Generated by All in One SEO v4.9.5.1, this is an llms.txt file, used by LLMs to index the site.

# Matekarcok

diákoknak, tanároknak ... és akit érdekel a matek ...

## Sitemaps

- [XML Sitemap](https://matekarcok.hu/sitemap.xml): Contains all public & indexable URLs for this website.

## Bejegyzések

- [Számtani sorozat](https://matekarcok.hu/szamtani-sorozat/) - Bevezető példa: Írjuk fel a következő expilicit módon megadott számsorozat első néhány elemét: an=3⋅n+1. Az első öt tag: a1=4; a2=7; a3=10; a4=13; a5=16... Látható, hogy a minden tag az előzőhöz képest 3-mal több. Így a fenti sorozat rekurzív módon is megadható. Megadjuk az első elemét és a képzési szabályt: a1=4; an=an-1+3. Definíció: Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve)
- [A határozott integrál és a primitív függvény](https://matekarcok.hu/a-hatarozott-integral-es-a-primitiv-fuggveny/) - Feladatok 1. Határozzuk meg az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényét! Megoldás: F(x)=0.25x2+3x+c, azaz ​\( F(x)=\int{ }\left\{0.5x+3 \right\}dx =0.25x^{2}+3x+c \)​ Ellenőrzés: F’(x)={0.25x2+3x+c}’=0.5x + 3. 2.Ábrázoljuk a következő függvényt: f(x)=0.5x + 3! A grafikon segítségével számítsuk ki a [0;4] intervallumon a függvény alatti trapéz területét! Megoldás: A trapéz párhuzamos oldalai 3 és 5 egység, magassága 4 egység, így
- [Debreceni Aritmetika – 1577](https://matekarcok.hu/debreceni-aritmetika-1527/) - Részlet az első fennmaradt magyar matematika tankönyvből. Az itt látható látható borítójú könyv 1577-ben jelent meg Debrecenben. A város címere alatt látható felírat: "Azt akarom, hogy jó és hasznos dolgokban eszesek legyetek 'az gonosz és ártalmas dolgokban pedig együgyűek." A tankönyvben szerepel a következő feladat: "Egy ember adott volt másiknak 12 forintot három hónapig, más
- [A nagy Fermat sejtés (tétel)](https://matekarcok.hu/a-nagy-fermat-sejtes-tetel/) - Van-e megoldása az egész számok körében az xn+yn=zn egyenletnek? Ez a probléma már régóta izgatta a matematikusokat. Az x2+y2=z2 egyenlet Pitagorasz tételét jelenti, ahol x, y egy derékszögű háromszög befogóinak oldalhosszúságait, z pedig az átfogó hosszúságát jelenti, tehát pozitív valós számok. Az olyan pozitív egész számokat, amelyek kielégítik a Pitagorasz tételt, pitagoraszi számhármasoknak nevezzük. Ilyen számhármasból
- [Homokozó](https://matekarcok.hu/__trashed/) - Számhalmazok: ℤ+; ℤ-;ℕ; P; T Link megnyítás új ablakban: Zebegény Feladat: Végezze el az alábbi műveleteket! a) ​\( \sqrt{x·\sqrt[3]{x^{2}·\sqrt[4]{x}}} \)​, x≥0. b) ​\( \frac{\sqrt{x^{3}}·\sqrt[4]{x}·\sqrt[6]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \)​, x>0. (Összefoglaló feladatgyűjtemény 398.) Megoldás: a) ​\( \sqrt{x·\sqrt[3]{x^{2}·\sqrt[4]{x}}} \)​, x≥0. Haladjunk belülről kifelé. Vigyük be az x2-t a negyedik gyök alá negyedik hatványra emeléssel. Így a negyedik gyök alatt x9-t
- [A gizai nagy piramis](https://matekarcok.hu/a-gizai-nagy-piramis/) - Az ókori világ hét csodája közül az egyetlen, amely még látható, a gizai nagy piramis. (Kheopsz piramis). A Kheopsz piramis i.e 2580 és i.e 2530 körül épült, körülbelül 2000 évvel Pitagorasz előtt. Elkészítéséhez igen sok matematikai ismeretre is szükség volt. Elképzelhető, hogy csomókkal 3, 4 és 5 részre osztott kötelet használtak derékszög előállítására.
- [Függvényvizsgálati szempontok](https://matekarcok.hu/fuggvenyvizsgalati-szempontok/) - Középiskolában függvényeket a következő szempontok szerint vizsgáljuk. Függvény értelmezési tartománya: A függvény változóinak halmaza, amelyekhez lett függvényérték rendelve. (Jele "g" nevű függvény esetén: Dg.) Példa: A mellékelt g: ℝ​→ℝ​, ​​\( g(x)=2\sqrt{x-4}-3 \)​ függvény esetén: Dg=ℝ\{x
- [Elemi függvények csoportosítása](https://matekarcok.hu/elemi-fuggvenyek-csoportositasa/) - Függvények egy lehetséges csoportosítása 1. Algebrai függvények 1.1 Racionális egész függvények (például hatvány függvények) m(x)=(x+3)2-4=x2+6x+5 1.2 Racionális törtfüggvények (például a reciprok függvény) 1.3 Irracionális függvények (Például a gyökfüggvények) 2. Transzcendens függvények 2.1 Exponenciális függvények ​\( e(x)=0,5·2^{x-2} \)​ 2.2 Logaritmus függvények 3. Trigonometrikus függvények 3.1 Szinusz függvény 3.2 Koszinusz függvény 3.3 Tangens függvény 3.4 Kotangens függvény 4. Trigonometrikus függvények
- [π (pi), a Ludolph-féle szám](https://matekarcok.hu/pi-a-ludolph-fele-szam/) - A π a görög abc egyik betűje-szimbólum a kör kerületének és az átmérőjének az arányát jelenti, azaz ​\( π =\frac{k}{d} \)​, amely bármely kör esetén egy állandó szám. Bár a π két szám hányadosa, mégsem racionális szám., azaz vagy a kör kerülete, vagy az átmérője vagy mindkettő irracionális szám. Magát a számra vonatkozó π szimbólumot
- [Műveletek sorozatokkal](https://matekarcok.hu/muveletek-sorozatokkal/) - Sorozatok közötti műveleteket úgy értelmezzük, hogy az adott műveletet a sorozatok elemei között hajtjuk végre. Műveletek: 1. Sorozat szorzása számmal 2. Sorozatok összege illetve különbsége 3. Sorozatok szorzata illetve hányadosa 1. Sorozat szorzása számmal Legyen a {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; .. Ezt egy „c” konstanssal szorozva kapjuk a {dn} sorozatot: dn=c∙bn. Azaz:
- [Sorozatok határértéke](https://matekarcok.hu/sorozatok-hatarerteke/) - Bevezető feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük korlátosság és monotonitás szempontjából az: ​\( a_{n}=\frac{n+1}{n-1} \)​ sorozatot! A sorozat hozzárendelési szabályában a nevező nem lehet nulla, ebből következően n≠1, ezért sorozat első eleme nincs értelmezve, azaz: a1=-. További tagjai a sorozatnak: a2=3; a3=2; a4=5/3; a5=6/4; a6=7/5; a7=8/6≈1,33; a8=9/7≈1,29; a9=10/8; a10=11/9;... A sorozat grafikonját a mellékelt animáció szemlélteti: A fenti sorozat jellemzése Korlátosság: Mivel a sorozat számlálója
- [Határértékszámítási feladatok](https://matekarcok.hu/hatarertekszamitasi-feladatok/) - 1. Feladat Határozzuk meg az ​\( a_{n}=\frac{n^3+2n+1}{2n^3-n^2+3} \)​ sorozat határértékét! Megoldás Osszuk el a számlálót és a nevezőt is n3-nel. Ekkor az algebrai tört számlálója ​\( 1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3} \)​ lesz. Mivel ​\( \lim_{ n \to \infty }\frac{2}{n^2}=0 \; és \; \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n^3}=0 \)​, ezért ​\( \lim_{nx \to\infty}\left( 1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3} \right) =1 \)​. Az algebrai tört nevezője ​\(
- [Nevezetes sorozatok határértéke](https://matekarcok.hu/nevezetes-sorozatok-hatarerteke/) - A) Számtani sorozatok konvergenciája A számtani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (a1) és differenciája d. A hozzárendelési szabály: an=a1+(n-1)⋅d. A számtani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás és határérték szempontjából. A sorozat differenciája d>0. Ebben az esetben a sorozat alulról korlátos, alsó korlátja k=a1, felülről nem korlátos, szigorúan monoton nő és tart a plusz végtelenhez: ​\(
- [Konvergens sorozatok tulajdonságai](https://matekarcok.hu/konvergens-sorozatok-tulajdonsagai/) - Tétel: Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Ez a határérték fogalmából következik. Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos. A korlátosság a sorozat konvergenciájának a szükséges, de nem elégséges feltétele. A {(-1)n }sorozat nyilvánvalóan korlátos, de nem konvergens. Tétel: Minden monoton és korlátos sorozat konvergens. Ez a tétel fontos és hasznos a határérték létezésének megállapítására, de sokszor nem
- [Számsorozatok jellemzése](https://matekarcok.hu/szamsorozatok-jellemzese/) - A számsorozatok a pozitív természetes számokon értelmezett függvény. Bár függvényként kezelhetjük őket, de a definíció következtében a függvényvizsgálatok egy részére nincs szükség. Hiszen például az értelmezési tartomány adott, a pozitív természetes számok halmaza. Persze bizonyos sorozatoknál ez szükülhet is. (pl: az an= 1/(n-3) esetén n≠3.) Nincs értelme például a folytonosság tulajdonságáról sem beszélni, hiszen a
- [Kamatszámítás](https://matekarcok.hu/kamatszamitas/) - 1. feladat: Év elején 100 000 forintot beteszünk a bankba, évi 8%-os kamatláb mellett. Mennyi pénzünk lesz 4 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek? Számoljuk ki évenként is. 100 000 Ft normál alakban=105 Ft. A kamatos kamat elve az, hogy az induló összeget a gyakorisági időszakok végén a kamattal megnövelik és a megnövelt összeg kamatozik
- [Mértani sorozat](https://matekarcok.hu/mertani-sorozat/) - Bevezető példa: 1. A következő sorozatot nagyon könnyű folytatni: 2; 4; 8; 16,...és így tovább. Szavakkal: Az első tag 2, minden tag az előző kétszerese. 2. Szerkesszünk egy 3 egység oldalú ABCD négyzetet. Ennek BD átlójára egy újabb négyzetet. És így tovább. Számítsuk ki az egyes négyzetek oldalhosszúságaiból álló sorozat első néhány tagját. Mekkora lesz
- [Valós számokon értelmezett műveletek tulajdonságai](https://matekarcok.hu/valos-szamokon-ertelmezett-muveletek-tulajdonsagai/) - A valós számokon értelmezett műveletek tulajdonságai: 1. kommutativitás (felcserélhetőség) 2. asszociativitás (csoportosíthatóság) 3. disztributivitás (tagolhatóság) Valós számok a racionális számok és az irracionális számok együttese. Jele: ℝ. A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. 1. Kommutativitás (felcserélhetőség) Az összeadás kommutatív tulajdonsága azt jelenti, hogy az összeg értéke nem változik, ha
- [Kör és egyenes metszéspontjai](https://matekarcok.hu/kor-es-egyenes/) - Kör és egyenes kölcsönös helyzetének és esetleges közös pontjainak meghatározása az (x;y) koordináta rendszerben. Kör és egyenesnek kölcsönös helyzetére nézve három lehetőség van: 1. Nincs közös pont: körön kívül haladó egyenes. 2. Egy közös pont: érintő egyenes. 3. Két közös pont: metsző egyenes Adott egyenletű kör és egyenes metszéspontjainak meghatározása a két alakzat egyenleteiből álló
- [A kör egyenlete](https://matekarcok.hu/a-kor-egyenlete/) - Definíció: A körvonal azoknak a pontoknak a halmaza (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott pontjától (a kör középpontjától) adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Adott a koordináta rendszerben a C(u;v) középpontú, és r sugarú kör. A körvonal bármely P(x;y) pontja C(u;v) középponttól adott r távolságra van. A C és
- [Szabályos testek](https://matekarcok.hu/szabalyos-testek/) - Mindjárt az elején felvetődik a kérdés: Mitől szabályos egy test? Az egyenes körhenger, az egyenes körkúp is rendelkezik szabályossággal. Talán még azt is mondhatnánk, hogy a legszabályosabb test a gömb. Arkhimédész nem a szabályosságuk miatt kérte a síremlékére ezen testek rajzát, hanem az egymás írt testek térfogatainak az aránya ejtette ámulatba. Akkor hát mit értünk
- [Prímszámok száma](https://matekarcok.hu/primszamok-szama-vegtelen/) - Eukleidész már az ókorban bebizonyította, hogy nincs legnagyobb prímszám. Az ő bizonyítása mai megfogalmazással a következő: Állítás: Nincs legnagyobb prímszám. Bizonyítás (indirekt bizonyítás): Tételezzük fel az ellenkezőjét, azaz tételezzük fel, hogy van legnagyobb prímszám, azaz a prímszámok száma véges. Tegyük fel, hogy „k” darab prímszám van: p1=2, p2=3, p3=5 és a feltételezett utolsó prímszám a
- [Binomiális eloszlás](https://matekarcok.hu/binomialis-eloszlas/) - 1. Példa: Egy dobozban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Csukott szemmel egymás után kihúzunk 5 golyót úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kihúzott golyót és összekeverjük a doboz tartalmát. Mi a valószínűsége, hogy ötből háromszor piros golyót húztunk? Megoldás: Ez visszatevéses mintavétel. A kérdésre a válasz: ​\( \binom{5}{3}·\left(\frac{10}{18} \right)^3·\left(\frac{8}{18} \right) ^2≈0.34 \)​. Ha
- [Mértani sor összege](https://matekarcok.hu/mertani-sor-osszege/) - Bevezető feladatok 1. Írjuk fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját: 2.5; 5/21; 10/9! Az eredmények: 2/5=0.1 pontos érték; ​\( \frac{5}{21}=0.2380952380...=0.\dot{2}3809\dot{5}..... \)​ ; ​\( \frac{10}{9}=1.111111....=1.\dot{1} \)​ . 2. Hogyan írható fel a következő tizedes tört két egész szám hányadosaként? ​\( 0.\dot{2}3\dot{8} \)​= ? Legyen ​\( x=0.\dot{2}3\dot{8} \)​. Ekkor ​\( 1000x=238.\dot{2}3\dot{8} \)​. Formálisan elvégezve a következő műveletet:
- [Euler, Leonhard](https://matekarcok.hu/euler-leonhard/) - Gauss mellett Euler a matematika egyik legsokoldalúbb, legtermékenyebb és legnagyobb tudósa. Huszonnyolc nagyobb mű, hétszázötven jelentős értekezés és több népszerűsítő tankönyv maradt utána. Éppen Gauss mondta róla: "Euler műveinek tanulmányozása mindig a legjobb iskola lesz." Euler életéről Svájcban, Baselben született. Matematika mellett teológiát, orvostudományt és keleti nyelveket tanult. Bázelben a híres Bernoulli matematikus család támogatta és
- [Prímszámokról további ismeretek](https://matekarcok.hu/primszamokrol-tovabbi-ismeretek/) - A prímszámok fogalmát valószínűleg már az egyiptomiak és a mezopotámiai népek is ismerték. Első, tervszerű tanulmányozói a püthagoreusok voltak, de a prímszámokra először Eukleidésznél találunk pontos meghatározást. Mivel a prímszámok a természetes számok, illetve az egész számok "atomjai", mindig nagyon foglalkoztatták a matematikusokat. A prímszámokkal kapcsolatos legfontosabb kérdések: • Prímszámok előállítása. • Prímszámok elhelyezkedése, eloszlása.
- [Miért nincs matematikai Nobel díj?](https://matekarcok.hu/miert-nincs-matematikai-nobel-dij/) - 1993-ban, hosszas erőfeszítés után Andrew Wiles angol matematikusnak sikerült az egyik legrégibb matematikai problémának, a Fermat sejtésnek a bizonyítása. Ez a siker feltehetően kiérdemelte volna a matematikai Nobel díjat. Ha lenne! Van fizikai, kémiai, orvosi (élettani), irodalmi, közgazdasági és béke Nobel díj. Sajnos azonban Nobel Alfréd svéd feltaláló, a díj alapítója nem rendelkezett matematikai díj
- [Binomiális tétel](https://matekarcok.hu/binomialis-tetel/) - ​Nézzük meg a kéttagú kifejezések pozitív egész kitevőjű hatványának rendezett polinom alakban történő felírásakor kapott kifejezéseket! (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. Ezeket a polinomokat a hatványozás elvégzésével, és az összevonásokkal viszonylag könnyen meg tudtuk kapni. Ha azonban egy kicsit általánosabban próbáljuk ezt problémát megközelíteni, akkor a kérdés úgy vethető fel, hogyan írható rendezett polinom alakban az (a+b)n
- [Parabola érintői](https://matekarcok.hu/parabola-erintoi/) - Definíció: A parabola azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott egyenesétől (vezéregyenes) és a sík egy adott (a vezéregyenesre nem illeszkedő) pontjától (fókusz) egyenlő távolságra vannak. A parabolát azonban a körhöz hasonlóan kúpszeletként is definiálhatjuk. Parabolát kapunk, ha egy forgáskúpot olyan síkkal metsszünk, amely nem megy át a
- [A π közelítő szerkesztése](https://matekarcok.hu/a-pi-kozelito-szerkesztese/) - Bár euklideszi módon nem lehet a π-t előállítani, több jó közelítő szerkesztési eljárás is született a π szerkesztésére. Az egyik legismertebb ezek közül a XVII. században élt lengyel Adam Kochanski-tól származik. Vegyünk fel egy egységnyi sugarú kört, húzzuk meg az egyik átmérőjét! A mellékelt ábra szerint AB átmérő, és OA=r=1. Az átmérő egyik
- [Fraktálokról](https://matekarcok.hu/fraktalokrol/) - Ilyen típusú alakzatokat alig húsz éve ismerünk. A nyolcvanas évek elején indultak hódító útjukra egy véletlen folytán. Mandelbrot lengyel származású, USA-ban élő matematikus, miközben számításait geometriailag illusztrálta számítógépén, olyan furcsa mértani alakzatra lett figyelmes, amely minden korábbitól különbözött. Sokáig azt hitte, számítógépe meghibásodott, azért adja a szokatlan kimenetet. Hétköznapi fogalmazással a fraktál olyan alakzat, amely
- [Kerületi és középponti szögek tétele ](https://matekarcok.hu/keruleti-es-kozepponti-szogek-tetele/) - Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (w) a körvonalból egy körívet (AB ív), a körlapból egy körcikket (AOB) határoz meg. Az AB ív a körüljárás irányával együtt határozza meg egyértelműen a középponti szöget. A melléklet ábrákon két
- [Húrnégyszögek tétele](https://matekarcok.hu/hurnegyszogek-tetele/) - Definíció: Azokat a konvex négyszögeket. amelynek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögeknek nevezzük. A húrnégyszögek oldalfelező merőlegesei egy pontban, a köré írt kör középpontjában metszik egymást. Tétel: Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege egyenlő. A tétel két állítást tartalmaz: Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180°. Ha egy négyszög
- [Deriválási szabályok](https://matekarcok.hu/derivalasi-szabalyok/) - 1. Függvény konstans-szorosának deriváltja Tétel: Ha f (x) függvény differenciálható egy x0 pontban akkor a c f(x) függvény is differenciálható ebben az x0 pontban és (cf(x0))’ =c f’(x0). Röviden: (cf(x))’ =c f’(x). Másképp: Egy függvény konstans-szorosának deriváltja a függvény deriváltjának konstans-szorosa. 2. Két függvény összegének és különbségének deriváltja Feladat: Határozzuk meg a következő függvények differenciálhányadosát az
- [Visszatevéses mintavétel](https://matekarcok.hu/visszateveses-mintavetel/) - 1. Példa: A mellékelt ábrán (Galton deszkán) egy golyó gurul lefelé. Minden akadálynál ugyanakkora (0.5) valószínűséggel megy jobbra vagy balra. Ezért minden út egyformán valószínű. A pályán 5 szinten vannak akadályok (elágazási pontok) és a végén 6 rekesz [0;5] valamelyikébe érkezik meg a golyó. Mi a valószínűsége annak, hogy a golyó a k.-dik (0; 1;
- [Hipergeometrikus eloszlás](https://matekarcok.hu/hipergeometrikus-eloszlas/) - Példa: Egy dobozban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Véletlenszerűen kiveszünk (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) 5 golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott öt darab között három piros golyó van? Megoldás: Ez visszatevés nélküli mintavétel. 18 golyónk van. Ebből 5 -t kiválasztani (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) ​\( \binom{18}{5}=8568 \)​
- [Oszthatóság](https://matekarcok.hu/oszthatosag/) - Az oszthatóság kérdését teljes általánosságban Pascal francia matematikus vizsgálta. Definíció: Az "a", "b" természetes számok esetén az "a" számot "b" osztójának nevezzük, ha van olyan "q" természetes szám, hogy fennáll a b=a⋅q egyenlőség. Ekkor azt mondjuk, hogy "b" osztható "a"-val. Jelölés: a|b, ha b=a⋅q, és a,b,q ∈ ℕ-nek. Például: 9|63, mert 63=9⋅7. Megjegyzések: 1. Mivel
- [Pascal háromszög](https://matekarcok.hu/pascal-haromszog/) - Binomiális tétel kimondja, hogy kéttagú kifejezések pozitív egész kitevőjű hatványának rendezett polinom alakban történő felírásakor a következő kifejezéseket kapjuk: Ha a és b tetszőleges valós számok és n pozitív egész szám, akkor: A tételben szereplő ​\( \binom{n}{k}​ \)​ együtthatókat binomiális együtthatóknak is nevezik. Pascal francia matematikus 1654-ben (a +b)n binomiális együtthatókat tanulmányozta és módszert adott kiszámításukra.
