Sorozatok közötti műveleteket úgy értelmezzük, hogy az adott műveletet a sorozatok elemei között hajtjuk végre.
Műveletek:
1. Sorozat szorzása számmal
2. Sorozatok összege illetve különbsége
3. Sorozatok szorzata illetve hányadosa
1. Sorozat szorzása számmal
Legyen a {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; .. Ezt egy „c” konstanssal szorozva kapjuk a {dn} sorozatot: dn=c∙bn. Azaz: d1=c∙b1; d2=c∙b2 d3=c∙b3 d4=c∙b4… dn=c∙bn…
2. Sorozatok összege illetve különbsége
Legyen az {an} sorozat: a1; a2; a3; a4; … an; … és {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; …
Akkor a {cn}={an}±{bn} sorozat: c1=a1±b1; c2=a2±b2; c3=a3±b3; …; cn=an±bn; …
3. Sorozatok szorzata illetve hányadosa
Legyen {an} sorozat: a1; a2; a3; a4; … an; … és {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; …
Akkor a {cn}={an}·{bn} sorozat: c1=a1·b1; c2=a2·b2; c3=a3·b3; …cn=an·bn; …
Legyen {an} sorozat: a1; a2; a3; a4; … an; … és {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; …
Akkor a cn=an/bn sorozat elemei: a1/b1 ; a2/b2; a3/b3; a4/b4; … an/bn;… (bn≠0).
Megjegyzések:
- Egy monoton növekedő és egy monoton csökkenő sorozat összege lehet növekedő, de lehet csökkenő is.
Például: an=n2 növekvő, bn=-3⋅n csökkenő, a cn=n2-3⋅n sorozat növekedő lesz.
Megfordítva: an=-n2 csökkenő, a bn=+3⋅n növekvő, cn=-n2+3⋅n sorozat csökkenő lesz.
- Két monoton növekedő sorozat szorzata lehet csökkenő is.
Legyen két olyan növekvő sorozat, amelynek tagjai negatívok. Ezek szorzata növekvő lesz.
Például: an=-1/n2 és bn=-7/n esetén a cn=an∙bn=1/n3 sorozat csökkenő lesz.
- Két monoton növekedő sorozat hányadosa lehet csökkenő is.
Legyen két olyan növekvő sorozat, amelynek tagjai negatívok. Ezek hányadosa növekvő lesz.
Például: an=n és bn=n2 esetén a cn=an/bn=n/n2=1/n sorozat csökkenő lesz.
- Két felülről korlátos sorozat hányadosa lehet felülről nem korlátos.
Például: an=1/n és bn=1/n2 esetén a cn=an/bn=n2/n=n sorozat felülről nem korlátos.
Műveletek konvergens sorozatokkal
Bizonyíthatóak a következő tételek:
1. Ha az {an} és {bn} sorozatok konvergensek és \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \) valamint \( \lim_{ n \to \infty }b_{n}=B \), akkor a {cn}={an} ±{bn} is konvergens és \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=A+B \).
Szavakkal: Konvergens sorozatok összegének illetve különbségének sorozata konvergens és határértéke az összetevő sorozatok határértékeinek összege illetve különbsége.
2. Ha az {an} és {bn} sorozatok konvergensek és \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \) valamint \( \lim_{ n \to \infty }b_{n}=B \) , akkor a {cn}={an}⋅{bn} is konvergens és \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=A⋅B \).
Szavakkal: Konvergens sorozatok szorzatának sorozata konvergens és határértéke az összetevő sorozatok határértékeinek szorzata.
3. Ha az {an} és {bn} sorozatok konvergensek és \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \) valamint \( \lim_{ n \to \infty }b_{n}=B \) , akkor hányadosuk a \( {c_{n}}=\frac{{a_{n}}}{{b_{n}}} \) is konvergens és \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=\frac{A}{B} \).
Feltételezve, hogy B≠0, ebből következően majdnem minden n-re bn≠0.
Szavakkal: Konvergens sorozatok hányadosának sorozata konvergens és határértéke az összetevő sorozatok határértékeinek hányadosa. (Feltételezve, hogy az osztó nem nulla.)
Következmények:
a) Ha az {an} sorozat konvergens azaz \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \), akkor a {cn}=k·{an} sorozat is konvergens és \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=k·A \).
Szavakkal: Konvergens sorozat konstans-szorosa is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékének konstans-szorosa.
b) Ha az {an} sorozat konvergens azaz \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \), akkor bármely „k” egész kitevőre a \( c_{n}=\left( a_{n} \right)^k \) sorozat is konvergens és \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=A^k \); k∈ℤ.
Szavakkal: Konvergens sorozat egész kitevőjű hatvány-sorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékének ugyanazon egész kitevőjű hatványa.
c) Ha az {an} sorozat konvergens azaz \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \), ahol A≥0, akkor bármely 1-nél nagyobb „k” egész kitevőre a \( c_{n}=\sqrt[k]{a_{n}} \) sorozat is konvergens és \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=\sqrt[k]{A} \); k∈ℤ; k≥2 konstans.
Szavakkal: Konvergens sorozat k-adik gyök-sorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékének ugyanazon k-adik gyöke.
c) Ha az {an} sorozat divergens és \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=+∞ \) vagy \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=-∞ \), akkor a \( c_{n}=\frac{1}{a_{n}} \) sorozat konvergens és határértéke 0, azaz \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \).
Szavakkal: A ± végtelenhez tartó divergens sorozatok reciprok sorozata konvergens és határértéke nulla.
Érdemes megtekinteni a következő két videót!
|
|
|
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.