összeadások sorrendje tetszőleges. 

Legyen a, b és c három tetszőleges valós szám. A szorzás asszociatív tulajdonsága tehát azt jelenti, hogy a⋅b⋅c=(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c).
Például: 15⋅8⋅2=(15⋅8)⋅2=15⋅(8⋅2).

Megjegyzés: A kivonás és az osztás művelete nem asszociatív. Általában: a-(b-c)≠(a-b)-c és (a:b):c≠a:(b:c).

3. Disztributivitás (tagolhatóság)

A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív tulajdonságú (tagolható), azaz ha valós számok összegét kell egy valós számmal szorozni, akkor az eredmény nem változik, ha az összeadás eredményét szorozzuk a számmal, vagy az összeg tagjait külön-külön szorozzuk a valós számmal, majd a szorzatok eredményét adjuk össze. Tehát az összeg tagonként is szorozható. 

Legyen a, b és c három tetszőleges valós szám. A szorzás disztributivitása az összeadásra nézve tehát azt jelenti, hogy a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c.
Például: 15⋅(8+2)=15⋅8+15⋅2.