- [A gúla térfogata](https://matekarcok.hu/a-gula-terfogata/) - A gúla térfogatának a meghatározásánál felhasználjuk a hasábok térfogatánál megállapított összefügést, azaz a hasáb térfogata egyenlő az hasáb alapterületének és a hasáb magasságának szorzatával. Vhasáb=talapterület ⋅mhasáb. Tétel: A gúla térfogata egyenlő az alaplap területének és a gúla magasságának szorzatának harmadrészével. Formulával: ​\( V=\frac{T·m}{3} \)​ Itt T a gúla alaplapjának a területe, m pedig az ehhez tartozó
- [Függvények határértéke](https://matekarcok.hu/fuggvenyek-hatarerteke/) - Bevezető feladat: Vizsgáljuk meg az ​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} \)​ x∈ℝ|x≠3 függvényt. Az a2-b2=(a+b)⋅(a-b) azonosság segítségével írjuk fel a számlálót szorzat alakban: ​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \). Egyszerűsítés után a megadott függvény: f(x)=x+3; x∈ℝ|x≠3. Ez a függvény egy egyszerű lineáris függvény, amely azonban x0=3 helyen nincs értelmezve. A függvény grafikonja egy „lyukas” egyenes az x=3 pontban. A számsorozatoknál már
- [Vektorok összeadása, kivonása](https://matekarcok.hu/vektorok-osszeadasa/) - A vektort mint irányított szakaszt definiáljuk. Az eltolást vektorral adjuk meg. Vektorok összeadása: Két vektor összegét mint két eltolás egymásutánját értelmezzük. Két vektor összeadásakor az egyik vektor végpontjába felmérjük a másik vektort. Az összegvektor az első kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat. Szöget bezáró vektorok esetén a két vektort közös kezdőpontba is mérhetjük. Ekkor végpontjaikból
- [Fagráfok](https://matekarcok.hu/fagrafok/) - Definíció: Körnek nevezzük a gráf egy adott pontjába visszavezető utat, azaz olyan élsorozatot, amely a kiindulási pontba tér vissza és benne minden él csak egyszer szerepel. Definíció: Ha egy gráf összefüggő és nem tartalmaz kört, akkor azt fának nevezzük. Például: A számítógépeknél használt menü struktúrák vagy a családfák is fagráfok. Definíció: Egy gráfot erdőnek (ligetnek)
- [Hatványfüggvények](https://matekarcok.hu/hatvanyfuggvenyek/) - Definíció: A hatvány függvények hozzárendelési szabálya alaphelyzetben:f: ℝ→ℝ; f(x)=​\( x^n \), ahol x∈ℝ és n∈ℕ|n>1. Grafikonjuk: Páros kitevő esetén n=2; n=4 Páratlan kitevő esetén n=3; n=5 Az f(x)=xn hatványfüggvények jellemzése: Páros hatványkitvő esetén. Tetszőleges hatványkitevő esetén. Páratlan hatványkitevő esetén. Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza: x∈ℝ. Értékkészlet: Nemnegatív valós számok halmaza: y=​\( x^n \)​∈ℝ| y=​\( x^n \)​≥0 Valós számok
- [Az exponenciális függvény](https://matekarcok.hu/az-exponencialis-fuggveny/) - Definíció: A pozitív valós számok halmazán értelmezett x→​\( a^x \)​ típusú függvényt (a∈ℝ+; a>1 vagy 0
- [Háromszög oldalfelező merőlegesei](https://matekarcok.hu/haromszog-oldalfelezo-merolegesei/) - Van a Mátrában egy - Szent Istvánról elnevezett - templom, amelyet úgy is hívnak, hogy a „Három falu temploma”. A templom a XX. század első felében épült. Szándék szerint három falu — Mátraszentimre, Mátraszentlászló, Mátraszentistván — közös templomának készült azzal az elképzeléssel, hogy mindhárom falutól közel egyenlő távolságra legyen. Vajon hogyan határozható meg a három
- [Nevezetes szorzatok](https://matekarcok.hu/nevezetes-szorzatok/) - Azonosságok: 1. Kéttagú összeg illetve különbség négyzete. 2. Két tag különbségének és összegének a szorzata. 3. Háromtagú összeg négyzete. 4. Kéttagú összeg illetve különbség harmadik hatványa. 5. Két tag köbének összege és különbsége. 1. Kéttagú összeg ill. különbség négyzete. Szavakkal: Egy kéttagú kifejezés négyzete egyenlő az első tag négyzetének, az első és második tag előjeles szorzatának
- [Hasáb térfogata](https://matekarcok.hu/hasab-terfogata/) - A hasábok térfogatának meghatározása előtt tekintsük át a poliéderek (a poliéderek olyan testek, amelyeket csak sokszögek határolnak) térfogatával kapcsolatos megállapításokat (természetesen minden hasáb poliéder). • A poliéderek térfogatmérésénél minden poliéderhez, mint a térfogat értékét hozzárendelünk egy pozitív valós számot. • Térfogategységnek azt a kockát tekintjük, amelynek az élei egységnyi hosszúságúak. Minden poliéderhez úgy rendelünk egy
- [Összetett számok](https://matekarcok.hu/osszetett-szamokrol/) - Definíció: Összetett számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek 2-nél több, de véges számú osztója van. Az összetett számok vizsgálata is sok érdekes tényre vezette a matematikusokat. Ilyen például az, hogy minden 2-nél nagyobb páros számot felírhatunk két prímszám összegeként. Például 12=7+5; 20=7+13, 98=19+79, stb. Ezt a megfigyelést Goldbach sejtésnek nevezik, amelyet sem cáfolni, sem
- [Nevezetes szögek szögfüggvényeinek pontos értéke](https://matekarcok.hu/nevezetes-szogek-szogfuggvenyeinek-pontos-erteke/) - Nevezetes szögeknek szoktuk mondani a 30°-os, a 45°-os és a 60°-os szögeket. Ezen szögek szögfüggvényeinek pontos értékét az alábbiakban lehet meghatározni. 1. A 45° -os szög szögfüggvényeinek meghatározásához tekintsük a jobboldali ábrán az egységnyi befogójú derékszögű háromszöget. Ennek hegyesszögei 45° -osak. Átfogóját Pitagorász tétele segítségével kapjuk: BA=c=​\( \sqrt{2} \) . A szögfüggvényeinek definíciója szerint: tg45°=ctg45°=1 és sin45°=cos45°=​\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)​.
- [Függvények folytonossága](https://matekarcok.hu/fuggvenyek-folytonossaga/) - Bevezetés A középiskolai tanulmányok eddigi –középszintű - szintjén a függvények folytonosságát nem definiáltuk. A függvény grafikonjára támaszkodva egy szemléletes kép alapján fogadtuk el valamely függvényről, hogy folytonos vagy sem. Nézzük a következő függvényeket: Az f(x) függvény grafikonja alapján úgy gondoljuk, hogy az f(x) függvény folytonos. De az f(x) függvény az x= 3 pontban nincs értelmezve,
- [Két kör kölcsönös helyzete](https://matekarcok.hu/ket-kor-kolcsonos-helyzete/) - Legyen adott két kör: Az O1 középpontú r1 sugarú (O1;r1) és az O2 középpontú r2 sugarú kör (O2;r2). Két kör lehetséges kölcsönös helyzetét az alábbi animáció szemlélteti: Hat különböző esetet figyelhetünk meg: O1O2>r1+r2. 1. A két körnek (körlemeznek) nincs közös pontja. O1O2>r1+r2. 2. A két kör kívülről érinti egymást. O1O2=r1+r2. 3. A két kör metszi
- [Legkisebb közös többszörös](https://matekarcok.hu/legkisebb-kozos-tobbszoros/) - Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse. Definíció: Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója. Jelöléssel: [a,b,c]=d, ha d a legkisebb olyan pozitív egész, hogy d=a⋅m, d=b⋅l, és d=c⋅k, ahol a, b, c, d, l, m, k pozitív egész
- [Legnagyobb közös osztó](https://matekarcok.hu/legnagyobb-kozos-oszto/) - Definíció: Két vagy több egész szám legnagyobb közös osztója az a pozitív egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója, és az adott számok minden közös osztójának többszöröse. Mivel oszthatóság szempontjából minden szám és ellentettje is ugyanúgy viselkedik, ezért az egyértelműség végett kikötjük, hogy a legnagyobb közös osztó mindig pozitív. Jelöléssel: (a,b,c)=d, ha d a
- [Halmazműveletek](https://matekarcok.hu/halmazmuveletek/) - 1. Két halmaz egyesítése Definíció: Két halmaz uniójának (egyesítésének, összegének) nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek az elemei. Jelölés: A és B halmazok uniójának jele: A∪B. Röviden: c ∈ A∪B, ha c ∈ A vagy c ∈ B. Ábrázolása: Ezt a műveletet a Venn diagram segítségével a következőképpen tudjuk
- [Feltételes valószínűség](https://matekarcok.hu/felteteles-valoszinuseg/) - 1. Feladat Egy urnában 10 piros és 8 kék golyó van. Egymás után két golyót kihúzunk az urnából. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a másodiknak kihúzott golyó kék feltéve, hogy az elsőként kihúzott golyó piros? NT-14311 203. oldal Megoldás: Legyen „B” esemény: {Az elsőnek húzott golyó piros.} A ”B” esemény valószínűsége: ​\( P(B)=\frac{10}{18}≈0.56 \)​. Legyen
- [Bizonyítási módszerek](https://matekarcok.hu/bizonyitasi-modszerek/) - Bizonyítási módszerek a matematikában. Matematikában az axiómákon kívül minden állítást bizonyítunk. De ennek többféle módja van. Nézzük az alábbiakat: 1. Direkt bizonyítás 2. Indirekt bizonyítás 3. Teljes indukció 4. Skatulya-elv 1. Direkt bizonyítás. Ebben az esetben már korábbi bizonyított állításokból illetve axiómaként elfogadott alapállításokból kiindulva, helyes logikai következtetések alapján bizonyítjuk az állítást. A leggyakrabban alkalmazott
- [Nagyon nagy prímszámok](https://matekarcok.hu/nagyon-nagy-primszamok/) - Nagyon nagy prímszámok: Érték Számjegyek száma Felfedezés Megjegyzés 2127-1 39 számjegy Számítástechnika előtt 22281-1 23217-1 24423-1 2216091-1 1996. GMIPS 909 526 számjegy 1998. 2 6 972 593-1 2 098 960 számjegy 1999. 213 466 917-1 4 053 946 számjegy 2001. 220 996 011-1 6 320 430 számjegy 2003. 224 036
- [Statisztikai adatok ábrázolása](https://matekarcok.hu/statisztikai-adatok-abrazolasa/) - Ma már megszokott dolog, hogy a nyomtatott vagy az elektronikus sajtóban táblázatokkal és grafikonokkal találkozunk. Ezeket az adatokat persze előbb össze kellett gyűjteni és rendszerezni. Az adatok diagramokban történő ábrázolása vizuális lehetőséget ad egy áttekintőbb értékelésre. Régebbi időkben használt lázlapok visszatükrözték a beteg állapotának a változását. Ebben az esetben itt az un. vonaldiagramot alkalmazták. A
- [Tetszőleges szög tangense, kotangense](https://matekarcok.hu/tetszoleges-szog-tangense-kotangense/) - Tetszőleges szög tangensének és kotangensének meghatározásához felhasználjuk a tetszőleges szinuszára és koszinuszára vonatkozó definíciókat. Definíció: Tetszőleges szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő. Formulával: ​\( tgα=\frac{sinα}{cosα}, \; cosα≠0; \; α≠\frac{ π }{2}+k· π , \; k∈ℤ \)​. A definíciónak geometriai értelmezést is tudunk adni. Egy szög tangense, a koordinátasíkon annak a pontnak az y
- [Számírás, számrendszerek](https://matekarcok.hu/szamiras-szamrendszerek/) - Alaki érték, helyi érték Ma már mindenkinek természetesnek tűnik a tízes számrendszer használata. Ennek lényege, hogy minden egységből 10 darabot egy újabb, nagyobb egységbe foglalunk. 10 darab egyest új egységbe foglalva azt mondjuk, hogy van 1 darab tízes egységünk. 10 darab tízes egység ad 1 darab 100-as egységet. És így tovább. Azt az értéket, amelyik
- [Százalékszámítás](https://matekarcok.hu/szazalekszamitas/) - Már az i.e. 300-as évekből származó babiloni leleteken találkozhatunk vele, kamatszámítási feladatokban. A százalékszámítás (századrészekkel való számolás) a mai életnek is szerves része. Akár a kamatok, a különböző adók, mind, mind százalékban vannak kifejezve. Egy mennyiségnek (érték) az egészhez (alap) viszonyított arányát a 100-hoz viszonyított aránnyal (százaléklábbal) adjuk meg. Azt a mennyiséget, amelynek a százalékát
- [Trigonometrikus függvények deriváltjai](https://matekarcok.hu/trigonometrikus-fuggvenyek-derivaltjai/) - 1. Szinusz függvény deriváltja: Határozzuk meg az f(x) = sin(x) függvény derivált függvényét! Ez most is három lépésben történik. 1.1 A differenciahányados felírása 1.2 A differenciálhányados kiszámítása. 1.3 A derivált függvény meghatározása 1.1 A differenciahányados felírása: ​\( \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0} \)​ . (x≠x0) Két szög szinuszának különbségét szorzattá alakítása összefüggés:​\( sinα-sinβ=2·sin\frac{α-β}{2}·cos\frac{α+β}{2}. \)​ Ezt alkalmazva a differenciahányadosra: \[ \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0}=\frac{2sin\frac{x-x_0}{2}·cos\frac{x+x_0}{2}}{x-x_0}=\frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·cos\frac{x+x_0}{2}
- [Egyenes normálvektorú egyenlete](https://matekarcok.hu/egyenes-normalvektoru-egyenlete/) - Definíció: A (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérusvektortól különböző bármely vektor. Adott az egyenes egy P0(x0;y0) pontja, helyvektora ​\( \vec{r_0} \)​, és adott az egyenes ​\( \vec{n}(n_1;n_2) \)​ normálvektora. Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora ​\( \vec{r}(x;y). \)​ ​ A P pont bármely helyzetében a P0 pontból a P pontba mutató vektor egyenlő
- [Függvény párossága, páratlansága](https://matekarcok.hu/fuggveny-parossaga-paratlansaga/) - Függvény párossága. Definíció: Az f:H→ℝ​, x→ f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén f(-x)=f(x). Ellentett helyen megegyező függvényértéket kapunk. A páros függvények képe szimmetrikus a koordinátasík y tengelyére. Páros függvény például az m(x)=x2 másodfokú függvény, hiszen m(-3)=(-3)2=9 és
- [Párhuzamos szelők tétele](https://matekarcok.hu/parhuzamos-szelok-tetele/) - Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok hosszának aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával. A mellékelt ábra szerint: AB:CD=A'B':C'D' A tétel feldolgozása három lépésből áll. Elsőként belátjuk arra az esetre, amikor a párhuzamos egyenesek az egyik szögszáron egyenlő hosszúságú szakaszokat vágnak le, azaz az
- [Tangens függvény](https://matekarcok.hu/tangensfuggveny/) - Tetszőleges szög tangensének definíciója: Tetszőleges szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő. Formulával: ​\( tgα=\frac{sinα}{cosα}, \; cosα≠0; \; α≠\frac{ π }{2}+k· π , \; k∈ℤ \)​. A definíciónak geometriai értelmezést is tudunk adni. Egy szög tangense, a koordinátasíkon annak a pontnak az y koordinátája, amelyet az adott szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó középpontú
- [Kotangens függvény](https://matekarcok.hu/kotangens-fuggveny/) - Tetszőleges szög kotangensének definíciója: Tetszőleges szög kotangense a szög koszinuszának és szinuszának hányadosával egyenlő. Formulával: ​\( ctgα=\frac{cosα}{sinα}, \; sinα≠0; \; α≠0+k· π , \; k∈ℤ \)​. A definíciónak geometriai értelmezést is tudunk adni. Egy szög kotangense, a koordinátasíkon annak a pontnak az x koordinátája, amelyet az adott szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó középpontú egységsugarú kör
- [Pont körüli forgatás és tulajdonságai](https://matekarcok.hu/pont-koruli-forgatas-es-tulajdonsagai/) - Definíció: Pont körüli forgatásnál adott a síkban egy pont, a forgatás középpontja, és adott egy előjeles szög, amely a forgatás mértékét és irányát adja meg. Az adott (O) pont körüli adott előjeles szögű (β) forgatás az O ponthoz önmagát, minden más (P) ponthoz azt a képpontot (P') rendeli, amelyre OP=OP' és a POP'∠ megegyezik a
- [Négyszögek osztályozása](https://matekarcok.hu/negyszogek-osztalyozasa/) - Nevezetes (speciális) négyszögek. 1. Trapézok: Olyan négyszögek, amelyeknek van két párhuzamos oldala. 2. Paralelogrammák: Olyan négyszögek, amelyeknek szemközti oldalai párhuzamosak. 3. Téglalapok: Olyan négyszögek, amelyeknek egyenlők a szögei. 4. Rombuszok: Olyan négyszögek, amelyeknek egyenlők az oldalai.5. Négyzetek: Olyan négyszögek, amelyeknek szögei és az oldalai is egyenlők.6. Deltoidok: Olyan négyszögek, amelyeknek van csúcsai átmenő szimmetriatengelye. Négyszögek osztályozása. A. Az oldalak
- [Szinusz függvény](https://matekarcok.hu/szinuszfuggveny/) - Az x→sin(x) függvény grafikonja: Az x→sin(x) függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: x∈ℝ. Értékkészlet: y=sin(x)∈ℝ|y∈[-1;1] Zérushelye: x=0+kπ ; k∈ℤ. Menete: Monoton nő, ha -π/2+k2π≤x≤π/2+k2π; k∈ℤ. Monoton csökken, ha π/2+k2π≤x≤3π/2+k2π; k∈ℤ. Szélsőértéke: Maximum: y=1; x=π/2+k2π; k∈ℤ. Minimum: y=-1; x= 3π/2+k2π; k∈ℤ. Korlátos: Igen. -1≤sin(x)≤+1 Páros vagy páratlan: Páratlan, sin(-x)=-sin(x) Periodikus: Igen. A periódus hossza: p=2π. Konvex/konkáv: Konvex, ha
- [Koszinusz függvény](https://matekarcok.hu/koszinusz-fuggveny/) - Az x→cos(x) függvény grafikonja: Az x→cos(x) függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: x∈ℝ. Értékkészlet: y=cos(x)∈ℝ|y∈[-1;1] Zérushelye: x=π/2+kπ ; k∈ℤ. Menete: Monoton nő, ha -π+k2π≤x≤0+k2π; k∈ℤ. Monoton csökken, ha 0+k2π≤x≤π+k2π; k∈ℤ. Szélsőértéke: Maximum: y=1; x=0+k2π; k∈ℤ. Minimum: y=-1; x= π+k2π; k∈ℤ. Korlátos: Igen. -1≤cos(x)≤+1 Páros vagy páratlan: Páros, cos(-x)=cos(x) Periodikus: Igen. A periódus hossza: p=2π. Konvex/konkáv: Konvex, ha
- [Az egyenes körhenger térfogata](https://matekarcok.hu/az-egyenes-korhenger-terfogata/) - Az egyenes körhenger térfogatának meghatározásánál felhasználjuk, hogy a hasáb térfogata: Vhasáb=talapterület⋅mhasáb. Az egyenes henger térfogatát köré és beleírt hasábok segítségével, a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg. A henger alaplapjába, azaz az r sugarú körbe és a kör köré egy-egy szabályos sokszöget írunk, melyek oldalszámai n=3, 4, 6, 8, stb. A beírt hasáboknál a sokszög csúcsai
- [Tetszőleges szög szinusza, koszinusza](https://matekarcok.hu/tetszoleges-szog-szinusza-koszinusza/) - Az ​\( \vec{i} \) és ​\( \vec{j} \) bázisvektorok által meghatározott (xy) koordináta-rendszerben az ​\( \vec{i} \) egységvektortól ß szöggel elforgatott ​\( \vec{e} \) egységvektor meghatároz egy P pontot az egységsugarú kör kerületén. Definíciók: Egy ß szög szinusza a koordinátasíkon az \( \vec{i} \) egységvektortól ß szöggel elforgatott \( \vec{e} \) egységvektor második (y) koordinátája. Egy ß szög
- [Hogyan lehet kettő egyenlő eggyel?](https://matekarcok.hu/hogyan-lehet-ketto-egyenlo-eggyel/) - Ismert matematikai példa arra, hogyan lehet egy "apró" hibával 2=1 abszurd eredményre jutni. Legyen a és b két változó, amelyre: a=b. Mindkét oldalt a-val megszorozva: a2=ab Adjunk hozzá mindkét oldalhoz a2-2ab-t! Ekkor kapjuk: 2a2-2ab=ab+a2-2ab Emeljünk ki a baloldalon 2-t! 2(a2-ab)=ab+a2-2ab Jobboldalon vonjunk össze! 2(a2-ab)=a2-ab Egyszerűsítsük az egyenlet mindkét oldalát a2-ab -vel! 2=1 Hol követtük el a hibát?
