Trigonometrikus Pitagorasz tétel

A derékszögű háromszgek oldalhosszúságaira megfogalmazott Pitagorasz tétel, mint összefüggés alkalmazható a szögek szinuszára és koszinuszára is.

A sinus, cosinus szögfüggvények általános értelmezése szerint az α szöggel elforgatott  ​\( \vec{e} \)​ egységvektor koordinátái: ​\( \vec{e} \)​(cosα ;sinα ).

 

A.) Amennyiben az elforgatott egységvektor nem esik rá a koordináta tengelyek egyikére sem, akkor ennek az egységvektornak a koordinátái és az egységvektor meghatároznak egy derékszögű háromszöget, a mellékelt ábrán ez az OPT háromszög.

Ennek befogóinak hossza a koordináták abszolút értékei, azaz |cosα | és |sinα |. Átfogójának hossza pedig |​\( \vec{e} \)​|=1.
Erre a derékszögű háromszögre felírhatjuk a Pitagorasz tételt:

|​\( \vec{e} \)​|²=sin²α +cos²α , azaz  sin²α+cos²α=1.

B.) Amennyiben az elforgatott egységvektor valamelyik tengelyre illeszkedik, akkor nem jön létre derékszögű háromszög. Ekkor nem írhatjuk fel a Pitagorasz tételt. Ezekben az esetekben azonban a két koordináta egyike 0, a másik pedig abszolút értékben 1, ezért ekkor is igaz:

sin²α+cos²α=1.