Sorozatok közötti műveleteket úgy értelmezzük, hogy az adott műveletet a sorozatok elemei között hajtjuk végre.

Műveletek:

1. Sorozat szorzása számmal
2. Sorozatok összege illetve különbsége
3. Sorozatok szorzata illetve hányadosa

1. Sorozat szorzása számmal

Legyen a {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; .. Ezt egy „c” konstanssal szorozva kapjuk a {dn} sorozatot: dn=c∙bnAzaz: d1=c∙b1; d2=c∙b2 d3=c∙b3 d4=c∙b4… dn=c∙bn

2. Sorozatok összege illetve különbsége

Legyen az {an} sorozat: a1; a2; a3; a4; … an; … és {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; …
Akkor a {cn}={an}±{bn} sorozat: c1=a1±b1; c2=a2±b2; c3=a3±b3; …; cn=an±bn; …

3. Sorozatok szorzata illetve hányadosa

Legyen {an} sorozat: a1; a2; a3; a4; … an; … és {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; …
Akkor a {cn}={an}·{bn} sorozat: c1=a1·b1; c2=a2·b2; c3=a3·b3; …cn=an·bn; …

Legyen {an} sorozat: a1; a2; a3; a4; … an; … és {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; …
Akkor a cn=an/bn sorozat elemei: a1/b1 ; a2/b2; a3/b3; a4/b4; … an/bn;… (bn≠0).

Megjegyzések:

  • Egy monoton növekedő és egy monoton csökkenő sorozat összege lehet növekedő, de lehet csökkenő is.

Például: an=n2 növekvő, bn=-3⋅n csökkenő, a cn=n2-3⋅n sorozat növekedő lesz.
Megfordítva: an=-n2 csökkenő, a bn=+3⋅n növekvő, cn=-n2+3⋅n sorozat csökkenő lesz.

  • Két monoton növekedő sorozat szorzata lehet csökkenő is.

Legyen két olyan növekvő sorozat, amelynek tagjai negatívok. Ezek szorzata növekvő lesz.
Például: an=-1/n2 és bn=-7/n esetén a cn=an∙bn=1/n3 sorozat csökkenő lesz.

  • Két monoton növekedő sorozat hányadosa lehet csökkenő is.

Legyen két olyan növekvő sorozat, amelynek tagjai negatívok. Ezek hányadosa növekvő lesz.
Például: an=n és bn=n2 esetén a cn=an/bn=n/n2=1/n sorozat csökkenő lesz.

  • Két felülről korlátos sorozat hányadosa lehet felülről nem korlátos.

Például: an=1/n és bn=1/n2 esetén a cn=an/bn=n2/n=n sorozat felülről nem korlátos.

Műveletek konvergens sorozatokkal

Bizonyíthatóak a következő tételek:

1. Ha az {an} és {bn} sorozatok konvergensek és ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \)​ valamint \( \lim_{ n \to \infty }b_{n}=B \)​, akkor a {cn}={an} ±{bn} is konvergens és ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=A+B \)​.

Szavakkal: Konvergens sorozatok összegének illetve különbségének sorozata konvergens és határértéke az összetevő sorozatok határértékeinek összege illetve különbsége.

2. Ha az {an} és {bn} sorozatok konvergensek és ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \)​  valamint  ​\( \lim_{ n \to \infty }b_{n}=B \)​  , akkor a {cn}={an}⋅{bn} is konvergens és ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=A⋅B \)​.

Szavakkal: Konvergens sorozatok szorzatának sorozata konvergens és határértéke az összetevő sorozatok határértékeinek szorzata.

3. Ha az {an} és {bn} sorozatok konvergensek és ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \)​  valamint  ​\( \lim_{ n \to \infty }b_{n}=B \)​  , akkor hányadosuk a ​\( {c_{n}}=\frac{{a_{n}}}{{b_{n}}} \)​ is konvergens és ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=\frac{A}{B} \)​.
Feltételezve, hogy B≠0, ebből következően majdnem minden n-re bn≠0.

Szavakkal: Konvergens sorozatok hányadosának sorozata konvergens és határértéke az összetevő sorozatok határértékeinek hányadosa. (Feltételezve, hogy az osztó nem nulla.)

Következmények:

a) Ha az {an} sorozat konvergens azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \), akkor a {cn}=k·{an} sorozat is konvergens és  ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=k·A \)​.

Szavakkal: Konvergens sorozat konstans-szorosa is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékének konstans-szorosa.

b) Ha az {an} sorozat konvergens azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \), akkor bármely „k” egész kitevőre a  ​\( c_{n}=\left( a_{n} \right)^k \)​ sorozat is konvergens és ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=A^k \); k∈ℤ.

Szavakkal: Konvergens sorozat egész kitevőjű hatvány-sorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékének ugyanazon egész kitevőjű hatványa.

c) Ha az {an} sorozat konvergens azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=A \), ahol A≥0, akkor bármely 1-nél nagyobb „k” egész kitevőre a ​\( c_{n}=\sqrt[k]{a_{n}} \)​ sorozat is konvergens és ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=\sqrt[k]{A} \)​; k∈ℤ; k≥2 konstans.

Szavakkal: Konvergens sorozat k-adik gyök-sorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékének ugyanazon k-adik gyöke.

c) Ha az {an} sorozat divergens és ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=+∞ \)​ vagy ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=-∞ \)​, akkor a  ​\( c_{n}=\frac{1}{a_{n}} \)​ sorozat konvergens és határértéke 0, azaz  ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \)​. 

Szavakkal: A ± végtelenhez tartó divergens sorozatok reciprok sorozata konvergens és határértéke nulla.

Érdemes megtekinteni a következő  két videót!

Sorozatok határértéke

Hogyan kell kiszámítani a határértéket?

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.