- [Hérón képlet](https://matekarcok.hu/heron-keplet/) - Hérón görög matematikusról elnevezett képlet segítségével a háromszög területe könnyen kiszámítható a három oldal ismeretében. A Héron képlet: ​\( t=\sqrt{s(s-a)(s-b(s-c)} \) ahol s a háromszög kerületének a fele, azaz ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​. Ezt az összefüggést valószínűleg Arkhimédész fedezte fel, de Hérón bizonyította be elsőként. A képlet levezetése: Induljunk ki a háromszög területének közismert képletéből: ​\( t=\frac{a·m_{a}}{2} \)​
- [Két ponttal adott egyenes egyenlete](https://matekarcok.hu/ket-ponttal-adott-egyenes-egyenlete/) - A koordináta-geometriában gyakori feladat, hogy fel kell írni két adott ponton áthaladó egyenes egyenletét. Legyenek ezek az ismert pontok P1 és P2 -vel jelölve, koordinátái: P1(x1;y1) és P2(x2;y2). Ez a két pont meghatározza az egyenes irányát azaz egyenes irányvektorát: ​\( \vec{v}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}(x_2-x_1;y_2-y_1) \). A két ismert ponton áthaladó egyenes egyenletének a felírásához felhasználhatjuk az egyenes irányvektoros
- [Számelmélet alaptétele](https://matekarcok.hu/szamelmelet-alaptetele/) - Definíció: Összetett számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek 2-nél több, de véges számú osztója van. Számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve, egyértelműen felírható prímszámok szorzataként. Például: ​\( 72=2·2·2·3·3=2^{3}·3^{2} \)​ Ez utóbbi hatványkitevős alakot a számok kanonikus alakjának nevezzük. Általában: ​\( n=p_{1}^{k}·p_{2}^{l}·p_{3}^{m}·p_{4}^{n}·...·p_{n}^{i} \)​. A tétel bizonyítása két részből áll. 1. Felbontás létezik. Legyen n
- [A másodfokú egyenlet diszkriminánsa](https://matekarcok.hu/a-masodfoku-egyenlet-diszkriminansa/) - A másodfokú egyenlet megoldóképletében a négyzetgyök alatt szereplő ​\( b^{2}-4ac \)​ kéttagú kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük. (gyakran D-vel jelöljük.) Itt az a, b, c betűk az ​\( ax^{2}+bx+c=0 \)​ másodfokú egyenlet általános alakjában szereplő együtthatók. (a≠0). Ettől a ​\( D=b^{2}-4ac \)​ kéttagú kifejezéstől függ a másodfokú egyenlet megoldásainak száma a valós számok között. 1. Ha a D=b2-4ac>0, akkor a másodfokú
- [Visszatevés nélküli mintavétel](https://matekarcok.hu/visszateves-nelkuli-mintavetel/) - Hasonlítsuk össze az alábbi két faladatot! Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese matematikából. Öt különböző felméréshez egy-egy tanulót kisorsolnak az osztályból úgy, hogy egy tanulót többször is kisorsolhatnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2-szer fordul elő a kisorsoltak között olyan, akinek jelese van matematikából? Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese
- [Hippokratész](https://matekarcok.hu/hippokratesz/) - Hippokratész életéről: Khioszi görög matematikus, eredeti foglalkozását tekintve kereskedő volt. Miután tönkrement, Athénbe költözött és matematikával, pontosabban geometriával kezdett foglalkozni. Nem tévesztendő össze kortársával a kószi Hippokratésszel, a híres orvossal. Hippokratész munkásságáról: Hippokratész Sztoikheia (Elemek) című művében kísérletet tett a geometria geometria axiomatikus felépítésére, de művének csak töredékei maradtak fenn. Ez a mű Eukleidész azonos
- [Hippokratész holdjai](https://matekarcok.hu/hippokratesz-holdjai/) - Hippokratész ókori görög matematikus sokat foglalkozott körívek és egyenesek által határolt síkidomok területének meghatározásával. A most következő példa, Hippokratész "holdacskái" egy konkrét példa arra, hogy görbe vonalakkal határolt síkidom adott esetben és adott értelemben négyszögesíthető. https://matekarcok.hu/hippokratesz/ Feladat: Az ábrán lévő holdacskákat a derékszögű háromszög oldalai fölé szerkesztett félkörök határolják. Bizonyítsuk be, hogy a holdacskák területének
- [Számok normálalakja](https://matekarcok.hu/szamok-normalalakja/) - A nagyon nagy illetve nagyon kicsi számokat sokszor célszerű 10 egész kitevőjű hatványainak segítségével két tényezős szorzatként felírni, úgy, hogy maga a szám (a hatvány szorzója) abszolút értékben 1 és 10 közötti szám legyen, a másik tényező pedig 10 megfelelő egész kitevőjű hatványa. Ezt az elvet használják például a zsebszámológépek (kalkulátorok) is, amikor a véges
- [Hatvány fogalma racionális kitevő esetén](https://matekarcok.hu/hatvany-fogalma-racionalis-kitevo-eseten/) - Hatvány fogalmát pozitív egész kitevőre olyan szorzatként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek, azaz ​\( a^{3}=a·a·a \). Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, negatív egész, sőt törtszám is lehessen. Ezekre az esetekre azonban új definíciókat kell adni, de ezt úgy, hogy az eddig megismert
- [Az n-edik gyökvonás azonosságai](https://matekarcok.hu/az-n-edik-gyokvonas-azonossagai/) - Az n-edik gyökvonás azonosságainál az n-edik gyök fogalmánál megfogalmazott feltételek az érvényesek. Azaz: Az n gyökkitevő 1-nél nagyobb egész szám lehet, n∈ℕ, n≥2 és a,b ∈ℝ. Ha n gyökkitevő páros (n=2⋅k), akkor a gyök alatt nemnegatív valós szám állhat, azaz a≥0, b≥0. Ha n gyökkitevő páratlan (n=2⋅k+1), akkor a gyök alatt azaz tetszőleges valós szám állhat.
- [Racionális számok](https://matekarcok.hu/racionalis-szamok/) - Definíció: Azok a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. A racionális számok halmazának jele: ℚ. Formulával: "c" ∈ ℚ, ha c=a/b, ahol "a", "b" ∈ (elme) ℤ (egész számok halmaza), és b ≠ 0. Például: ​\( \frac{2}{3} \)​, ​\( \frac{1}{2} \)​, 5, mert 5=​\( \frac{20}{4}=\frac{5}{1} \). ​ A nulla is racionális szám,
- [Halmazok megadása](https://matekarcok.hu/halmaz-megadasa/) - A halmaz és a halmaz eleme (halmazhoz tartozás) fogalma a matematikában alapfogalom. Magát a fogalmat körülírhatjuk, de szabatos definíciót adni nem lehet. Halmazok megadása Egy halmazt megadhatunk utasítással, vagy elemeinek felsorolásával. A halmazokat nagy betűkkel jelöljük, a halmaz definícióját pedig kapcsos zárójelbe tesszük. Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha a definíció alapján bármiről egyértelműen el
- [Egyenes irányvektoros egyenlete](https://matekarcok.hu/egyenes-iranyvektoru-egyenlete/) - Definíció: A (xy) síkban egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, a zérusvektortól különböző bármely vektor. Adott az egyenes egy P0(x0;y0) pontja, helyvektora ​\( \vec{r_0} \)​, és adott az egyenes ​\( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ irányvektora. Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora ​\( \vec{r}(x;y) \)​. A P pont bármely helyzetében a P0 pontból a P pontba mutató vektor
- [Számóriások és számtörpék](https://matekarcok.hu/szamoriasok-es-szamtorpek/) - ​Az embereket mindig izgatták a gigantikus, vagy éppen nagyon pici számok, méretek. Gondoljunk csak a mesék óriásaira, törpéire, Liliputra. Számóriások A középiskolában rendszeresen használt Matematikai Feladatgyűjtemény I. kötet II. fejezetének 1. feladata a következőképpen szól: Írjuk fel a három darab a) kettes b) hármas c) ötös segítségével megalkotható legnagyobb természetes számot! A megoldás igazán nem
- [Háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást](https://matekarcok.hu/haromszog-sulyvonalai-egy-pontban-metszik-egymast/) - Mi is a háromszög súlyvonala? Definíció: Egy háromszög súlyvonala a háromszög egy adott csúcsát és a szemközti oldal felező pontját összekötő vonal (illetve szakasz). A súlyvonalról néhány ismeret: • Egy háromszögnek értelemszerűen három súlyvonala van. Ezek minden esetben a háromszög belsejében haladnak. • Súlyvonal általában nem merőleges a szemközti oldalra. Kivéve, ha a háromszögnek a
- [Szögfelező tétel](https://matekarcok.hu/szogfelezo-tetel/) - A szögfelező tétel egy háromszögben egy adott csúcshoz tartozó szögfelezőnek az oldalakkal kapcsolatos viszonyára vonatkozik. Ha egy egyenlőszárú háromszögben meghúzzuk a szárak által közrefogott szög felezőjét, akkor az a háromszöget két egybevágó háromszögre vágja. Ebben az esetben a szögfelező egyben szimmetriatengely is és a szemközti oldalnak felező merőlegese. Figyeljük meg az alábbi animáción egy általános
- [Pitagorasz tétele](https://matekarcok.hu/pitagorasz-tetele/) - A Pitagorasz tétel a geometria, sőt talán a matematika egyik legközismertebb tétele, amely a derékszögű háromszög oldalai közötti összefüggést mondja ki. Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével. A mellékelt ábra jelölései szerint: a2+b2=c2. A tétel bizonyítása: Készítsünk két darab (a+b) oldalú négyzetet az alábbi módokon,
- [Négyszínsejtés, négyszíntétel](https://matekarcok.hu/negyszinsejtes-negyszintetel/) - 1852-ben, Angliában Francis Guthrie matematikus megpróbálta Britannia térképét kiszínezni. Ekkor botlott a problémába: Legkevesebb hány szín elegendő egy tetszőleges térkép kiszínezéséhez? Az hamar kiderült, hogy három szín biztosan nem elegendő. Úgy tűnt számára, hogy négy szín már elegendő. Guthrie a problémát megfogalmazta, de megoldani nem tudta. A négyszínsejtés bizonyítását először Möbius kísérelte meg, de nem
- [Ne higgy a szemednek megoldása](https://matekarcok.hu/ne-higgy-a-szemednek-megoldasa/) - A feladatban azt kell kideríteni, hogy a piros és a zöld háromszögek felcserélésével hogyan jött létre az 1 területegységnyi kis négyzet. Kezdjük a területek kiszámításával. A piros ADG derékszögű háromszög területe: 8⋅3/2=12 területegység. A zöld GFC derékszögű háromszög területe: 5⋅2/2=5 területegység. A sárga síkidom területe:5⋅1+2⋅1= 7 területegység. A kék színnel jelölt síkidom területe: 5⋅1+3⋅1=8 területegység. Ezek összege: 12+5+7+8=
- [Kör négyszögesítése](https://matekarcok.hu/kor-negyszogesitese/) - Mit is jelent ez? Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni. = ? Az, hogy egy adott körrel egyező területű négyzetnek lennie kell, elég könnyen belátható. Szerkesszünk az adott r sugarú körbe beírt és köréírt négyzetet. A beleírt négyzet területe
- [Déloszi probléma](https://matekarcok.hu/deloszi-problema/) - Déloszi probléma néven ismert kockakettőzési probléma sok ókori matematikust foglalkoztatott. Így Hippokratészt és Eratoszthenészt is. A feladat keletkezését Plutarkhosz görög történetíró jegyezte le. "Délosz szigetén pestis járvány tört ki. A szigetlakók a híres delphoi jóshoz fordultak tanácsért. A válasz úgy szólt, hogy: "Ha meg akarnak szabadulni a járványtól, cseréljék ki Apolló kocka alakú oltárkövét kétszer
- [Az óegyiptomi matematika](https://matekarcok.hu/az-ogyiptomi-matematika/) - Az ókori egyiptomiak számírását 4000 éves papirusz leletekről ismerjük. Ez egy könnyen érthető, egyszerű rendszer. 10-es számrendszerben, de helyi érték nélkül számoltak. Külön jele volt az egyesnek, a tízesnek, a százasnak és az ezresnek. Ezekből állították össze a számokat, de ők tőlünk eltérően jobbról balra írtak. Persze ennek az egyszerűségnek ára van, hiszen adott esetben
- [Aranymetszés](https://matekarcok.hu/aranymetszes/) - Aranymetszés, mint speciális arányt, szokták úgy is emlegetni, hogy "divina proportione", azaz az "isteni arány". Definíció: Aranymetszésről beszélünk, amikor egy mennyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az egészhez. Rajz és formula: Aránypárral: p:q=q:(p+q) Zeising német esztéta az 1800-as évek közepén
- [Hegyesszögek szögfüggvényei](https://matekarcok.hu/hegyesszogek-szogfuggvenyei/) - Példa: Mit jelent ez a közismert KRESZ tábla? A tábla az út emelkedésének a mértékére utal, a függőleges és a vízszintes szakaszok arányát jelenti. A 10%-os lejtőnél 100 méteren 10 méter az emelkedés. A táblán látható kép tehát - természetesen - nem arányos. Ugyanakkor az emelkedés mértékét a hajlásszög nagyságával is ki lehet fejezni. Ez
- [Szög mérése](https://matekarcok.hu/szog-merese/) - Szög fogalma: Az egy pontból kiinduló két félegyenes a rájuk illeszkedő síkot két tartományra, két részre bontja. Ezeket a részeket szögtartományoknak nevezzük. A két félegyenes (e, és f) tehát két szögtartományt, vagy röviden két szöget hoz létre. A két félegyenest a szög szárainak, közös kezdőpontjukat (O) a szög csúcsának nevezzük. A szögeket a görög ABC
- [Kúpszeletek](https://matekarcok.hu/kupszeletek/) - Közismert, hogy a ferdén vagy vízszintesen elhajított test pályája parabolaív. Kepler a XVII. század elején első törvényében megfogalmazta, hogy a bolygók a Nap körül ellipszis pályán keringenek és a Nap az ellipszis egyik fókuszpontjában van. Ma már elemi fizikai ismeretnek számít, hogy a Földről fellőtt rakéták, űrhajók pályája az indítási sebességtől függ. A rakéta
- [Az „n” oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege, átlóinak száma](https://matekarcok.hu/az-n-oldalu-konvex-sokszog-belso-szogeinek-osszege-atloinak-szama/) - Definíció: Egy alakzatot konvexnek mondunk, ha bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz valamennyi pontját is tartalmazzák. Definíció: Sokszögek olyan síkidomok, amelyet csak egyenes szakaszok határolnak. Definíció: Átlónak mondjuk a nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszokat (illetve egyeneseket). Állítás: Egy "n" oldalú konvex sokszög átlóinak száma = ​\( \frac{n·(n-3)}{2} \)​. Például a mellékelt ábrán lévő
- [Nevezetes ponthalmazok - Mértani helyek](https://matekarcok.hu/nevezetes-ponthalmazok-mertani-helyek/) - Adott tulajdonságú pontok összességét mértani helynek mondjuk. Az alábbiakban a következő mértani helyekről lesz szó: Két ponttól egyenlő távol lenni. (szakaszfelező merőleges) Két egyenestől egyenlő távol lenni. (szögfelező, illetve a középpárhuzamos) Adott ponttól adott távolságra lenni. (kör, illetve a gömb) Két adott pontól való állandó távolságösszeg. (az ellipszis) Két adott pontól való állandó távolságkülönbség. (a
- [Szabályos sokszögek](https://matekarcok.hu/szabalyos-sokszogek/) - Definíció: Szabályos sokszögeknek nevezzük azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú. Példa: A mellékelt animációban láthatunk néhány "n" oldalú szabályos sokszöget. (n=3, .... ,12) Megjegyzés: A szabályos sokszögek definíciója természetes rokonságot mutat a szabályos testek (szabályos poliéderek) definíciójával. Mondhatjuk azt is, hogy a szabályos sokszögek a 3D-s szabályos poliéderek 2D-s megfelelője.
