Síkidomok merőleges vetületeinek területe

Állítás:

Legyen S1 és S2 síkok hajlásszöge α és az S1 síkban fekvő t1 területű háromszög S2-re merőleges vetületének területe t2. Ekkor t2=t1⋅ cosα.

A tétel bizonyítását három lépésben fogjuk végezni.

1. Feltételezzük, hogy a háromszög egyik oldala illeszkedik a két sík metszésvonalára
2. Feltételezzük, hogy a háromszög csak egyik csúcsa illeszkedik a két sík metszésvonalára.
3. Tetszőleges helyzetű háromszögek.

Nézzük most az első esetet.

1.  Erre az esetre vonatkozóan tekintsük a mellékelt ábrát.
Az ABC háromszög BC=a oldala illeszkedik az S1 és S2  síkok metszésvonalára. Az A csúcsból induló ma magasságvonal T talppontja szintén a két sík metszésvonalára esik. Az S1 síkban lévő háromszög  t1 területe: ​\( t_{1}=\frac{a·m_{a}}{2} \)​.

Az eredeti háromszög A csúcsának az S2 síkban lévő merőleges vetülete A’. Tudjuk, hogy a két sík hajlásszöge α. Mivel ma merőleges az S1  síkban a metszésvonalra, az A’T=m’a pedig az S2 síkon belül merőleges erre, ezért az A’T és AT magasságok által bezárt szög egyenlő a két sík α hajlásszögével.

Így az AA’T derékszögű háromszögben\( cosα=\frac{m’_{a}}{m_{a}} \)​, ebből ​\( m’_{a}=m_{a}·cosα \)​. Az A’BC háromszög t2 területe: ​\( t_{2}=\frac{a·m_{a}’}{2} \)​.
Ebbe behelyettesítve az ​\( m’_{a}=m_{a}·cosα \)​-t , kapjuk a ​\( t_{2}=\frac{a·m_{a}·cosα}{2} \)​ kifejezést. Ez éppen azt jelenti, hogy t2=t1⋅cosα.

És ezt kellett bizonyítani.

Nézzük most a második esetet.

2.  A második esetben a háromszögnek csak az egyik csúcsa esik a két sík metszésvonalára.

2.a. Tekintsük itt most előbb azt az esetet, amikor a metszésvonalra eső csúccsal szemközti oldal párhuzamos az S1 és S2 síkok metszésvonalával.

A mellékelt oldali ábra jelöléseit használva, legyen az eredeti ABC háromszög az S1 síkban, és az A csúcsa illeszkedjen az S1  és S2 síkok metszésvonalára, így a feltétel szerint a BC=a oldal párhuzamos a metszésvonallal.
Vetítsük most az ABC háromszög B és C csúcsát az S2 síkra. Kapjuk a B’ és C’ pontokat, és az AB’C’ háromszöget.
Az ABC háromszög területe most is  ​\( t_{1}=\frac{a·m_{a}}{2} \)​.

Mivel a BC oldal párhuzamos a két sík metszésvonalával, ezért a BC oldal merőleges vetülete, a B’C’ oldal is párhuzamos vele. Ebből következően B’C’=BC=a.
Az AB’C’ háromszög területe így ​\( t_{2}=\frac{a·m’_{a}}{2} \)​.

A TT’A derékszögű háromszögben a T’AT∠=α, és ezért az ma‘ szakasz kifejezhető ma segítségével: ​\( t_{2}=\frac{a·m’_{a}}{2} \)​, ebből ​\( m’_{a}=m_{a}·cosα \)​.

Így tehát a ​\( t_{2}=\frac{a·m’_{a}}{2} \)​ képletbe behelyettesítve ​\( t_{2}=\frac{a·m_{a}·cosα}{2} \)​-t kapjuk újra. És ez most is éppen azt jelenti, hogy t2=t1⋅cosα.

És ezt kellett bizonyítani.

2.b. Tekintsük itt most azt az esetet, amikor a metszésvonalra eső csúccsal szemközti oldal nem párhuzamos az S1 és S2 síkok metszésvonalával.

A mellékelti ábra jelöléseit használva, legyen az eredeti ABC háromszög az S1 síkban, és az A csúcsa illeszkedjen az S1 és S2 síkok metszésvonalára, de a feltétel szerint a BC=a oldal nem párhuzamos a metszésvonallal.
Vetítsük most az ABC háromszög B és C csúcsát az S2 síkra. Kapjuk a B’ és C’ pontokat, és az AB’C’ háromszöget.

A BC egyenes metszi a két sík metszésvonalát, mivel a feltétel szerint nem párhuzamos vele. Legyen ez a metszéspont D. Az S2 síkban fekvő B’C’ egyenes ugyanebben a D pontban metszi a két sík metszésvonalát, ugyanis B’C’ a BC egyenes merőleges vetülete. Az ABC háromszög területe az ABD és az ACD háromszögek területeinek különbsége: tABC=tABD-tACD.

Az ABC háromszög vetülete az AB’C’ háromszög. Ennek területe hasonlóan:
tAB’C’=tAB’D-tAC’D.

Az első esetnek megfelelően tAB’D=tABD⋅cosα. Hiszen az AD oldal a két sík metszésvonalára esik. Ugyanígy tAC’D=tACD⋅cosα.

Tehát: tAB’C’=tABD⋅cosα – tACD⋅cosα=(tABD-tACD)⋅cosα.

Azaz:tAB’C’= tABC⋅cosα .

És ezt kellett bizonyítani.

Nézzük most a harmadik esetet.

3. Tetszőleges helyzetű háromszögek.
Az előzőektől eltérő minden más helyzetű háromszög eltolással a fent említett esetek egyikébe átmozgatható. Mivel az eltolás egybevágósági transzformáció, ezért eltolással sem az eredeti háromszögnek, sem a vetületének területe nem változik. Így most is igaz, hogy: tAB’C’= tABC⋅cosα.

És ezt kellett bizonyítani.

Feladat:

Egy egyenes hasáb magassága 80 cm. Az alaplappal 43°-os szöget bezáró sík (amely valamennyi oldalélt metsz), a hasábból olyan sokszöget metsz ki, amelynek területe 127 cm2. Mekkora a hasáb térfogata?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 2268. feladat.)

Megoldás:

A mellékelt ábra jelölései szerint t1=127 cm2.
A két sík által bezárt szög α=43°.
A fenti tétel szerint az alaplap területe:
t2=127⋅cos43°, => t2≈127⋅0,7314 => t2≈92,88 cm2.
A hasáb térfogata: Vhasáb=t2⋅m, vagyis Vhasáb≈92,88⋅80 cm3.
A kért eredmény tehát: Vhasáb≈7430,55 cm3.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.