π (pi), a Ludolph-féle szám

A π a görög abc egyik betűje-szimbólum a kör kerületének és az átmérőjének az arányát jelenti, azaz ​\( π =\frac{k}{d} \)​, amely bármely kör esetén egy állandó szám.

Bár a π két szám hányadosa, mégsem racionális szám., azaz vagy a kör kerülete, vagy az átmérője vagy mindkettő irracionális szám. Magát a számra vonatkozó π szimbólumot Euler javasolta 1739-ben.

A π rövid, vázlatos története:

  • Már a Bibliában, az Ószövetségben is találkozhatunk vele. A királyok könyve 7.23.-ban ezt olvashatjuk: “… Aztán öntött egy medencét is. 10 könyököt tett ki egyik peremétől a másikig, magassága 5 könyök, és egy 30 könyöknyi zsinór érte körül.” Itt tehát az átmérő 10 egység, a kerület 30 egység, így π-re 3-t kapunk.
  • Az ókori egyiptomiak a kör területét a ​\( t={\left(d-\frac{d}{9} \right)}^2 \)​ képlettel számolták, ahol d a kör átmérőjét jelöli. Ők tehát a π helyett a ​\( \frac{256}{81} \)​= 3,1605 számmal dolgoztak.
  • Arkhimédész a π értékét a körbe írt 96 oldalú szabályos sokszög területével közelítette meg.Ő a ​\( 3\frac{10}{71}< π <3\frac{1}{7} \)​  azaz   a 3,14166<π<3,14285 egyenlőtlenséget adta meg. Ez két tizedes pontosság.
  • Apollóniosznak állítólag sikerült megállapítania a π első négy tizedesét, de erről biztosat nem lehet tudni, mivel Apollóniosznak sok műve elveszett.
  • Ptolemaiosz “Almagest” című művében a π meghatározására a  ​\( \frac{377}{120}≈3,14166 \)​törtet használta, amely már 3 tizedesre pontos érték.
  • A középkorban Viete francia matematikus végtelen sorozat segítségével a π értékét 10 tizedesig számolta ki.
  • Ludolph Van Ceulen az 1600-as évek elején már 35 tizedesjegyig kiszámította az értékét.
    π≈3.141592653589793238462643383279502884197169399
    Ezért szokás a π-t Ludolph-féle számnak nevezni.
  • Ma már a számítógépek korában a π értékét egyre több tizedesjegyig meg tudják határozni. 2019.-ben már harmincegyezer milliárd számjegyig határozták meg a π értékét. Ha kíváncsi vagy a π első 2000 számjegyére, kattints ide.
  • Csak a XVIII. században tudták kimutatni, hogy a π irracionális szám.
  • 1882-ben Lindemann német matematikus azt is kimutatta, hogy a π nemcsak irracionális, hanem transzcendens is, azaz nem lehet gyöke semmilyen racionális együtthatójú algebrai egyenletnek. Ez azt is jelenti, hogy a π euklideszi szerkesztéssel nem szerkeszthető meg, de több jó közelítő szerkesztési eljárás is született az idők során. Az egyik legismertebb szerkesztési eljárást itt megtalálod.
  • 1988 óta minden év március 14.-t (03.14) a π a nemzetközi napjává nyilvánították.

Matematikai és kultúrtörténeti érdekességek az un.  π versek. Ha érdekel, katt ide.

További érdekesség az a hír, hogy a π számjegyeit lekottázták. David Macdonald volt, aki a π értékét ötven tizedesig lekottázta, és zongoradarabot írt a 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 számsorból úgy, hogy a billentyűket számértékekkel látta el. Érdemes meghallgatni: https://www.youtube.com/watch?v=wM-x3pUcdeo&index=2&list=RDOMq9he-5HUU  

A π kiszámítása, közelítések:

Az alábbi sort Leibnizről nevezték el, de nem ő fedezte fel, hanem valószínűleg James Gregory skót matematikus.

1669-ben John Wallis szintén skót matematikus (1616. 12. 03 – 1703. 11. 08.) sora:

1706-ban Machin francia matematikus π-hez gyorsan közeledő sora:

 

Euler a következő sorral számolt:

 

Itt mindkét zárójelben a tagok nagyon gyorsan csökkennek, így már 7-7 tag esetén igen pontos eredményt kapunk.

Lásd még: Florica T. Cimpan: “A π rövid története” című könyve.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.