- [Eltolás, mint geometriai transzformáció](https://matekarcok.hu/eltolas-mint-geometriai-transzformacio/) - "Told el a széket!" "Merre?" "Mennyire?" Az eltolás végrehajtásához szükségünk van az eltolás mértékének és irányának a megadására. Az eltolást, mint geometriai transzformációt irányított szakasszal, vektorral adjuk meg. Vektor fogalma: A vektor irányított szakasz, amelyet hosszúsága (a vektor abszolút értéke) és iránya jellemez. Adjuk meg az eltolást ​\( \underline{v}=\overrightarrow{OP} \)​ vektorral. Ekkor transzformáció a tér (vagy
- [Háromszög területe adott két oldal és közbezárt szög esetén](https://matekarcok.hu/haromszog-terulete-adott-ket-oldal-es-kozbezart-szog-eseten/) - A háromszög területének kiszámítása gyakori feladat. Különböző képletek segítenek ebben. 1. A legismertebb képlet az oldal és a hozzátartozó magasság ismeretében határozza meg a területet: TΔ=a⋅ma/2. 2. Háromszög területe három oldal ismeretében. Ez a Héron képlet: ​\( t=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) , ahol s a háromszög kerületének a fele, azaz ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​. 3. Háromszög területe és a
- [Hérón](https://matekarcok.hu/heron/) - Az ő nevét viseli a háromszögek területének kiszámítása három oldalból: a Héron-képlet. Hérón életéről: Görög matematikus, fizikus és feltaláló. A római birodalom idején Alexandriában élt Sokoldalú, széles érdeklődésű egyéniség volt. Pontosan beszámolt a Kr. u. 62-ben lefolyt holdfogyatkozásról. Több technikai találmányát ismerjük. Híres készüléke az első gőzgép. A hajtóerőt a nagy sebességgel kiáramló gőz reakcióereje
- [Arkhimédész](https://matekarcok.hu/arkhimedesz/) - Arkhimédész életéről Arkhimédész görög fizikust és matematikust ma is az ókor egyik legnagyobb tudósának tartjuk. A mai Szirakuzában élt Szicília szigetén, amelyet görög telepesek alapítottak. Rokonságban volt Hieron szirakuzai királlyal. Alexandriában, az akkori világ egyik legnagyobb kultúrközpontjában tanult, életének nagy részét szülővárosában töltötte. Főleg matematikával és fizikával foglalkozott, de sok technikai találmánya is volt. Gépei
- [Hatványfüggvények deriváltja](https://matekarcok.hu/hatvanyfuggvenyek-derivaltja/) - 1. Az f(x)=c konstans függvény deriváltja nulla. Az f(x)=c konstans függvény differenciahányadosa tetszőleges x0 (x≠x0) esetén ​\( \frac{c-c}{x-x_{0}}=0 \), így a differenciálhányados is nulla, tehát a konstans függvény deriváltja mindenütt nulla. 2. Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény derivált függvényét! Ez három lépésben történik: 1. A differenciahányados felírása 2. A differenciálhányados kiszámítása. 3. A deriváltfüggvény meghatározása 2.1
- [Nevezetes egyenlőtlenségek](https://matekarcok.hu/nevetezes-egyenlotlensegek/) - 1. A legismertebbek az un. közepek között fennálló egyenlőtlenségek: Harmonikus közép≤Számtani közép≤Mértani (Geometriai) közép≤Négyzetes közép. Formulával (két nem-negatív) valós szám esetén): H(a;b)≤G(a;b)≤A(a;b)≤N(a;b), ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0. Ezeket az egyenlőtlenségeket értelmezhetjük nemcsak két, hanem több valós számra is. A közöttük fennálló egyenlőtlenségek igazolását itt találhatjuk. 2. Az alábbi egyenlőtlenség a következőképpen szól: Bármely nullától eltérő valós szám és reciproka összegének
- [Függvénytranszformációk](https://matekarcok.hu/fuggvenytranszformaciok/) - A középiskolai tananyagban előforduló legfontosabb függvénytranszformációk. 1. A függvények értékére vonatkozó transzformációk 1.1 Függvény szorzása egy pozitív állandóval. Jelölés:c⋅f(x); c>0. A függvény meredekségének változása. „Nyújtás” az „y” tengely mentén. Nyújtás, ha „c”> 1 és összenyomás, ha 0
- [Differenciálható függvények vizsgálata](https://matekarcok.hu/differencialhato-fuggvenyek-vizsgalata/) - Egy differenciálható f(x) függvény f'(x) deriváltfüggvénye egy adott pontban az f(x) függvényhez az adott pontban húzható érintő meredekségét (iránytangensét) adja. Egy differenciálható függvény jellemzését a derivált függvény a következő szempontok vizsgálatánál segíti: A függvény menete. A függvény szélsőértéke (szélsőértékei). A függvény görbülete (Konvex, konkáv). A függvény inflexiós pontja (pontjai). 1. Függvény menete és a derivált függvénye
- [Tengelyes tükrözés fogalma, tulajdonságai](https://matekarcok.hu/tengelyes-tukrozes-fogalma-tulajdonsagai/) - Definíció: A tengelyes tükrözésnél adott a síkban egy egyenes, ez a tükrözés tengelye. Az adott egyenesre (t) vonatkozó tengelyes tükrözésnél minden a t egyenesre illeszkedő pont képe önmaga. (A≡A') Ha egy P pont nem illeszkedik a tükrözés tengelyére, akkor a P pont tükörképe az a P' pont, amelyre fennáll, hogy az adott tengely a PP'
- [Háromszög magasságvonalai](https://matekarcok.hu/haromszog-magassagvonalai/) - Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Bizonyítás: Tekintsük a jobb oldali ábrán az ABC háromszöget. Az a, b és c oldalhoz tartozó magasságokat jelöljük ma, mb, mc-vel. Azt kell belátnunk, hogy ezek egy pontban metszik egymást. Húzzunk az ABC háromszög egyes csúcsain át párhuzamosokat a szemben lévő oldalakkal. Így
- [Háromszög belső szögfelezői](https://matekarcok.hu/a-haromszog-belso-szogfelezoi/) - Tétel: A háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást. Bizonyítás: Tudjuk, hogy a szögfelező félegyenes azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szög száraitól. Tekintsük a mellékelt ABC háromszöget ahol meghúztuk az A csúcsból induló fa és a B csúcsból induló fb belső szögfelezőt. Az fa szögfelező minden pontja egyenlő távol van
- [Hiperbola, mint adott tulajdonságú pontok halmaza](https://matekarcok.hu/hiperbola-mint-adott-tulajdonsagu-pontok-halmaza/) - Definíció: A hiperbola azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) különbségének abszolút értéke állandó (2a). Ez a távolság kisebb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága. Formulával: hiperbola={P|(|d(P,F1)-d(P,F2)|)=|r1-r2|=állandó=2a
- [Ellipszis, mint adott tulajdonságú pontok halmaza](https://matekarcok.hu/ellipszis-mint-adott-tulajdonsagu-pontok-halmaza/) - Definíció: Az ellipszis azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) összege állandó (2a). Ez a távolság nagyobb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága (2c). Formulával: ellipszis={P|d(P,F1)+d(P,F2)=r1+r2=állandó=2a>d(F1;F2)=2c. Megjegyzés: Ha a két fókusz egybeesik, akkor kört
- [Függvény értelmezési tartománya és értékkészlete](https://matekarcok.hu/fuggveny-ertelmezesi-tartomanya-es-ertekkeszlete/) - Függvény értelmezési tartományának és értékkészletének meghatározásánál a függvény fogalmából indulunk ki. Definíció: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz elemeihez valamilyen egyértelmű módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A H halmazt a függvény alaphalmazának, a K halmazt a függvény képhalmazának nevezzük. Definíció: A H alaphalmaznak azt részhalmazát,
- [Függvények monotonitása](https://matekarcok.hu/fuggvenyek-monotonitasa/) - Definíció: Az f:H→ℝ​, x→ f(x) függvény egy [a;b] intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van és az intervallum minden olyan pontjára, amelyre x1
- [A parabola egyenlete](https://matekarcok.hu/a-parabola-egyenlete/) - A parabola egyenletének meghatározásához induljunk ki a parabola definíciójából! Definíció: A parabola azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott egyenesétől (vezéregyenes) és a sík egy adott (a vezéregyenesre nem illeszkedő) pontjától (fókusz) egyenlő távolságra vannak. A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága a parabola paramétere. (p). Formulával: parabola={P|d(P,v)=d(P,F). Nézzük
- [Parabola, mint adott tulajdonságú pontok összessége a síkban](https://matekarcok.hu/parabola-mint-adott-tulajdonsagu-pontok-osszessege-a-sikban/) - Definíció: A parabola azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott egyenesétől (vezéregyenes) és a sík egy adott (a vezéregyenesre nem illeszkedő) pontjától (fókusz) egyenlő távolságra vannak. Formulával: parabola={P|d(P,v)=d(P,F)}. A mellékelt ábra jelölései szerint: v: vezéregyenes, F: fókuszpont. p: fókuszpont és vezéregyenes távolsága, a parabola paramétere. P: a parabola
- [Ptolemaiosz tétel](https://matekarcok.hu/ptolemaiosz-tetel/) - Ptolemaiosz görög matematikusról elnevezett tétel a húrnégyszögekhez kapcsolódik és a húrnégyszögek oldalai és átlói között fogalmaz meg egy összefüggést. https://matekarcok.hu/ptolemaiosz-klaudiosz/ Tétel: A körbe írt négyszög átlóinak szorzata egyenlő a szemközti oldalak szorzatának összegével. A mellékelt ábra jelöléseivel: AB⋅DC+BC⋅AD=AC⋅BD, azaz a⋅c+b⋅d=f⋅e. A tétel igazát könnyű belátni a nevezetes húrnégyszögek esetén. Például a négyzetre vagy a téglalapra. AB=BC=CD=DA=a.
- [Ptolemaiosz, Klaudiosz](https://matekarcok.hu/ptolemaiosz-klaudiosz/) - Ptolemaiosz életéről: Görög csillagász, matematikus és geográfus. Alexandriában élt és dolgozott. Legnagyobb műve a "Nagy gyűjtemény", ismertebb nevén az "Almagest", egy összefoglaló csillagászati mű. Ebben találkozhatunk a geocentrikus világrendszer felépítésével. Ptolemaiosz elképzelése szerint a világmindenség középpontja a Föld. Ez a nézet egészen a XVI. századig, Kopernikusz munkásságáig általánosan elfogadott volt. A Kolumbusz Kristóf által használt
- [Két kör közös érintői](https://matekarcok.hu/ket-kor-kozos-erintoi/) - Két kör közös érintőjének szerkesztése előtt érdemes tisztázni, mit értünk egy kör érintőjén és hogyan lehet egy adott körhöz érintőt szerkeszteni. Definíció: Egy kör érintője olyan egyenes a síkon, amelynek egy adott körrel egy és csak egy közös pontja van. Az érintő merőleges a kör érintési pontjába húzott sugárra. A körvonal egy adott pontjába érintő
- [Thalész tétele](https://matekarcok.hu/thalesz-tetele/) - Thalész tétele: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör kerületének bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Bizonyítás: Kössük össze a kör AB átmérőjének két végpontját a körvonal egy tetszőleges C pontjával. Így egy ABC háromszöget kaptunk. Az A csúcsnál lévő CAB∠ =α, és az ABC∠=β Kössük most össze a C pontot a kör
- [Koordinátáival adott vektorok skaláris szorzatának kiszámítása](https://matekarcok.hu/koordinataival-adott-vektorok-skalaris-szorzatanak-kiszamitasa/) - Legyen adott az (x;y) koordináta síkon két vektor. Az A pontba mutasson az ​\( \vec{a} \)​(x1;y1), B pontba pedig a \( \vec{b} \)​(x2;y2) vektorok. A megadott vektorokat az \( \vec{i} \)​;\( \vec{j} \)​ bázisvektorokkal felírva: \( \vec{a} \)​=x1\( \vec{i} \)​+y1\( \vec{j} \)​ és \( \vec{b} \)=x2\( \vec{i} \)​+y2\( \vec{j} \). Így tehát az ​\( \vec{a}
- [Az elsőfokú függvény](https://matekarcok.hu/az-elsofoku-fuggveny/) - Definíció: Az f: R→R, f(x) elsőfokú függvény általános alakja: f(x)=ax+b, ahol a és b valós értékű paraméterek. (a∈ℝ és a≠0, b∈ℝ.) Az elsőfokú függvény grafikonja egy olyan egyenes, amely nem párhuzamos sem az x sem az y tengellyel. Az a paramétert az egyenes meredekségének nevezzük, a b paraméter pedig megmutatja, hogy hol metszi az egyenes az
- [Függvény zérushelye, szélsőértéke](https://matekarcok.hu/fuggveny-zerushelye-szelsoerteke/) - Definíció: Az f:H→R, x→f(x) függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartomány mindazon x értékeit, amelyeknél a függvény értéke nulla, azaz: f(x)=0. A függvény grafikonja a zérushelyeken metszi az x tengelyt. Például: Az f(x)=(x+3)2-4 másodfokú függvény zérushelyeit az (x+3)2-4=0 másodfokú egyenlet megoldásával kapjuk. Ennek az egyenletnek a gyökei az x1=-1 és x2=-5 értékek. Ha a függvény x
- [Differenciahányados, differenciálhányados](https://matekarcok.hu/differenciahanyados-differencialhanyados/) - Differenciahányados Tekintsük az y = x2 egyenletű parabolát és jelöljük ki rajta a P0(2;4) pontot. Írjuk fel a parabolának ebbe a pontbajába húzható érintőjének egyenletét. Ehhez felhasználjuk, hogy az érintőnek egy közös pontja van a parabolával. Mivel az egyenes egy pontját – a parabola P0(2;4) pontját - ismerjük, ezért a feladat az érintő meredekségének a meghatározása. Oldjuk
- [Statisztikáról](https://matekarcok.hu/matematikai-statisztikarol/) - A mai modern, digitalizált világban egyre nagyobb szerep és nyilvánosság jut a különböző statisztikai kimutatásoknak, diagramoknak. Az adatok nyilvántartása, tárolása, rendezése és értékelése azonban már régóta hozzá tartozik az emberiség életéhez. Hiszen már a Biblia is beszámol arról, hogy Augusztus császár népszámlálást rendelt el a római birodalomban. Régebben a kórházi ágyakon rendszeresítve voltak az
- [A határozott integrál tulajdonságai](https://matekarcok.hu/a-hatarozott-integral-tulajdonsagai/) - A határozott integrál definíciója: Az [a; b] intervallumon korlátos „f” függvény integrálható, ha csak egyetlen olyan szám található, amely az összes alsó és felső összeg közé esik. Ezt az egyetlen számot nevezzük az „f” függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. (Riemann-féle integrál). ​\( lim_{ nx \to \infty }s_{n}=\lim_{ nx \to \infty }S_{n}=I=\int_{a}^{b}{f(x)dx } . \)
- [A valószínűségi változó várható értéke](https://matekarcok.hu/a-valoszinusegi-valtozo-varhato-erteke/) - Feladat: Két kockával 100-szor dobtunk. A kapott számpárokhoz (elemi eseményekhez) hozzárendeljük a dobott számok összegét. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes összegek előfordulásának gyakoriságát. Számítsuk ki a kapott összegek átlagát és szórását! Megoldás: Készítsünk táblázatot és a statisztikában megismert módon végezzük el a számításokat! A táblázatban szereplő adatok: Adatok: a dobott számok összege [2;12]: xi.
- [Primitív függvény](https://matekarcok.hu/primitiv-fuggveny/) - Ábrázoljuk az alábbi három függvényt a pozitív valós számok halmazán: x∈ℝ+! a(x)=1.5 v(x)=1.5⋅x+2.5 s(x)=0.75⋅x2+2.5⋅x Általánosabban: a(x)=a v(x)=a⋅x+k0 s(x)=ax2+k0⋅x Fizikai jelentést is társíthatunk hozzájuk: (idő, út, sebesség, gyorsulás) A gyorsulás időben állandó: a(t)=a. Sebesség az idő függvényében: v(t)=at+k0. Út az idő függvényében: s(t)=at2+k0⋅t. Milyen kapcsolatot fedezhetünk fel a fenti függvények között? (v(t))’= a(t) (s(t))’= v(t) Mi a kapcsolat
- [Derivált és primitív függvény -összefoglaló táblázat](https://matekarcok.hu/derivalt-es-primitiv-fuggveny-osszefoglalo-tablazat/) - Függvények deriváltjainak és primitív függvényeinek összefoglaló táblázata: Függvény f(x) Derivált függvény f'(x) Primitív függvény ​\( \int{f(x)}dx \)​ Konstans fv. k(x) =a k’(x) =0 ​\( \int{a}dx=a·x+c \)​ Elsőfokú fv. l(x)= mx +b l’(x) =m \[ \int{mx+b}dx=m\frac{x^{2}}{2}+bx+c \] Másodfokú fv. m(x) = m2 m’(x) =2⋅x ​\( \int{x^{2} dx}=\frac{x^{3}}{3}+c \)​ Hatvány fv. h(x) =hxn h'(x)=nxn-1 ​\( \int{x^{n} dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \)​
- [Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.](https://matekarcok.hu/differencialhatosag-es-folytonossag-kapcsolata/) - Az f(x) = x2 függvény mindenütt folytonos és minden pontban differenciálható. Igaz-e, hogy minden folytonos függvény differenciálható? Határozzuk meg az f(x) = |x| függvény deriváltját az x0 = 0 pontban! Képezzük a differenciahányadost az x0=0 pontban! ​\( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{|x|-0}{x-0}=\frac{|x|}{x} \)​. Képezzük a differenciahányados jobboldali határértékét: ​\( \lim_{ x^{+} \to 0}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{ x^{+} \to 0}\frac{x-0}{x-0}=1; \; x>0 \)​. Képezzük
- [Események gyakorisága, relatív gyakorisága, valószínűsége](https://matekarcok.hu/esemenyek-gyakorisaga-relativ-gyakorisaga-valoszinusege/) - Kockadobásos kísérlet Ha egy társasjátékban dobókockával dobunk, számunkra természetes, hogy ugyanakkora az esélye ("valószínűsége") a 6-osnak, mint az 1-esnek, illetve bármelyik számnak. Feltételezzük ugyanis, hogy a kocka szabályos, anyaga homogén, így egyik oldala sem kitüntetett. Ha a játék közben mégsem ezt tapasztalnánk, felmerülne bennünk, hogy a dobókockával valami nincs rendben. Mivel hat darab lehetséges eredményünk
- [Logaritmus fogalma](https://matekarcok.hu/logaritmus-fogalma/) - A hatvány fogalmának általánosításával bármely pozitív valós szám felírható egy 1-től különböző valós szám hatványaként. A hatványozásnál adott alap mellett a kitevőhöz, mint változóhoz rendeljük hozzá a hatvány értékét. Sokszor szükség van azonban arra, hogy adott hatvány alap esetén a hatvány értékének ismeretében a kitevőt határozzuk meg. Egy számnak adott alapra vonatkozó kitevőjét logaritmusnak nevezték
- [Logaritmus azonosságai](https://matekarcok.hu/logaritmus-azonossagai/) - A hatványozásra vonatkozó azonosságok és a logaritmus definíciójából következik, hogy a logaritmussal végzett műveleteknél is vannak olyan azonosságok, amelyek megkönnyítik a logaritmus alkalmazását. Az alábbiakban öt azonosságot és azok bizonyítását láthatjuk. Az azonosságok bizonyításánál fel fogjuk használni a logaritmus definícióját valamint a hatványozásra vonatkozó azonosságokat. A leggyakrabban alkalmazott azonosságok: 1. ​\( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)​ 2. ​\( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y
- [Euler egyenes](https://matekarcok.hu/euler-egyenes/) - Tétel: Bármely (nem szabályos) háromszögben a háromszög magasságpontja (M), a súlypontja (S) és a köré írt kör középpontja (O) egy egyenesbe esik, mégpedig úgy, hogy a súlypont a másik kettő távolságát harmadolja és a köré írt kör középpontjához van közelebb. (Szabályos háromszög esetén a három pont természetesen egybe esik.) Euler svájci matematikus nevét viseli a
- [Abszolútérték függvény és jellemzése](https://matekarcok.hu/abszolutertek-fuggveny/) - Az a:ℝ→ℝ​, x→|x| hozzárendelésű abszolútérték függvény ábrázolása, jellemzése. A függvény grafikonja: Az a(x)=|x| függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza: x∈ℝ. Értékkészlet: Nemnegatív valós számok halmaza: y=|x|∈ℝ\ℝ-, azaz y≥0. Zérushelye: x=0. Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x0. Szélsőértéke: Minimum: y=0; x=0. Korlátos: Abszolút értelemben nem. Alulról korlátos. Páros vagy páratlan:
- [Lineáris törtfüggvények](https://matekarcok.hu/linearis-tortfuggvenyek/) - A lineáris törtfüggvények általános alakja: ​\( f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \). ​ Például: ​\( f(x)=\frac{2x+1}{x-3} \)​ . Ez könnyen átalakítható a következő alakba: ​\( f(x)=\frac{7}{(x-3)}+2 \)​. A függvény grafikonja egy hiperbola: A \( f(x)=\frac{7}{(x-3)}+2 \)​ függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: x∈ℝ|x≠3. Értékkészlet: y=​\( \frac{7}{(x-3)}+2 \)​∈R|y≠2 Zérushelye: x=-0.5. Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<3 és szigorúan monoton csökken, ha nő, ha
- [A logaritmusfüggvény](https://matekarcok.hu/a-logaritmusfuggveny/) - Definíció: Azt a függvényt, amely minden pozitív számra értelmezve van és minden számhoz annak adott („a”) alapú (a>1, 0
- [Gyökfüggvények](https://matekarcok.hu/gyokfuggvenyek/) - Az ​\( x→\sqrt[n]{x} \)​ függvények ábrázolása és jellemzése. Gyökfüggvények tárgyalásánál alapvetően két esetet kell megkülönböztetni attól függően, hogy a gyökkitevő páros avagy páratlan (2-nél nem kisebb) pozitív egész szám. Az alábbi grafikonok ennek megfelelően mutatják a ​\( x→\sqrt{x} \)​ és a ​\( x→\sqrt[3]{x} \)​ függvények grafikonjait. Függvény grafikonok: ​\( x→\sqrt{x} \)​ ​\( x→\sqrt[3]{x} \) Gyökfüggvények jellemzése: A gyökfüggvények
- [Középpontos hasonlóság](https://matekarcok.hu/kozeppontos-hasonlosag/) - A középpontos hasonlóságnál adott a síkban egy pont, a hasonlóság középpontja (O), és adott egy nullától különböző valós szám, a hasonlóság arányszáma. (λ∈ℝ|λ≠0) A középpontos hasonlóság kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között. Definíció: Az adott (O) pontra vonatkozó középpontos hasonlóság az O ponthoz önmagát, minden más (P) ponthoz az OP egyenesen azt a képpontot
- [Függvény fogalma, függvények megadása](https://matekarcok.hu/fuggveny-fogalma-fuggvenyek-megadasa/) - Definíció: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz elemeihez valamilyen egyértelmű módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A H halmazt a függvény alaphalmazának, a K halmazt a függvény képhalmazának nevezzük. A H alaphalmaznak azt részhalmazát, amelyhez a képhalmaznak valamely eleme hozzá lett rendelve, a függvény értelmezési tartományának
- [Négyzetgyök függvény](https://matekarcok.hu/negyzetgyok-fuggveny/) - Definíció: Az f: ℝ→ℝ; ​\( f(x)=\sqrt{x} \)​ függvényt négyzetgyök függvénynek hívjuk. A függvény grafikonja: A x→ ​​\( \sqrt{x} \)​ négyzetgyök függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: Nemnegatív valós számok halmaza: x∈ℝ|x≥0. Értékkészlet: Nemnegatív valós számok halmaza:y∈ℝ|y≥0. Zérushelye: x=0. Menete: Szigorúan monoton nő. Szélsőértéke: Minimum: y=0; x=0. Korlátos: Nem. Csak aluról korlátos, felülről nem. Páros vagy páratlan: Egyik sem. Periodikus:
- [A másodfokú függvény és jellemzése](https://matekarcok.hu/a-masodfoku-fuggveny-es-jellemzese/) - Definíció: Az f:ℝ→ℝ,f(x) másodfokú függvény általános alakja: f(x)=ax2+bx+c, ahol a, b és c valós értékű paraméterek. (a∈ℝ és a≠0, b∈ℝ, c∈ℝ) A másodfokú függvény grafikonja egy olyan parabola, amelynek a szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel. Ennek a parabolának általános egyenlete tehát: y=ax2 +bx+c. A legegyszerűbb másodfokú függvény paraméterei: a=1, b=0, c=0. Ekkor a függvény képlete: f(x)=x2.
