Primitív függvény

Ábrázoljuk az alábbi három függvényt a pozitív valós számok halmazán: x∈ℝ⁺!

a(x)=1.5

v(x)=1.5⋅x+2.5

s(x)=0.75⋅x2+2.5⋅x

Általánosabban:

a(x)=a
v(x)=a⋅x+k₀
s(x)=ax²+k₀⋅x

Fizikai jelentést is társíthatunk hozzájuk: (idő, út, sebesség, gyorsulás)

A gyorsulás időben állandó: a(t)=a.
Sebesség az idő függvényében: v(t)=at+k₀.
Út az idő függvényében: s(t)=at²+k₀⋅t.

Milyen kapcsolatot fedezhetünk fel a fenti függvények között?

(v(t))’= a(t)
(s(t))’= v(t)

Mi a kapcsolat az alábbi függvények között?

f(x)=3 és  F(x)=3x között?
f(x)=3  és F(x)=3x-2 között?
f(x)=3x²  és F(x)=x³ között?
f(x)=3x² és F(x)=x³+5 között?
f(x)=cosx  és F(x)=sinx+C között?

f(x)=F’(x)

Definíció:

Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja).

A fenti definíció közvetlen következménye:

Tétel:

Ha F(x) függvény primitív függvénye f(x) függvénynek, akkor az F(x)+c függvény is primitív függvénye az f(x) függvénynek, ahol c∈ℝ konstans.

Tehát, ha egy f(x) függvénynek van primitív függvénye, akkor f(x) függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy konstansban térnek el egymástól.

Az alábbiakban nézzük néhány alapvető függvény primitív függvényét!

Az ​f(x)=xⁿ függvény primitív függvénye: ​\( F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \)​, mert F'(x)=f(x).

Az ​\( f(x)=\sqrt{x} \)​​ függvény primitív függvénye:​\( F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}=\frac{2}{3}x\sqrt{x} +c\)​​, mert F'(x)=f(x).

Az f(x)=cos(x) primitív függvénye F(x)=sin(x)+c, mert sin(x)’=cos(x), azaz ​F'(x)=f(x).

​Az f(x)=sin(x) függvény primitív függvénye:F(x)=-cos(x)+c, mert cos(x)’=-sin(x), azaz F'(x)=f(x).

A primitív-függvény keresés a differenciálás megfordításaként fogható fel.

Megjegyzés: Nincs minden függvénynek primitív függvénye. Bizonyítható például, hogy az ​\( f(x)=\left\{ \begin{array}{} 1 & ha \; x≥0 \\ 0 & ha \; x<0 \\ \end{array} \right\} \)​ függvénynek nincs primitív függvénye.

Ugyanakkor be lehet bizonyítani a következő tételt:

Tétel:

Ha az f(x) függvény folytonos egy [a;b] intervallumon, akkor ezen az [a;b] intervallumon az f(x) függvénynek van primitív függvénye.

Definíció:

Az f(x) függvény primitív függvényeinek összességét (halmazát) az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük és az ​\( \int{f(x)}dx \)​ szimbólummal jelöljük.