Matematikai logika

Az alábbi logikai feladat elég közismert:

Egy logika tudóst fogságba ejtett egy emberevő törzs. Olyan börtönben helyezték el, amelynek két kijárata volt. A törzsfőnök a következő menekülési lehetőséget ajánlotta fel:
„Az egyik ajtó a biztos halálba, a másik a szabadságba vezet. Azon az ajtón mehetsz ki, amelyiken akarsz. Hogy könnyebben tudj választani, melléd állítok két őrt, akik egy kérdésedre felelni fognak. De vigyázz, az egyik igazmondó, a másik mindig hazudik.”
Ekkor elment abban a reményben, hogy logika-professzort fognak vacsorázni.
A tudós azonban egy rövid gondolkodás után feltett egy kérdést az egyik őrnek, majd távozott a szabadság felé vezető ajtón. Mit kérdezett a professzor?

Megoldás: „Mit mondana a másik őr, melyik a szabadulás felé vezető ajtó?” Erre a kérdésre mindkét őr a hamis ajtóra fog mutatni. Ezért a másik ajtón kell távozni.

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le „Analitika” című művében, Kr.e. IV. században. Ő már tudatosan kereste azokat a módszereket, amelyeket az emberi gondolkodásnak követnie kell a tudományos kutatások közben. Sokat foglalkozott a logikus gondolkodás három elemével: a fogalmakkal, az állításokkal és a következtetésekkel. Bevezette változó fogalmát, és betűket is használt a fogalmak jelölésére.

„Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy igazak, vagy hamisak, kijelentéseknek vagy másképp állításoknak mondjuk. Minden kijelentéshez tehát egyértelműen hozzárendelhető az „igaz„, vagy „hamis” logikai érték.

Például: „2 a legkisebb prímszám.„, „Ma péntek van.” állítások, mert egyértelműen eldönthetők, hogy igazak vagy hamisak.
Az a kijelentő mondat, hogy „Kati a legszebb lány az osztályban.” nem tekinthető matematikai logikában állításnak, mert szubjektív, igazságtartalma nem dönthető el egyértelműen.

Állításokból logikai műveletek segítségével összetett állításokat készíthetünk.

Például:

„2 páros szám és ő a legkisebb prímszám.” Ez az állítás két egyszerű állításból, a „2 páros szám.”, és a „2 legkisebb prímszám.” állításokból az és kötőszóval, a konjunkció logikai műveletével kapcsolódik össze.

„Tegnap nem esett az eső.” állítás a „Tegnap esett az eső.” állítás tagadása.

„Ma délután vagy úszni, vagy teniszezni fogok.” állítás is felbontható két egyszerűbb állításra: „Ma délután úszni fogok.”, illetve „Ma délután teniszezni fogok.”. Ezt a két állítást a vagy kötőszó kapcsolja össze, megengedő értelemben. Délután úszhatok is, teniszezhetek is.

„Az idén a labdarúgó világbajnokságot vagy Brazília, vagy Németország nyeri.” összetett állítás is két állításból tevődik össze. Az összekapcsolás kötőszava ugyan megint a vagy kötőszó, de itt kizáró értelemben. Világbajnok csak az egyik csapat lehet.

„Ha délután nem fog esni az eső, akkor elmegyünk sétálni.” szintén két állításból áll. Az ilyen típusú („ha…akkor„) állításokat következtetésnek (implikáció, feltételes állítás, kondicionális állítás) mondjuk.

A matematikában különösen gyakoriak az olyan összetett állítások, mint amilyen az érintőnégyszögek tételében fogalmazódik meg: „Egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő!” A két állítást az ekvivalencia művelete (az „akkor és csak akkor„) kapcsolja össze.

Arisztotelész munkásságának két évezreden keresztül óriási hatása volt. Aquinói Szent Tamás (1225-1274) az arisztotelészi világkép és a keresztény teológia összhangját is megteremtette. Az Arisztotelész által megalapozott logika bármely tudományágban alkalmazható volt.

Az újkorban Descartes, majd az ő nyomán Leibniz sajátos matematikai logika megteremtésével próbálkozott. A mai értelemben vett matematikai logika megszületését Leibniz-nek köszönhetjük. Őt a kombinatorika tanulmányozása közben az általános nyelv, a „lingua universalis” keresése vezette el a szimbolikus logikához.

Leibniz nyomán elsősorban az algebra területén kezdődtek meg azok a kutatások, amelyek elvezettek az 1854-ben megjelent munkához, amely a matematikai logikában úttörő jelentőségű volt. Ez George Boole angol matematikus nevéhez fűződik, aki megalkotta a matematikai logikában alkalmazott és róla elnevezett Boole-féle algebrát, amelyet De Morgan angol matematikus fejlesztett tovább.

Peano olasz matematikus Leibniz-et és Boole-t követve igyekezett megalkotni a matematika formális logikai alapjait.

A későbbiekben döntő jelentőségű volt Hilbert, és tanítványainak, köztük Neumann Jánosnak a működése.