- [Thalész](https://matekarcok.hu/thalesz/) - Az első ismert görög matematikus, ezért szokás őt a matematika atyjának nevezni. Életéről keveset lehet tudni. A legismertebb nevéhez fűződő matematikai tétel a Thalész-tétel. Thalész életéről A kisázsiai Milétosz városában született. Tekintélyes kereskedő volt, aki beutazta Mezopotámiát és Egyiptomot. Üzleti ügyei mellett a tudományok is érdekelték. Elsősorban a matematika, de csillagászat és a filozófia is.
- [Négyzet alapú egyenes gúla](https://matekarcok.hu/negyzet-alapu-egyenes-gula/) - Minden négyzet alapú egyenes gúla két (független) adattal meghatározható. Ezek lehetnek például: alapél és gúla magasság; alapél és oldalél; alapél és oldalél-alaplap hajlásszöge; stb. Egy négyzet alapú egyenes gúla oldallapjai egybevágó egyenlőszárú háromszögek. A gúla magassága a gúla csúcsából (E) az alaplapra bocsájtott merőleges talppontja (K) az alaplap (ABCD) négyzet középpontja. A négyzet alapú
- [Fibonacci, Leonardo Pisano](https://matekarcok.hu/fibonacci-leonardo-pisano/) - Fibonacci életéről: Középkori olasz matematikus. Eredeti neve Leonardo Pisano volt. Édesapja, akit Bonacci-nak hívtak, Pisának, a gazdag itáliai városnak a kereskedelmi képviselője volt Algírban. Édesapja után kaphatta utólag a Fibonacci nevet. Később ő is, mint kereskedő bejárta Észak-Afrikát, Szicíliát, Hispániát. Ezeken az utakon ismerte meg a keleti műveltséget, és így ismerkedett meg a matematikával is.
- [Ekvivalencia](https://matekarcok.hu/ekvivalencia/) - Ekvivalencia az akkor és csak akkor logikai művelete. A húrnégyszögek tétele a következőképpen szól: "Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°!" Az ilyen típusú összetett állítások igen gyakoriak a matematikában. Közös jellemzőjük, hogy két olyan összetett kijelentést foglal egybe, amelyek a "ha....akkor" szerkezettel adhatók meg, és amelyeket az implikáció logikai
- [Implikáció](https://matekarcok.hu/implikacio/) - Bevezető példa: Adott a következő két egyszerű állítás: A: Az ABCD négyszög téglalap. B: Az ABCD négyszög átlói egyenlő hosszúak. Képezzünk belőlük egy összetett állítást a „Ha …, akkor „ szerkezettel: C: Ha az ABCD négyszög téglalap, akkor az ABCD négyszög átlói egyenlő hosszúak." Rövidebben: C = Ha A, akkor B. Még rövidebben: A⟹B Definíció:
- [A logikai tagadás](https://matekarcok.hu/a-logikai-tagadas/) - A logikai tagadás, más néven a negáció logikai művelet fogalma és tulajdonságai. Definíció: A negáció egy kijelentés tagadása. Jele: ¬. Jelöljön P egy logikai állítást. A ¬P állítás logikai értéke csak akkor igaz, ha P állítás logikai értéke hamis. A negáció művelet igazságtáblázata: P ¬P i h h i Megjegyzés: A fenti táblázatban az "i" betű
- [Kizáró diszjunkció, kizáró vagy logikai művelete](https://matekarcok.hu/kizaro-diszjunkcio-kizaro-vagy-logikai-muvelete/) - Nézzük a következő összetett logikai állítást: "A labdarúgó világbajnokságot vagy Németország vagy Brazília nyeri." A két lehetőség kizárja egymást. Az ilyen típusú logikai művelet a kizáró vagy, szemben a megengedő vagy műveletével. Definíció: A kizáró vagy az a logikai művelet, amely két kijelentést (állítást) a "vagy" kötőszóval úgy kapcsol össze egy összetett kijelentéssé (állítássá), hogy
- [Halmazok számossága](https://matekarcok.hu/halmazok-szamossaga/) - Halmazok elemszámát tekintve alapvetően két eset van: 1. Véges elemszámú halmazok számosságán elemeinek számát értjük. 2. Végtelen elemszámú halmazok. Végtelen elemszámú halmazok A halmazelmélet megalapozója és megteremtője az 1870-es években a német Cantor volt. Ő a halmazokat úgy vizsgálta, hogy azokat függetlenítette elemeinek sajátosságaitól. Cantor gondolatai a végtelen valóságos létezésének meggyőződéséből fakadtak. Úgy gondolta, hogy
- [Véges halmaz részhalmazainak száma](https://matekarcok.hu/veges-halmaz-reszhalmazainak-szama/) - Legyen adott egy véges A halmaz. Jelölje n az A halmaz elemeinek a számát: n=|A|. Például: A={a, b, c, d}. Ekkor |A|=n=4. Hány részhalmaza van ennek az A halmaznak? Azt tudjuk, hogy az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, és minden halmaz részhalmaza önmagának. Szedjük táblázatba az A halmaz lehetséges részhalmazait: Elemszám Részhalmazok Részhalmazok száma Nulla
- [Diszjunkció, megengedő vagy logikai művelet](https://matekarcok.hu/diszjunkcio-megengedo-vagy-logikai-muvelet/) - Nézzük a következő állítást! Az "n"szám vagy páros vagy prím. Ha az n=2, akkor az állítás igaz, hiszen páros is és prím is. Ha az n=9, akkor ez az állítás hamis, hiszen se nem páros, se nem prím. Ha n=4 vagy n=5, az állítás mindkét esetben igaz, hiszen a 4 páros, az 5 pedig prím
- [Konjunkció logikai művelet fogalma és tulajdonságai](https://matekarcok.hu/konjunkcio-logikai-muvelet-fogalma-es-tulajdonsagai/) - Definíció: Konjunkció az a logikai művelet, amely két kijelentést (állítást) az "és" kötőszóval kapcsol össze egy összetett kijelentéssé (állítássá). Jele: ∧. Jelöljön P és Q két logikai állítást. A P∧Q összetett állítás logikai értéke kizárólag akkor igaz, ha P és Q logikai értéke is igaz. A konjunkció művelet igazságtáblázata: P Q P∧Q i i i
- [Műveletek eseményekkel](https://matekarcok.hu/muveletek-esemenyekkel/) - A valószínűségi kisérletekben bekövetkező eseményekkel műveleteket lehet végezni. Definíció: Tetszőleges A és B események összege az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor vagy az A vagy a B esemény bekövetkezik. (Legalább az egyik bekövetkezik, azaz ez megengedő vagy.) Jele: A+B. Tétel: Minden esemény előállítható elemi események összegeként. Definíció: Tetszőleges A és B események szorzata
- [Statisztikai adatok jellemzése](https://matekarcok.hu/statisztikai-adatok-jellemzese/) - 1.) A statisztikában az adatok jellemzésének egyik fontos szempontja az adatok átlagának (számtani közepének) kiszámítása. A diákok legtöbbje kiszámolja a tantárgyi eredményeinek átlagát. Persze ugyanezt a tanárok is megteszik. Az átlag egy fontos jellemzője lehet egy adott teljesítménynek. Egy számsokaság átlaga úgy kapható meg, hogy az adatokat összeadjuk és az összeget elosztjuk az adatok számával. Az átlag
- [Prímszám fogalma](https://matekarcok.hu/primszamokrol/) - A prímszám fogalma az oszthatóság fogalmához kapcsolódik. Definíció: Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak (vagy másképp törzsszámoknak) nevezzük. Az 1 és a 0 nem prímszámok, mert az 1-nek egy darab, a 0-nak pedig végtelen sok osztója van. A 2 a legkisebb prímszám, egyben ő az egyetlen páros prímszám. Az első néhány
- [Kombinatorika kialakulásáról](https://matekarcok.hu/kombinatorika-kialakulasarol/) - A kombinatorika a matematikának az az ága, amelyik véges halmazokkal foglalkozik és kulcs kérdése: hányféleképpen? A középiskolai tanulmányok során az alábbi kombinatorikai kérdésekkel szoktunk foglalkozni: 1. Véges számú elemet hányféleképpen lehet elrendezni, sorbarakni? (permutációk) 2. Véges számú elem közül adott számú elemet hányféleképpen lehet kiválasztani, úgy hogy a kiválasztás sorrendje is fontos? (variációk) 3. Véges
- [Matematikai Feladatgyűjtemény I kötet II. fejezetének 1. feladata](https://matekarcok.hu/matematikai-feladatgyujtemeny-i-kotet-ii-fejezetenek-1-feladata/) - ​A középiskolában rendszeresen használt Matematikai Feladatgyűjtemény I kötet II. fejezetének 1. feladata a következőképpen szól: Írjuk fel a három darab a) kettes b) hármas c) ötös segítségével megalkotható legnagyobb természetes számot! Érdemes próbálkozni, tanulságos áttekinteni a lehetőségeket. a) Három darab kettes esetén: Helyi értékes írással: 222. Összeadással: 2+2+2=6. Szorzással: 2⋅2⋅2=8; 2⋅22=44. Persze, hamar rá kell jönnünk, hogy
- [Középpontos tükrözés fogalma, tulajdonságai](https://matekarcok.hu/kozeppontos-tukrozes-fogalma-tulajdonsagai/) - Definíció: A középpontos tükrözésnél adott a síkban egy pont, a tükrözés középpontja. Az adott (O) pontra vonatkozó középpontos tükrözés az O ponthoz önmagát, minden más (P) ponthoz azt a képpontot (P') rendeli, amelyre az O pont a PP' szakasz felezési pontja. A középpontos tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között. A középpontos tükrözés tulajdonságai:
- [Fermat, Pierre](https://matekarcok.hu/fermat-pierre/) - Francia matematikus, fizikus és ügyvéd. Fermat életéről: Franciaország délnyugati részén Beaumont de-Lomagne városában született. Édesapja tehetős kereskedő volt. Toulouse-ban az egyetemen jogot tanult és élete végéig itt ügyvédi gyakorlatot folytatott. Később tagja lett a városi parlamentnek is. Szabad idejében azonban legszívesebben matematikával foglalkozott. Diophantosz "Arithmetica" című műve inspirálta őt erre elsősorban. Rendszeresen levelezett Digby és Wallis
- [Ki tart halat megoldása](https://matekarcok.hu/ki-tart-halat-megoldasa/) - A feladatnak két egyenértékű eredménye van, attól függően, hogy hogyan értelmezzük a feladat kiírásában szereplő 4. feltételt: „A zöld ház a fehér ház bal oldalán van." Ez azt jelenti, hogy ha a ház felé nézünk, akkor a zöld ház száma 1-gyel kisebb, mint a fehér ház száma. („A” eset). Ellenkező esetben, amikor a házak felől
- [Ki tart halat eredménye](https://matekarcok.hu/ki-tart-halat-eredmenye/) - A feladatnak két egyenértékű eredménye van, attól függően, hogy hogyan értelmezzük a feladat kiírásában szereplő 4. feltételt: „A zöld ház a fehér ház bal oldalán van." Ez azt jelenti, hogy ha a ház felé nézünk, akkor a zöld ház száma 1-gyel kisebb, mint a fehér ház száma. („A” eset). Ellenkező esetben, amikor a házak felől „kifelé”
- [Ki tart halat?](https://matekarcok.hu/ki-tart-halat/) - Ezt a feladatot állítólag Einstein írta: 1. Öt ház van. 2. Minden házban él egy-egy, más-más nemzetiségű ember. 3. Különböző italokat fogyasztanak, más-más cigit szívnak, és más-más állatot tartanak. Információk: 1. A brit piros házban lakik. 2. A svéd kutyát tart. 3. A dán teát iszik. 4. A zöld ház a fehér ház bal oldalán
- [A határozatlan integrál és tulajdonságai](https://matekarcok.hu/a-hatarozatlan-integral-es-tulajdonsagai/) - Definíció: Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja). A fenti definíció közvetlen következménye: Tétel: (az integrálszámítás alaptétele) Ha F(x) függvény primitív függvénye f(x) függvénynek, akkor az F(x)+c
- [Bolyai János](https://matekarcok.hu/bolyai-janos/) - Bolyai János életéről Sajnos hazánk e világhírű tudósáról egyetlen kép sem maradt fenn. Elterjedt róla ugyan egy fénykép de erről azonban kiderült, hogy nem őt ábrázolja. (lásd még Dr. Kántor Sándorné: Milyen volt Bolyai János, avagy van-e kép Bolyai Jánosról? KÖMAL 2002/1). Ma már komoly kísérletek történtek egy Bolyai Jánosra emlékeztető kép megalkotására. Édesapja Bolyai Farkas korának ismert
- [Bolyai Farkas](https://matekarcok.hu/bolyai-farkas/) - Bolyai névről legtöbben Bolyai Jánosra, Bolyai Farkas világhírű fiára gondolnak, de Bolyai Farkas korának szintén igen jelentős matematikusa volt. Bolyai Farkas életéről: Bolyai Farkas Bolyán született. Hatéves korától a híres és ősi nagyenyedi református kollégiumba járt. Már itt is kitűnt nem mindennapi nyelvi és számolási képességeivel. 17-18 évesen 7 nyelven beszél, ír és olvas. Tanulmányait
- [Neumann János](https://matekarcok.hu/neumann-janos/) - Bolyai János után talán ő a legismertebb magyar matematikus. Neumann János a számítógépek atyjának is nevezhetjük mivel ő fogalmazta meg a számítógépek mai napig érvényben lévő alapelveit. Neumann János életéről Budapesten született. Édesapja bankár volt, hárman voltak testvérek. Ő volt a legidősebb. Rendkívüli képességekkel rendelkezett. Abszolút emlékezőtehetsége volt. Képes volt egy egyszer elolvasott cikket szó
- [Gauss, Carl Friedrich](https://matekarcok.hu/gauss-carl-friedrich/) - Német matematikus, csillagász és fizikus. Őt tartják minden idők egyik legnagyobb matematikusának. Így is nevezik: "A matematikusok fejedelme." Euler mellett ő a matematika legsokoldalúbb tudósa. Gauss életéről Braunschweigben született, édesapja nyergesmester volt. Már 6 éves korában kitűnt matematikai tehetségével. Tanítója egyszer azt a feladatot adta a kis tanulóknak, hogy adják össze a számokat 1-től 40-ig,
- [Riemann, Bernhard](https://matekarcok.hu/riemann-bernhard/) - Riemann életéről Riemann a XIX. század egyik jelentős német matematikusa volt. Egy falusi pap fia volt és kezdetben apja nyomdokait követve teológusnak készült. Később Göttingenben érdeklődése a matematika felé fordult. 1851-ben a göttingeni egyetemen doktorált, majd 1854-ben egyetemi magántanár lett. 33 éves korában Dirichlet utóda lett az egyetemi tanszéken. Sokat betegeskedett. Fiatalon, 40 éves korában Rómában halt meg.
- [Bolzano, Bernard](https://matekarcok.hu/bolzano-bernard/) - Bolzano életéről Cseh matematikus, filozófus és teológus. Római katolikus pap volt de elsősorban a tanítást szerette.1805-től a prágai egyetem vallásfilozófiai tanára volt. 1819-ben állásából elmozdították, mivel tanítása nem minden esetben a hivatalos előírásokat követte. A gazdasági igazságosság és a vallási alapú pacifizmus híve volt. A cseh nemzeti önállóságot képviselte az osztrák monarchiával szemben. Prágában, az
- [Bayes, Thomas](https://matekarcok.hu/bayes-thomas/) - Thomas Bayes életéről Angol pap és matematikus. 1719-től az Edinburghi Egyetemen hallgatott logikát és teológiát. 1734 körül költözött Kentbe. Itt a Mount Sion kápolna lelkésze volt, egészen 1751-ig. Életében két művet írt. Egy teológiai és egy matematikai tárgyút. Teológiai könyvének címe: "Isteni Jóindulat, avagy egy Kísérlet Annak Bizonyítására, hogy az Isteni Gondviselés és Kormányzás Célja a Teremtményei Boldogsága". Az
- [Bernoulli, Johann](https://matekarcok.hu/bernoulli-johann/) - Johann Bernoulli életéről Jacob Bernoulli öccse, Basel-ben született. Kezdetben orvosnak készült, de elsősorban Leibniz hatására testvérével Jacob Bernoullival együtt 1684-ben elhatározták, hogy matematikusok lesznek. Ekkor ismerkedtek meg a differenciál és integrálszámítással. 1692-ben Basel telepedik le. 1694-ben az orvostudományok doktorává avatták. 1695-től Groningenben az egyetemen tanított matematikát. 1705-ben bátjya Jacob halála után átvette az ő tanszékét
- [Bolyai János arcképe](https://matekarcok.hu/bolyai-janos-arckepe/) - Ez az a fénykép, amely sokáig úgy szerepelt a nyilvánosság előtt, mintha Bolyai János arcképe lenne. Ma már tudjuk, hogy nem őt, hanem valószínűleg a 16 éves Nietzsche-t ábrázolja 1860-ból, Bolyai János halálának évéből. Bolyai János rekonstruált arcképe Márkos Ferenc amerikai festőművésznek a korabeli dokumentumok alapján megalkotott festménye Bolyai Jánosról. Lásd: http://www.e-nepujsag.ro/op/article/bolyai-val%C3%B3s%C3%A1gh%C5%B1-arck%C3%A9pe Bolyai János képzelt portréja
- [Newton, Isaac](https://matekarcok.hu/newton-isaac/) - Newton életéről Kiváló angol fizikus, csillagász és matematikus. Régi nemesi család tagjaként született. Nevét egy kis angliai faluról kapta. Gyermekkorában nem volt valami jó tanuló de 18 éves korában már kitűnő bizonyítvánnyal végezett. Csak 19 éves korában kezdett el a matematikával és a természettudománnyal foglalkozni. Kepler "Optika", Eukleidész "Elemek", Descartes "Geometria" című művei valamint Viéte munkássága volt
- [Halmazok elemszáma, a logikai szita](https://matekarcok.hu/halmazok-elemszama-a-logikai-szita/) - Halmazok elemszámát tekintve alapvetően két eset van: 1. Véges elemszámú halmazok 2. Végtelen elemszámú halmazok 1. Véges halmazok számosságán elemeinek számát értjük. Példák: „A” halmaz: {Az ókori világ hét csodája}={Gízai piramisok; Szemiramisz függőkertje; Az epheszoszi Artemisz-templom; Pheidiasz olümpiai Zeusz-szobra; Halikarnasszoszi mauzóleum; Rodoszi kolosszus; Pharoszi világítótorony} Az „A” halmaz elemszáma: |A|=7 http://latvanyossagok.hu/az-okori-vilag-7-csodaja/ „B” halmaz: {A világ hét új
- [Halmazok direkt szorzata](https://matekarcok.hu/halmazok-direkt-szorzata/) - Halmazok direkt szorzata más néven halmazok Descartes szorzata. Definíció: Az A×B halmaz összes olyan rendezett párból áll, ahol a pár első eleme az A halmaznak, a pár második eleme pedig a B halmaznak az eleme. Jelöléssel: A×B ={(a;b)|a∈A és b∈ B} Példa: A={valós számok halmaza} B={valós számok halmaza} K=A×B={a koordináta sík pontjainak halmaza}={P(x;y)|x∈R és y∈R}.
- [Halmazok kölcsönös helyzete](https://matekarcok.hu/halmazok-kolcsonos-helyzete/) - Diszjunkt halmaz, részhalmaz; komplementer halmaz Két halmaz kölcsönös helyzetével kapcsolatban három lehetőség áll fenn: 1. Két halmaznak nincs közös eleme. 2. Az egyik halmaz tartalmazza a másik halmaz minden elemét. 3. Két halmaznak van közös, de van nem közös eleme is. 1. Két halmaznak nincs közös eleme. Jelöljük „P”–val a prímszámok halmazát és legyen „O”
- [Halmazelmélet axiómarendszere](https://matekarcok.hu/halmazelmelet-axiomarendszere/) - A matematika axiómatikus felépítése és a matematika fejődésében jelentős állomás volt a halmazelméleti axiómarendszer megfogalmazása. Ez először 1908-ra alakult ki Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) német és Adolf Abraham Fraenkel (1891-1965) izraeli matematikusok munkássága nyomán. Ebben a rendszerben halmazok elemeiként is csak halmazok jöhetnek számításba. Zermelo-Fraenkel féle axiómarendszer. Alapfogalmak: 1. A halmaz fogalma. 2. Halmaz
- [Halmazelméleti alapfogalmak](https://matekarcok.hu/halmazelmeleti-alapfogalmak/) - A geometriában megszokott szóhasználat, hogy az adott tulajdonságú pontok összességét adott tulajdonságú pontok halmazának (mértani helynek) mondjuk. A halmaz olyan alapfogalom, amelyet igen tág értelemben, igen sok helyen használunk a matematikán kívül is. A halmazelmélet, mint matematikai szakterülete azonban csak a XIX. század során kezdett kialakulni. Előfutára Richard Dedekind német matematikus volt. A halmazelmélet megalapozója
- [Pascal, Blaise](https://matekarcok.hu/pascal-blaise/) - Francia matematikus, fizikus, filozófus. Pascal életéről: A matematika mellett egyéb tudományágak (aero és hidrosztatika) iránt is érdeklődött. 1647-ben felfedezte a közlekedőedények sajátosságait. Foglalkozott a folyadékok nyomásviszonyaival, és felismerte a lehetőségét annak, hogy a barométert a magasságmérés szolgálatába állítsák. 25 éves korában egy egyházi mozgalom (a janzenista rend) tagja lett. Vitái voltak a jezsuitákkal. 1654-ben életében
- [Bernoulli, Jacob](https://matekarcok.hu/bernoulli-jacob/) - Jacob Bernoulli életéről: A híres Bernoulli család egyik legismertebb tagja. A flandriai család először Frankfurtban élt, majd Svájcban telepedett le. Szüleinek 11 gyermeke volt. Ő és testvére Johann voltak a család első híres matematikusai, de őket még több generáción keresztül követték további neves matematikusok. Jacob Bernoulli kezdetben teológiát tanult, de elsősorban Leibniz hatására testvérével Johann
- [Goldbach sejtés](https://matekarcok.hu/goldbach-sejtes/) - Goldbach német matematikus 1742-ben írta Euler-nek, hogy szerinte minden 5-nél nagyobb természetes szám előállítható három prímszám összegeként. Euler válaszában leírta, hogy ennek bizonyításához elegendő lenne belátni, hogy minden páros szám felbontható két prímszám összegére. Ez az un. Goldbach-sejtés. Például 12=7+5; 20=7+13; 98=19+79; stb. A sejtést számítógéppel egyre nagyobb természetes számokig igazolták, addig minden esetben igaznak
- [Négyzetgyök fogalma](https://matekarcok.hu/negyzetgyok-fogalma/) - A négyzetre emelés, azaz a hatványozás definíciója alapján: ​\( 5^{2}=5·5=25 \)​. Így egy 5 egység oldalú négyzet területe 25 területegység. Ha a feladat fordított és a négyzet területéből kell meghatározni a négyzet oldalát, akkor új műveletre, a négyzetgyökvonásra van szükség. Definíció: Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete az
- [N-edik gyök fogalma](https://matekarcok.hu/n-edik-gyok-fogalma/) - Egy 3 egység oldalú kocka térfogata ​\( 3^{3}=27 \)​. Ha a feladat fordított, és a kocka térfogatából kell meghatározni a kocka oldalát, akkor új műveletre, a köbgyökvonásra van szükség. Például: Mekkora a kocka éle, ha a térfogata 64 ​\( cm^{3} \)​ ?​ Azaz ​\( 64=a^{3} \)​. Általában: Ha egy n-edik hatványérték ismeretében kell az alap értékét
- [Tíz hatványai](https://matekarcok.hu/tiz-hatvanyai/) - A nagyon nagy illetve a nagyon kicsi számok írására a normálalak a legalkalmasabb. Itt a 10 megfelelő hatványainak a segítségével fejezzük ki a számokat Megszoktuk, hogy bizonyos nagy számoknak, 10 hatványainak nevük is van. Tekintsük át ezt egy táblázatban. ​\( 10^{6} \) Egy millió. ​\( 10^{9} \) Egy milliárd. ​\( 10^{12}=\left(10^{6}\right)^{2} \)​ Egy billió. \(
- [Hatványozás azonosságai](https://matekarcok.hu/hatvanyozas-azonossagai/) - Hatványozás azonosságai: 1. ​\( (a·b)^{n}=a^{n}·b^{n} \)​ Egy szorzatot tényezőnként is lehet hatványozni. 2. ​\( \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n} \)​ Egy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy külön hatványozzuk a számlálót és külön a nevezőt. 3. ​\( \left(a^{n} \right) ^{k}=a^{n·k} \)​ Egy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. 4. ​\( a^{n}·a^{m}=a^{n+m} \) Azonos alapú hatványokat
- [Hatvány fogalma irracionális kitevő esetén](https://matekarcok.hu/hatvany-fogalma-irracionalis-kitevo-eseten/) - A hatványozás műveletének fogalma fokozatosan alakult ki. Hatvány fogalmát pozitív egész kitevőre olyan szorzatként definiáltuk, amelyben a kitevő számának megfelelő számú tényezők megegyeznek, azaz például: ​\( a^{3}=a·a·a \). Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, negatív egész, sőt törtszám is lehessen. A hatványozás fogalmát
- [Hatvány fogalma egész kitevő esetén](https://matekarcok.hu/hatvany-fogalma-egesz-kitevo-eseten/) - 1. Hatvány fogalma pozitív egész kitevőre. Ha a hatványozás kitevője pozitív egész szám, akkor a hatványozást egy olyan speciális szorzatként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek és a tényezők száma a hatványkitevő értékével egyezik, azaz ​\( a^{3}=a·a·a \)​. Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, illetve
- [Hatvány fogalma pozitív egész kitevő esetén](https://matekarcok.hu/hatvany-fogalma-pozitiv-egesz-kitevo-eseten/) - Ha egy szorzat azonos tényezőkből épül fel, azt rövidebben hatványalakban írjuk fel. Bár a matematikusok már a középkorban is használták a hatványozást, de a középkorban Descartes volt az, aki elkezdte a hatványkitevők használatát, és a⋅a helyett ​\( a^{2} \)-t írt. Definíció: Az ​\( a^{n} \)​ olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a, ahol a tetszőleges
- [Koszinusz tétel](https://matekarcok.hu/koszinusztetel/) - Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. Formulával: ​\( c^{2}=a^{2}+b^{2}-2·a·b·cosγ \)​. Bizonyítás: Irányítsuk a háromszög oldalait az ábrán jelölt módon. Az "a" oldal az ​\( \vec{a} \)​ vektor, "b" oldal a ​\( \vec{b} \)​ vektor és a
- [A másodfokú egyenlet megoldóképlete](https://matekarcok.hu/a-masodfoku-egyenlet-megoldokeplete/) - A másodfokú egyenlet általános alakja: ​\( ax^{2}+bx+c=0 \)​; a,b,c∈ℝ; a≠0. A másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése szorzattá alakítással: Emeljük ki a másodfokú tag együtthatóját az a-t! Itt kihasználtuk azt a feltételt, hogy a≠0. A zárójelben szereplő másod- és elsőfokú tagból képezzünk teljes négyzetet! A szögletes zárójelben lévő második tagban végezzük el a tört négyzetre emelését! A
- [Másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti kapcsolat](https://matekarcok.hu/masodfoku-egyenlet-gyokei-es-egyutthatoi-kozotti-kapcsolat/) - A másodfokú egyenlet általános alakja: ​\( ax^{2}+bx+c=0 \), ahol (a≠0). Az ilyen alakra hozott egyenleteknek a megoldását legegyszerűbben a másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével végezzük el. Eszerint, ha a másodfokú egyenlet diszkriminánsa nem negatív, azaz ​\( b^{2}-4ac≥0 \)​, akkor az egyenletnek van megoldása a valós számok között, és azokat a következő formulákkal kaphatjuk meg: Egyik gyök: Másik
- [Möbius-szalag](https://matekarcok.hu/mobius-szalag/) - Egy két dimenziós szalag, amely egyetlen felülettel rendelkezik. Nevét Möbius német matematikusról kapta. Elkészítése Egy hosszú papírcsíkot kell venni, és a rövidebbik oldalait összeragasztani úgy, hogy egyiknek a teteje kerüljön a másik aljához. • Vegyél egy papírból készült olyan téglalapot (ABCD), amelynek az egyik él párja lényegesen hosszabb a másiknál. • Csavard el félig a
- [Klein-féle palack](https://matekarcok.hu/klein-fele-palack/) - Nevét Klein német matematikusról kapta német matematikusról kapta. A Möbius-szalag egyfelületű és egy éle van. A Klein-féle kancsó szintén egyfelületű test, s mint ilyen, külső és belső felülete nem különböztethető meg, nem festhető két különböző színre. Leírás: Önmagába visszatérő üvegcső, melyet folytonos felület alkot. (A külső felület és a belső folyamatosan megy át egymásba.) Előállítás:
- [Möbius, August Ferdinánd](https://matekarcok.hu/mobius-august-ferdinand/) - Möbius életéről: Német csillagász és matematikus. Schulpfortában született. Kitűnő geométer volt, de szerénysége miatt csak jelentéktelen csillagászként élte le életét. Lipcsében halt meg 78 éves korában. Möbiusz munkásságáról: Ő volt az első, aki megpróbálkozott az un. négyszínsejtés bizonyításával, de nem járt sikerrel. Úttörő volt a topológiában és híresebb kortársival együtt ( Riemann, Lobacsevszkij és Bolyai
- [A parabolikus háromszög területe](https://matekarcok.hu/a-parabolikus-haromszog-terulete/) - Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni. A körbe írt és a köré kör írt négyzetekkel próbálták a kör területét behatárolni. Ma már közismert, hogy a kör területe=r2π és az is közismert, hogy a π egy irracionális szám. Ennek természetét és értékének
- [Hány évig élt Diophantosz?](https://matekarcok.hu/hany-evig-elt-diophantosz/) - Diophantosz sírfeliratának megoldásában jelöljük valamilyen változóval, mondjuk "x"-el a keresett életkort: A szöveg szerint Diophantosz gyermekkora ​\( \frac{x}{6} \)​ évig, ifjúkora pedig, amikor szakálla kinőtt, ​\( \frac{x}{12} \)​ évig tartott. Esküvője ​\( \frac{x}{7} \)​év múlva volt, és gyermeke született 5 év múlva. Ez a gyermek ​\( \frac{x}{2} \)​ évig élt. Halála után még 4 évig élt
- [Napóleon háromszögek](https://matekarcok.hu/napoleon-haromszogek/) - Tétel: Ha az ABC háromszög oldalaira kifelé emelünk egy-egy szabályos háromszöget, akkor ezen szabályos háromszögek középpontjai mindig szabályos háromszöget alkotnak. Ezt a szabályos háromszöget az eredeti háromszög külső Napóleon-háromszögének nevezzük. Tétel: Ha az ABC nem egyenlő oldalú háromszög oldalaira befelé emelünk egy-egy szabályos háromszöget, akkor ezen szabályos háromszögek középpontjai mindig szabályos háromszöget alkotnak. Ezt
- [Apollóniosz](https://matekarcok.hu/apolloniosz/) - Apollóniosz életéről: Az alexandriai iskola nagy görög matematikusa és csillagásza. Alexandriában és a kisázsiai Pergában tanított. Apollóniosz munkásságáról: Fő műve a 8 kötetes Kónika, amely a kúpszeletek (ellipszis, parabola, hiperbola) sokáig legalaposabb tárgyalása. A kúpszeletek mai nevét is Apollóniosz adta. Eukleidész nyomdokain járva, elsők között kötötte ki, hogy szerkesztési feladatokhoz csak
- [Csonkakúp felszíne](https://matekarcok.hu/csonkakup-felszine/) - A csonkakúp felszínét a R sugarú alapkör, a r sugarú fedőkör és a palást területe adja. Tétel: A csonkakúp felszíne: A=π⋅[R2 +r2 +(R+r)⋅a] . A felszín meghatározásához már csak a palást területének a meghatározására van szükség. Az adott csonkakúpot egészítsük ki teljes kúppá. Ez a csonkakúp a hosszúságú alkotóját x hosszúságú szakasszal növeli meg. Nyissuk fel a csonkakúpot,
- [Matematika axiomatikus felépítése](https://matekarcok.hu/matematika-axiomatikus-felepitese/) - Már az ókorban törekedtek a matematikai ismeretek deduktív módon való felépítésére. Arra, hogy minden állítást bizonyítani kell. Az egyes állítások igazolásánál nem szabad felhasználni csak már korábban bizonyított tételt. Ez az út elvezetett a legegyszerűbb elemi állításokhoz, az axiómákhoz, amelyek bizonyítása már nem lehetséges. Ezen axiómák megfogalmazására először még az ókorban, a geometriában látunk példát.
- [Pitagorasz](https://matekarcok.hu/pitagorasz/) - Az egyik legismertebb nevű ókori görög matematikus. Róla nevezték el az egyik legismertebb geometriai, a derékszögű háromszögekre vonatkozó tételt, a Pitagorasz tételt. Pitagorasz életéről Életét legendák övezik. Szamos szigetéről származott, lehet, hogy föníciai volt. Széles látókörű, a tudományokat művelő, a filozófia és a matematika iránt szenvedélyesen érdeklődő személyiség volt. Ismerte Thalész-t, kapcsolatban volt vele. Tanult
- [A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria](https://matekarcok.hu/a-bolyai-lobacsevszkij-geometria/) - Bolyai-Lobacsevszkij-geometria a hiperbolikus geometria. A geometria axiomatikus felépítését még az ókorban Eukleidész teremtette meg. Az ő általa kidolgozott euklideszi axiómarendszer ma is érvényes. Ebben az axiómarendszerben 9 axiómát és 5 posztulátumot (mai felfogás szerint ezek is axiómák) fogalmazott meg. Ezek között egyetlen egy van, amely régóta vita tárgya a matematikusok körében. Ez un. párhuzamossági axióma. Érdemes
- [Peano axiómák](https://matekarcok.hu/peano-axiomak/) - Peano 1889-ben jelentette meg az aritmetika alapjait jelentő axióma rendszerét. Alapfogalmak: A nulla, a nem negatív egész szám és az azt követő fogalmakat. Azaz a természetes számokat és a számlálást (rákövetkezést) alapfogalomnak tekintjük. Így 5 axióma (alapállítás) vált szimbólumokkal is leírhatóvá: Axiómák: A nulla szám. Ha a szám, akkor az azt követő is szám. A
- [Matematika különböző szakterületei](https://matekarcok.hu/matematika-kulonbozo-szakteruletei/) - Pitagorasz és iskolája a matematikát négy ágra osztotta: Matematika Diszkrét Folytonos Abszolút Relatív Statikus Dinamikus Aritmetika (Szám) Zene (elrendezés) Geometria (Alak, forma) Csillagászat (Mozgás) Ezek ma is a matematika ihlető forrásai. A mai matematika kiegészült egy ötödik ággal: a véletlen világával. A matematikai szakterületek egy lehetséges csoportosítása. 1. Gondolkodási módszerek 1.1 . Halmazelmélet 1.2 Matematikai logika
- [Kolmogorov, Andrej Nyikolajevics](https://matekarcok.hu/kolmogorov-andrej-nyikolajevics/) - Orosz matematikus. A valószínűségszámítás axiómái az ő nevéhez kötődnek. Kolmogorov életéről Oroszországban, Tambov városában született. Tizenévesen „örökmozgó gépet” tervezett, melynek hibáit olyan ügyesen rejtette el, hogy középiskolai tanárai nem tudták azokat felfedezni. 1910-ben, a nagynénje örökbe fogadta, majd Moszkvába költöztek, ahol 1920-ban érettségit szerzett. Híres volt széles körű műveltségéről. 1925-ben diplomázott a Moszkvai Állami Egyetemen és Nyikolaj Luzin oldalán
- [Arkhimédész fizikai munkásságáról](https://matekarcok.hu/arkhimedesz-fizikai-munkassagarol/) - A fizikában közismert az Arkhimédész tétel, amely szerint minden folyadékba mártott test súlya az általa kiszorított folyadék súlyával csökken. (lásd jobbra) Ennek igazolására szolgál a hidrosztatikai mérleg (lásd balra). A legenda szerint Hieron király koronájának elkészülte után gyanút fogott, hogy az ötvös az arany egy részét ezüsttel pótolta. A király a korona ellenőrzésével Arkhimédészt
- [Arkhimédész halála](https://matekarcok.hu/arkhimedesz-halala/) - Arkhimédész Szirakuza ostromakor halt meg, pedig tanítványai figyelmeztették az életét fenyegető veszélyre. Jellemző rá, hogy ekkor ezt válaszolta: "Megölhetnek, de ártani nem tudnak nekem!" Amikor Szirakuza árulás következtében elesett, egy római katona szúrta le a homokba rajzolgató, gondolataiban elmélyült tudóst, annak ellenére, hogy Marcellus, a rómaiak hadvezére utasítást adott a nagy tudós életének megkímélésére. Talán
- [Kürschák József](https://matekarcok.hu/kurschak-jozsef/) - Matematikusként és pedagógusként is eredményes volt. Az ő nevét viseli egy középiskolásoknak rendezett matematika verseny. Kürshák József életéről Budán született, 1881-ben kezdte meg tanulmányait a műegyetem tanárképző szakán. Itt figyelt fel rá Kőnig Gyula és az ő biztatására kezdte el matematikai kutatásait. Doktorátusát a budapesti tudományegyetemen szerezte meg. Ezután Rozsnyón, Debrecenben és Budapesten középiskolában tanított.
- [Arany Dániel](https://matekarcok.hu/arany-daniel/) - Róla nevezték a 9. és a 10. osztályosok országos matematikai versenyét. Arany Dániel életéről Mint fiatal középiskolai tanár Győrben kezdte pályafutását. Később Budapestre került. A második világháború vége felé a nyilasok gyilkolták meg feleségével együtt. Arany Dániel munkásságáról 1894-ben Győrben indította el a Középiskolai Matematikai Lapokat. Franciaországot kivéve sehol nem volt még ekkor középiskolásoknak szóló
- [Hilbert, David](https://matekarcok.hu/hilbert-david/) - Talán Hilbert volt az utolsó olyan matematikus, aki a matematika szinte valamennyi szakterületén nagyot alkotott. Hilbert életéről Világhírű német matematikus. Königsbergben (ma Kalinyingrád) született. Gimnáziumi és egyetemi tanulmányait is itt végezte. Königberghez kötődik Goldbach, aki szintén itt született és Euler a königsbergi hidak problémája kapcsán. 1895-ben a göttingeni egyetemre kerül és működött egészen haláláig. Itt
- [Peano, Giuseppe](https://matekarcok.hu/peano-giuseppe/) - Peano nevét elsősorban az aritmetika axiómarendszerének megalkotójaként ismerjük. Peano életéről: Olasz matematikus, a torinói egyetemen tanított. Peano munkásságáról: A matematika axiomatikus felépítéséhez nagy mértékben járult hozzá a természetes számokra vonatkozó, az aritmetika alapjait képező axiómák megfogalmazásával, amelyet 1889-ben jelentetett meg. Lásd még: https://hu.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano
- [Klein, Felix Christian](https://matekarcok.hu/klein-felix-christian/) - Klein életéről: Német matematikus Düsseldorfban született. Göttingenben együtt dolgozott Hilberttel. Ők tették igazán neves intézetté az itteni egyetemet. Göttingenben halt meg 76 éves korában. Klein munkásságáról: Munkásságát a nem euklideszi geometriák, a folytonos csoportok, az egyenletek algebrai elmélete, az elliptikus függvények és az autómorf függvények területén elmélete területén fejtette ki. A Bolyai-Lobacsevszkij geometriára egy szemléletes
- [Cantor, Georg Ferdinand](https://matekarcok.hu/cantor-georg-ferdinand/) - Cantor a modern matematika egyik nagy úttörője, a halmazelmélet egyik magalapozója. Cantor életéről: Német matematikus. Édesapja gazdag kereskedő volt, aki Szentpétervárott telepedett le. Georg Cantor itt született. 11. éves korában a család a Majna melletti Frankfurtba költözött. Cantor már a wiesbadeni évek alatt megkedvelte a matematikát, de édesapja a nagyobb jövőt ígérő mérnöki pályára kényszeríttette.
- [Venn, John](https://matekarcok.hu/venn-john/) - Venn nevét elsősorban a halmazok közötti kapcsolatokat ábrázoló un. Venn diagramokról ismerjük. Venn életéről: Brit matematikus. John Venn 1857-ben Cambridge-ben végzett a Gonville és Caius College-ban, ahol teológiát és bölcsészetet tanult. Néhány évig lelkészként dolgozott, majd 1862-ben visszatért ugyanabba az intézménybe, és erkölcstant kezdett oktatni. Ebben az időben kezdett te érdeklődni a matematika iránt. Az
- [Boole, George](https://matekarcok.hu/boole-george/) - Boole nevéhez kötődik a logikai algebra (vagy algebrai logika), amelyet Boole algebrának is nevezünk. Boole életéről: Boole angol matematikus és filozófus volt. Viszonylag későn, 16 éves kora után kezdett érdeklődni a matematika iránt. Tanár lett, élete végéig különböző helyszíneken tanított. Boole munkásságáról: Munkássága jelentős az algebra, a matematikai logika és a valószínűségszámítás területén. Két fő
- [Weierstrass, Karl](https://matekarcok.hu/weierstrass_karl/) - Weierstrass életéről Kiváló német matematikus volt. A középiskola elvégzése után jogásznak tanult. 23 éves korában határozta el, hogy matematikus lesz. A münsteri egyetem elvégzése után gimnáziumi tanár lett, ahol 15 évig tanított. 1854-ben a königsbergi egyetem tiszteletbeli doktora lett. 1844-ben lett a berlini egyetem rendes tanára. Weierstrass matematikai munkásságáról Weierstrass tevékenysége az analízisre irányult. A
- [Feuerbach, Karl Wilhelm](https://matekarcok.hu/feuerbach-karl-wilhelm/) - Feuerbach életéről Németországban, Jénában született. Testvére volt a filozófus Ludwig Feuerbachnak. Az erlingeni gimnáziumban tanított. Feuerbach munkásságáról Feuerbach nevét viseli a Feuerbach kör (A kilenc pont köre). Bár ezt a kört Euler már ismerte a XVIII. században, de Feuerbach újra felfedezte. Megmutatta, hogy ez a kör érinti a háromszög oldalait (kívülről és belülről) érintő köröket és
- [Lobacsevszkij, Nyikoláj Ivanovics](https://matekarcok.hu/lobacsevszkij-nyikolaj-ivanovics/) - Lobacsevszkij Bólyai Jánostól függetlenül, de vele közel azonos időben ugyanarra az eredményre jutott. Ő is megadja az euklideszi párhuzamossági axiómát tagadó, a többit megtartó új geometriának a részletes kifejtését. Lobacsevszkij életéről Ez a zseniális orosz matematikus Nyizsnij-Novgorodban (ma Gorkij) született. 1811-ben, 19 éves korában már be is fejezte tanulmányait a kazányi egyetemen. Tanulmányai befejezése után
- [Wallace, W.](https://matekarcok.hu/wallace-w/) - Wallace életéről Skót matematikus, az edinburghi egyetem tanára volt. Wallace matematikai munkásságáról Ő igazolta 1797-ben azt a tételt miszerint: „A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldal egyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek.” (Wallace-egyenes) Ezt az egyenest tévesen nevezik egy másik skót matematikusról Simson egyenesnek. (Lásd Hajós György Bevezetés a geometriába. 439.old)
- [Carnot, Lazare Nicolas](https://matekarcok.hu/carnot-lazare-nicolas/) - Carnot életéről: Carnot a francia államférfi és matematikus a forradalom alatt 1791-től a nemzetgyűlés tagja volt. A jakobinusok győzelme után a hadsereg megszervezése miatt a "győzelem megszervezője" nevet kapta. 1800-ban Napóleon hadügyminiszterré nevezte ki. Carnot később ellenezte Napóleon császárrá választását és ezért visszavonult a politikai élettől. 1814-ben, amikor a császár Elba szigetéről visszatért, belügyminiszter lett.
- [Goldbach, Christian](https://matekarcok.hu/goldbach-christian/) - Goldbach életéről: Német matematikus, az oroszországi szentpétervári Akadémia tagja volt. Königsbergben (ma Kalinyingrád) született. 1725-ben lett a szentpétervári Birodalmi Akadémia matematikaprofesszora és történésze. 1728-tól Moszkvában élt II. Péter orosz cár nevelőjeként. 1742-től pedig mint az orosz külügyminisztérium munkatársa működött. Goldbach munkásságáról: Fő szakterülete a számelmélet, a differenciálegyenletek és a sorok elmélete volt. 1742-ben írta Eulernek,
- [Simson, Robert](https://matekarcok.hu/simson-robert/) - Simson életéről: Skót matematikus A glasgow-i egyetemen tanult és tanított. Simson munkásságáról: A geometria mellett a matematika más ágaival is foglalkozott. Euklidesz egy elveszett művét a poriszmákról (tételek és szerkesztések közötti megállapítások) más ókori szerzők írásai alapján kísérelte meg rekonstruálni. Ezt a könyvét számos nyelven, igen sokszor kiadták. Azt a tételt miszerint „A háromszög köré
- [Cauchy, Augustin Louis](https://matekarcok.hu/cauchy-augustin-louis/) - Cauchy életéről Francia mérnök és matematikus. École Polytechnique-ben a mérnökképzés jeles iskolájába járt majd mérnökhallgatóként az École des Ponts et Chaussées-n folytatta mérnöki tanulmányait út és hídépítés valamint egyéb vízépítési műtárgyak tervezését és kivitelezését tanulmányozta. 27 éve korában a párizsi akadémia tagja és a korábbi iskolájának az École Polytechnique-nek lett a professzora. 1830-ban királypárti meggyőződése miatt
- [Leibniz, Gottfried Wilhelm](https://matekarcok.hu/leibniz-gottfried-wilhelm/) - Leibniz életéről Német matematikus és filozófus. Igazi polihisztor volt. Foglalkozott a matematikán kívül még biológiával, geológiával, nyelvészettel, teológiával és joggal. Lipcsei születésű, kezdetben itt, majd Jénában tanult. Teológusként a katolikus és a protestáns egyházak közötti ellentétet szerette volna megszüntetni. Politikusként Németország egységének megteremtésért küzdött. Jogtudományi munkásságára felfigyelt a mainzi választófejedelem és 1672-ben diplomáciai feladattal Párizsba
- [Cavalieri, Francesco Bonaventura](https://matekarcok.hu/cavalieri-francesco-bonaventura/) - Cavalieri életéről: Olasz matematikus, Galilei egyik tanítványa. Előkelő olasz családból származott. Papi és szerzetesi hivatása mellett nagy érdeklődéssel tanulmányozta az ókori matematikát és csillagászatot. 1629-ben Galilei ajánlására a bolognai egyetem matematika tanára lett. Cavalieri munkásságáról: Abban az időben fontossá váltak a mozgás, a folyamatosság és a végtelen kérdései. A végtelen, filozófia és teológiai fogalmai a
- [Descartes, René](https://matekarcok.hu/descartes-rene/) - Francia filozófus, matematikus és fizikus. Egyik közismeret, leggyakrabban idézett mondása: "Gondolkodom, tehát vagyok." Descartes életéről: Descartes vagyonos nemesi családból származott. Ifjú korában a jezsuitáknál tanult. Fiatal korában katonáskodott, szolgált Hollandiában, majd a bajor hadseregben. Harcolt a fehérhegyi ütközetben, ahol a katolikus liga leverte a protestáns cseh rendeket. Végül részt vett Richelieu alatt La Rochelle ostromában.
- [Kepler, Johann](https://matekarcok.hu/kepler-johann/) - Kepler életéről: Német csillagász, fizikus és matematikus. Evangélikus egyházi iskolában végzett, és teológiát is tanult. 1594-ben, Grazban matematikát tanított. Feltűnő tehetsége miatt Tycho Brahe csillagász professzor 1600-ban Prágába hívta, ahol Brahe halála után Kepler lett a császári csillagász, majd később udvari matematikus. A kopernikuszi heliocentrikus világképet igazolta munkásságával. Kepler az optikát is új felfedezésekkel gazdagította.
- [Napier, John](https://matekarcok.hu/napier-john/) - Napier életéről: Skót matematikus. Földbirtokos volt, csak kedvtelésből foglalkozott csillagászattal és matematikával. Napier munkásságáról: Matematikával a csillagászat kedvéért foglalkozott. A számolások megkönnyítése érdekében készítette el a trigonometrikus függvények logaritmusainak táblázatát. Ez 1614-ben jelent meg "Csodálatos logaritmustáblázat leírása" címmel. Ez a táblázat még nehézkes volt, később Henry Briggs segítségével megszületett 1617-ben a tízes alapú logaritmus rendszer.
- [Ludolph van Ceulen](https://matekarcok.hu/ludolph-van-ceulen/) - Ceulen életéről: Holland erődítményépítő, vívómester és matematikus. Ceulen munkásságáról: Először 20, aztán harmincöt tizedesjegyig kiszámította a π értékét. Azóta nevezik a π -t Ludolph-féle számnak. Síremlékén látható a nevét híressé tevő tizedes tört. (Hollandia, Delft város.) 3.141592653589793238462643383279502884197169399
- [Viéte, Francois](https://matekarcok.hu/viete-francois/) - Viete életéről: Francia matematikus. Foglalkozását tekintve jogász volt. Fiatal korában támadt egy ötlete új csillagászati elmélethez, amely a kopernikuszi rendszert fejlesztette volna tovább. Ennek érdekében kezdett el a matematikával foglalkozni. Tehetséges emberként kezdetben jogászként is sikeres pályája volt. III. Henrik, majd IV Henrik francia király ügyésze és tanácsosa volt. Később kegyvesztett lett. Viéte munkásságáról: Kezdetben
- [Cardano, Girolamo](https://matekarcok.hu/cardano-girolamo/) - A harmadfokú egyenletek megoldóképletét róla nevezték el. Cardano életéről: Olasz matematikus, fizikus, korának neves orvosa volt. Törvénytelen születésű gyermekként a nyomorból jutott el a világhírig. Az akkori kor szinte minden tudományával foglalkozott. Nevét őrzi az ismert gépkocsi alkatrész, a kardán-tengely is. Cardano munkásságáról: Cardano idejében a matematikusok különösen nagy erőfeszítést tettek, hogy a másodfokú egyenlet
- [Regiomontanus, Johannes Müller](https://matekarcok.hu/regiomontanus-johannes-muller/) - Regiomontanus életéről: Középkori német matematikus, csillagász és könyvnyomdász. Müller családi neve helyett szülőföldjének Könisgberg (ma Kalinyingrád) latin neve után nevezte magát. Regiomontanus 1467-től négy évig a Magyarországon, a Mátyás király által alapított pozsonyi egyetemen is tanított, ahová Vitéz János hívta meg. Éppen ezért egyik műve Mátyás királynak szóló ajánlással jelent meg. 1475-ben a pápa meghívására
- [Diophantosz](https://matekarcok.hu/diophantosz/) - Diophantosz életéről: Görög matematikus volt, életéről szinte semmi biztosat nem lehet tudni. Feltevés szerint babilóniai származású volt. Alexandriában élt. Fennmaradt ugyan egy sírfelirat, amely lehetséges, hogy az övé. Ebben találunk pár adatot életére nézve, és azt is megtudhatjuk ebből, hány évig élt. Diophantosz munkásságáról: A görög matematikusok közül az egyenletekkel való foglalkozásban ő volt az
- [Rejtélyes életrajz megoldása](https://matekarcok.hu/rejtelyes-eletrajz-megoldasa/) - A feladat kulcsa már mindjárt az első mondatban szerepel! Hogyan lehet az, hogy 44 éves kora után 1 évvel 100 éves lett? 44+1=45 lenne. A számokat vajon 10-es számrendszerben kell érteni? 44+1=100 csakis az 5-ös számrendszerben igaz! Így tehát az egyetemet 445=4·5+5=2410 éves korában fejezte be a fiatalember. Az esküvője ezek szerint 1005=1·52+0·51+0·50=25 éves korában
- [Raffaello: Athéni iskola](https://matekarcok.hu/raffaello-atheni-iskola/) - Raffaello ezt a falfestményét II. Gyula pápa megbízásából készítette. A Sanza della Segnaturát, a pápa magánkönyvtárát díszíti. A festményen Raffaello nemcsak a könyvtár polcain szereplő könyvek szerzőit, hanem egymáshoz és tudományágukhoz való viszonyát is ábrázolni akarta. A kép középpontjában Platón és Arisztotelész alakja látható. A kép jobb alsó sarkában egy geométer (Eukleidész?) alakja
- [Eukleidész](https://matekarcok.hu/eukleidesz/) - A geometria axiomatikus felépítésének az alapjait ő lakta le. Euklidész életéről: Görög matematikus. Azért, hogy össze ne tévesszék a szintén Eukleidész nevű megarai filozófussal, szokták őt Euklidesnek is nevezni. Életét nem ismerjük. Valószínűleg Platón filozófiáját vallotta. Az első nagy alexandriai tudósok közé tartozott. Proklosz görög történetíró írta le róla a következő történetet: "I. Ptolemaiosz király
- [Eratoszthenész](https://matekarcok.hu/eratoszthenesz/) - Nevét a prímszámok előállítására használt eljárása, az Eratoszthenész szitája őrizte meg. Eratoszthenész életéről: Görög matematikus, az észak-afrikai Kirénében született. Sok évet töltött Athénben. Ptolemaiosz egyiptomi király meghívta Alexandriába fia nevelőjének és a könyvtár igazgatójának. Grammatikai és filozófiai tárgyú munkákat is írt, és tankölteményei is maradtak fent. Foglalkozott még csillagászattal és fizikával is. Kataszteriszmoi (Csillaggá változások)
- [Hipparkhosz](https://matekarcok.hu/hipparkhosz/) - Hipparkhosz életéről: Ókori görög csillagász és matematikus volt. Hipparkhosz munkásságáról: Elsősorban a gömb-háromszögekkel kapcsolatos és a trigonometria területén végzett tevékenységét kell megemlíteni. Eredményeit Ptolemaiosz Almageszt című művéből ismerjük. Táblázatot készített, amely a középponti szögeket és a hozzájuk tartozó húr hosszát tartalmazta. Az ő nevéhez kötik az első csillagkatalógus elkészítését.
- [Szögharmadolás](https://matekarcok.hu/szogharmadolas/) - Ez is egyike a nevezetes ókori matematikai problémáknak. Többek között már Arkhimédész és Eratoszthenész is foglalkozott vele. Szögharmadolás euklideszi értelemben vett eljárással nem lehetséges. Az első ötlet talán az lehetne a szög harmadolása érdekében, hogy harmadoljuk el a szög ívéhez tartozó húrt. Belátható, hogy ez nem fogja a szöget harmadolni.A mellékelt ábrán ezt próbáljuk szemléltetni.
- [Euklideszi axiómák](https://matekarcok.hu/euklideszi-axiomak/) - Eukleidész görög matematikus "Elemek" cimű munkájában megfogalmazta alapigazságait (axiómáit). A kilenc axióma: Az egy és ugyanavval egyenlők egymással is egyenlők. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, akkor az összegek is egyenlők. Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk, az összegek nem egyenlőek. Ugyanannak a kétszeresei is egyenlők. Ugyanannak a
- [Euklideszi szerkesztés](https://matekarcok.hu/euklideszi-szerkesztes/) - Eukleidész görög matematikus Elemek című munkájában szerkesztési feladatokkal is foglakozott. Ehhez egyélű vonalzót és körzőt használt. Ezek használatát a következőképpen rögzítette. A vonalzót két adott ponthoz illesztve meghúzhatjuk a két pontra illeszkedő egyenest. Két pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk. Két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk. Egyenes és kör metszéspontját meghatározhatjuk. Két
- [Valószínűségi axiómák](https://matekarcok.hu/valoszinusegi-axiomak/) - A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómái. Egy A esemény valószínűségén olyan mértékszámot értünk, amely kielégíti a következő axiómákat: Bármely A esemény valószínűsége egy 0 és 1 közé eső valós szám: 0≤ P(A)≤1. A biztos esemény valószínűsége=1. P(H)=1. Ha A és B egymást kizáró események, azaz A∩B=∅, akkor P(A+B)=P(A)+P(B). https://matekarcok.hu/kolmogorov-andrej-nyikolajevics/
- [Rejtélyes életrajz](https://matekarcok.hu/rejtelyes-eletrajz/) - Szczepan Jelenski "Pitagorasz nyomában" című könyvében szerepel az alábbi feladat: "Az egyetemet 44 éves koromban fejeztem be, egy év múlva, már mint 100 éves ifjú, feleségül vettem egy 34 éves kisasszonyt. A jelentéktelen korkülönbség - mindössze 11 év - nagyon kedvezett harmonikus házaséletünknek. Aránylag rövid időn belül már 10 gyermekünk volt. Az én havi keresetem
- [Arisztotelész](https://matekarcok.hu/arisztotelesz/) - A matematikai logika megalapozója. Arisztotelész életéről: Görög filozófus és matematikus. A makedóniai Stagira városában született. Édesapja orvos volt, aki fiát korán hozzászoktatta a természettudományos gondolkodáshoz. 17 éves korában Athénba ment, és az akkor 60 éves Platón tanítványa lett. Mestere halála után Fülöp, Makedónia királya meghívta udvarába, és rábízta fiának, az akkor 14 éves Nagy Sándornak
- [Ne higgy a szemednek!](https://matekarcok.hu/ne-higgy-a-szemednek/) - Ne higgy a szemednek! Hogyan lehetséges ez? A mellékelt képen négy különböző színű részből van kirakva egy síkidom. Ezen a képen ugyanazokból a részekből van kirakva ez az alakzat, mint a fenti képen. Honnan származik ez a kis négyzet? Ha nem jöttél rá a megoldásra, katt ide!
- [Albrecht Dürer bűvös négyzete](https://matekarcok.hu/albrecht-durer-buvos-negyzete/) - Albrecht Dürer német festőművész mind kézirataiban, mind képein bizonyítékát adta a különböző tudományok iránti szeretetének. Az 1514-ben készült Melankólia című rézmetszetén az embert fölfelé emelő szárnyakkal ábrázolja, kezében körzővel, a tudomány eszközével. Körülette lévő szerszámok az ember alkotó tevékenységére utalnak. A rézmetszet jobb felső sarkában található híressé vált bűvös négyzete a festő matematika iránti vonzalmát
- [Diophantosz sírfelirata](https://matekarcok.hu/diophantosz-sirfelirata/) - Az alábbi feladat állítólag Diophantosz sírján szerepelt, méltón a nagy feladatmegoldóhoz: "Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egyhatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egyheted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia
- [π versek](https://matekarcok.hu/pi-versek/) - Matematikai és kultúrtörténeti érdekességek az un. π versek. Ezek olyan "versek", szövegek, melyek szavai rendre annyi betűből állnak, mint a π soron következő számjegyei. Szász Pál (1901. 07. 11 - 1978. 02. 12) magyar matematikustól származó "vers" a π első 30 számjegyére íródott: 3.141592653589793238462643383279 3, 1 4 1 5 9 Nem a régi s durva
- [Pitagorasz-féle csillag](https://matekarcok.hu/pitagorasz-fele-csillag/) - A mellékelt ABCDE csúcspontú csillagötszöget (pentagram) úgy kapjuk meg, hogy a szabályos HIKFG ötszög oldalait a metszéspontjukig meghosszabbítjuk. Pitagorasz követői a püthagoreusok ezt a jelet használták egymás üdvözlésére és felismerésére, lerajzolva azt a homokba. A pentagram szögeinek összege 5⋅36° =180° ugyanannyi, mint egy háromszög szögeinek összege. Még érdekesebb tulajdonsága ennek a csillagnak, hogy felfedezhető rajta
- [Bejárások](https://matekarcok.hu/bejarasok/) - Euler az 1736-ban szembesült a "königsbergi séta" problémájával, és bebizonyította, hogy ilyen útvonal nem lehetséges. Ő evvel az egyszerűsített modellel dolgozott. Ez egyben a gráfelmélet kezdete is, bár csak a XIX. század végén kezdődött meg ennek az új matematika szakterületnek a fejlődése. Egy gráf egy pontjába összefutó éleinek számát a pont fokszámának nevezzük. A königsbergi
- [Gráf fogalma](https://matekarcok.hu/graf-fogalma/) - Königsberg városa és a környező terület régen Poroszországhoz tartozott. Jelenleg Kalinyingrád néven Oroszországhoz tartozik, bár nem szomszédos vele. Délről Lengyelország, nyugatról a Balti-tenger, északról és keletről Litvánia határolja. A város a Pregel nevű folyó két partján terül el, amely azt 4 részre osztja. Az egyes részeket 7 db híd köti össze a jobb oldali mellékelt
- [Fokszám tétel](https://matekarcok.hu/fokszam-tetel/) - Nézzük az un. "königsbergi gráfot" Ebben a gráfban 7 él van. Az "A" pontból 5 él, a "B", a "C" pontból és a "D" pontokból is 3-3 él indul ki. Definíció: A gráf egy pontjába összefutó élek számát a pont fokszámának nevezzük. A fenti gráfban tehát "A"fokszáma=5 míg "B"="C"=D" pontok fokszáma: 3. A fokszámok összege:
- [Matematikai logika](https://matekarcok.hu/matematikai-logika/) - Az alábbi logikai feladat elég közismert: Egy logika tudóst fogságba ejtett egy emberevő törzs. Olyan börtönben helyezték el, amelynek két kijárata volt. A törzsfőnök a következő menekülési lehetőséget ajánlotta fel: „Az egyik ajtó a biztos halálba, a másik a szabadságba vezet. Azon az ajtón mehetsz ki, amelyiken akarsz. Hogy könnyebben tudj választani, melléd állítok két
- [Indo-arab számjegyírás](https://matekarcok.hu/a-hindu-matematikarol/) - A legrégebbi matematikai vonatkozású hindu leletek az i.e. 500 körüli időből valók. Ezekből kiderül, hogy a hinduk már ekkor a 10-es számrendszert használták, de ekkor még helyi érték nélkül. Ezeken a leleteken több geometriai rajz, szerkesztés és számítás szerepel. Ismerték az összefüggést a derékszögű háromszög oldalai között, a Pitagorasz tételt. A Kr. u. III. -VI.
- [Variációk száma](https://matekarcok.hu/variaciok-szama/) - A 100 m-es gyorsúszás döntőjében 8-an indulnak. Hányféleképpen lehet az érmeket kiosztani, ha tudjuk, hogy az első három helyezett kap érmet? Az ilyen típusú feladatoknál természetesen nem mindegy, hogy kik és milyen sorrendben állnak a dobogón, kapják az érmeket. Kiválasztás: kik állnak a dobogón. Sorrend: milyen sorrendben értek célba. Készítsünk most is egy kis modellt!
- [Kombinációk száma](https://matekarcok.hu/kombinaciok-szama/) - Egy verseny elődöntőjében 8-an indulnak. Az első három helyezett jut a döntőbe. Hányféleképpen alakulhat a továbbjutók személye? Ebben a feladatban a sorrend közömbös. Mind a hárman továbbjutnak. A kérdés tehát az, hogy hogyan lehet 8 emberből 3-t kiválasztani olyan esetekben, amikor a sorrend közömbös? A feladat hasonló variációk számánál látottakhoz, de ebben a kérdésben csak a
- [A babiloni matematika](https://matekarcok.hu/a-babiloni-matematika/) - Az első helyértékes számírás emlékeit Mezopotámiában és annak fővárosában, Babilonban találták meg. Ezek kb. 4000 éves (Kr. e. 2000 körül) agyagtáblák. Kr. e. 1600 és 1900 között készítették az emberiség egyik legősibb számelméleti dokumentumát, a Plimpton 322 néven is ismertté vált babiloni agyagtáblát. Ezen megtalálható egy sor ún. Pitagoraszi számhármas, jóval Pitagorasz előtt. Ezeken az
- [Permutációk száma](https://matekarcok.hu/permutaciok-szama/) - Gyakori probléma lehet, hogy hányféleképpen tudunk embereket, tárgyakat, objektumokat sorbarendezni. Például: adott három számjegy (számkártya) : 2, 3, és az 5. Ezek sorbarendezésével hány darab háromjegyű szám készíthető? A válasz könnyű, hiszen könnyen előállítható a 6 darab szám: 235, 253, 325, 352, 523, 532. Hasonlóan:Az "A", a "B", és a "C" betűket hányféleképpen lehet sorba
- [Tökéletes számok táblázata](https://matekarcok.hu/tokeletes-szamok-tablazata/)
- [Euklideszi algoritmus](https://matekarcok.hu/euklideszi-algoritmus/) - Számok legnagyobb közös osztójának meghatározása az euklideszi algoritmus segítségével. Számok legnagyobb közös osztójának alábbi algoritmusát Eukleidész határozta meg. Ez az algoritmus az alábbi oszthatósággal kapcsolatos észrevételen alapszik: Ha a=b⋅q+r, akkor (a,b)=(b,r), ahol a, b, q, r egész számok. Mivel a maradékos osztás maradéka mindig kisebb az osztónál, ezért két szám legnagyobb közös osztójának meghatározása mindig visszavezethető
- [Prímszámok táblázata](https://matekarcok.hu/primszamok-tablazata/) - 2-1187-közötti prímszámok:
- [Eratoszthenész szitája](https://matekarcok.hu/eratoszthenesz-szitaja-2/) - A prímszámok előállításának ma is használt módszere Eratoszthenész görög matematikustól származik. Az elnevezés utal az eljárás lényegére, mivel az 1-től n-ig felírt egész számok közül "kiszitáljuk" az összetett számokat. Amely számok fennmaradnak a "szitán" (az 1 kivételével) azok a prímek. Az eljárás: 1. Írjuk fel a számokat 1-től n-ig, (itt például 100-ig) egyesével. 2. Keressük
- [Prímszámok közötti hézagok](https://matekarcok.hu/primszamok-kozotti-hezagok/) - Prímszámok között tetszőleges nagy hézagok vannak. Bizonyított, hogy a prímszámok sorában tetszőleges nagy hézagok vannak, azaz a természetes számoknak olyan sorozata, amelyek között nincs prímszám. Ha egy k hosszúságú hézagot akarunk készíteni, szorozzuk össze a k-nál kisebb prímszámokat, és adjunk hozzá rendre 2-t, 3-t, 4-t,..., k+1-t. Példa: Készítsünk 20 darab egymást követő összetett számot: a1=2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17⋅19+2=9
- [A π első 2000 számjegye](https://matekarcok.hu/a-pi-elso-2000-szamjegye/) - A π számjegyei között sok helyen megfigyelhetünk ismétlődéseket. Ezek többsége 2 jegyből áll. A leghosszabb ismétlődő sorozat a 6 db. 9-es ismétlődése. Vagy később van még ennél is hosszabb? A π első 2000 számjegye: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459 230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384 460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294 895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914 564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631 558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046 652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179 310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983 367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921 717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134 275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968 925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870 72113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083 026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083 814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937 519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952 572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736 225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168 617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488 240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553 797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047 521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141
- [Irracionális számok](https://matekarcok.hu/irracionalis-szamok/) - Definíció: Azok a számok, amelyek nem racionálisak, azaz amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként irracionális számoknak nevezzük. Jele: ℚ* Végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Ilyet mi is készíthetünk. Például: 2,303003000300003000003.... Látszik az eljárás, mindig eggyel több nullát írunk a hármasok közé. Az így kapott szám biztosan végtelen és nem szakaszos tizedes tört. Kimutatható,
- [A gyök2 irracionális szám](https://matekarcok.hu/a-gyok2​​-irracionalis-szam/) - Állítás: A ​\( \sqrt{2} \)​ irracionális szám Indirekt bizonyítás, azaz azt fogjuk bizonyítani, hogy nem lehet racionális. A bizonyítás Eukleidész-től származik. Bizonyítás: Tételezzük fel, hogy \( \sqrt{2} \) racionális, azaz \( \sqrt{2} \)=​\( \frac{a}{b} \)​, ahol a, b egész számok, és b≠0. Azt is feltételezhetjük, hogy (a,b)=1, azaz egymáshoz képest relatív prímek, azaz a tört tovább nem
- [Polinom  és  algebrai tört fogalma](https://matekarcok.hu/polinom-es-algebrai-tort-fogalma/) - Definíciók: Algebrai kifejezésekben változóknak és állandóknak az összege, különbsége, szorzata, hányadosa, valamilyen kitevőjű hatványa és gyöke szerepel véges sokszor. Például: ​\( \frac{7x^{2}-y^{3}}{x-2\sqrt{y}}+3xy-\frac{5y^{4}}{\sqrt[3]{x}} \)​ Az algebrai kifejezések között azokat, amelyekben nem a szerepel gyökvonás művelete, racionális algebrai kifejezéseknek nevezzük. Például: \( \frac{7x^{2}-y^{3}}{x-2}+3xy-\frac{5y^{4}}{x} \)​ Ha racionális algebrai kifejezésben nem szerepel változóval történő osztás, racionális egész algebrai kifejezéseknek nevezzük. Például:
- [Polinomok osztása](https://matekarcok.hu/polinomok-osztasa/) - Algebrai törteket tartalmazó kifejezéseknél (egyenletek, egyenlőtlenségek, függvények) adott esetben jó eszköz lehet a polinomok osztásának ismerete. Ez természetesen középiskolában inkább csak emelt szintű feladatoknál fordulhat elő. Két megjegyzés: · A hányados fokszáma az osztandó és az osztó fokszámának a különbsége. · Természetesen az osztás eredményeként maradékot – maradék polinomot – is kaphatunk. Első példa: Hozzuk
- [Az első n pozitív egész szám négyzetösszege](https://matekarcok.hu/az-elso-n-pozitiv-egesz-szam-negyzetosszege/) - A négyzetszámok sorozatát az an=n2 formulával adhatjuk meg. A sorozat tagjai: {1; 4; 9; 16;...;n2...} A tétel egy zárt formulát ad a négyzetszámok sorozata első n tagjának összegének meghatározására, amit jelöljünk Sn-nel. Állítás: ​\( S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)​ Bizonyítás teljes indukcióval történik. 1. Az állítás n=1 és n=2 esetén is igaz, hiszen ​\( S_{1}=1^{2}=\frac{1(1+1)(2·1+1)}{6}=1 \)​és n=2 esetén ​\( S_{2}=1^{2}+2^{2}=\frac{2(2+1)(2·2+1)}{6}=\frac{30}{6}=5 \)​
- [Arányos osztás](https://matekarcok.hu/aranyos-osztas/) - Gyakori feladat, amikor egy adott mennyiséget egy megadott aránynak megfelelően kell felosztani. Hogyan osztunk fel 36000 Ft-ot két ember között 5:7 arányban? Ha a felosztandó összeget 5+7=12 egyenlő részre felosztjuk, akkor az egyik ember ennek az egységnek ötszörösét, a másik a 7-szeresét kapja. Azaz: 36000:12=3000 Ft. Így az egyik ember 5⋅3000=15000 Ft-t, a másik ember 7⋅3000=21000
- [Arány, arányosság](https://matekarcok.hu/arany-aranyossag/) - Az arány szót hallván elsősorban nem, vagy nemcsak matematikai fogalomra gondolunk. Az arány, arányos szavak sokkal tágabban is értelmezhetők. De joggal mondhatjuk, az arányos szó alapvetően pozitív értelmezéssel bír. Ha egy épület, egy test nem arányos, hanem aránytalan, azt nem szoktuk szépnek gondolni. Nem véletlen, hogy Arisztotelész az arányt a szépség elengedhetetlen kritériumának tartotta. Ha egy
- [Az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalma](https://matekarcok.hu/az-egyenes-aranyossag-es-a-forditott-aranyossag-fogalma/) - A matematikában az arány két mennyiség, mérhető dolog viszonya. Két mennyiség aránya a két érték hányadosával fejezhető ki. Egyenes arányosság fogalma: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa, aránya állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség egyenesen arányos. Ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség is ugyanennyiszeresére változik. Kézenfekvő példák:
- [Diophantoszi egyenletek](https://matekarcok.hu/diophantoszi-egyenletek/) - Diophantoszi egyenletek nevezzük azokat az egész együtthatós egyenleteket, amelyekben ugyan több ismeretlen is szerepel, mint amennyi egyenlet van, ezek együtthatói egész számok és a megoldásokat is csak az egész számok között keressük. Bár Diophantosz görög matematikusról nevezték el ezeket az egyenleteket, de ő maga nem foglalkozott velük. Ilyen egyenlet például az x2+y2=z2, ahol x, y,
- [Számtani közép, mértani közép, négyzetes közép, harmonikus közép](https://matekarcok.hu/szamtani-kozep-mertani-kozep-negyzetes-kozep-harmonikus-kozep/) - Definíció: Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük. A számtani közepet szokás aritmetikai középnek is nevezni, és "A" betűvel jelölni. Formulával: ​\( A(a;b)=\frac{a+b}{2} \) , ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0. Például: Ha a=8; b=10, akkor A(8;10)=(8+10)/2=9. Két szám számtani közepe ugyanannyival nagyobb az egyik számnál, mint amennyivel kisebb a másiktól. A számtani közepet értelmezhetjük
- [A számtani és mértani közép közötti összefüggés](https://matekarcok.hu/a-szamtani-es-mertani-kozep-kozotti-osszefugges/) - Definíció: Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük. A számtani közepet szokás aritmetikai középnek is nevezni, és "A" betűvel jelölni. Formulával: ​\( A(a;b)=\frac{a+b}{2} \) , ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0. Definíció: Két nemnegatív szám mértani közepének a két szám szorzatának négyzetgyökét nevezzük. A mértani közepet szokás geometria középnek is nevezni, és "G" betűvel jelölni.
- [Nevezetes közepek a trapézon](https://matekarcok.hu/nevezetes-kozepek-a-trapezon/) - A két nemnegatív számra vonatkozó nevezetes közepeket a trapéz két párhuzamos oldalára vonatkoztatva lehet szemléltetni. Ezeket a nevezetes közepeket a mellékelt ábrán láthatjuk: 1. Számtani közép: A1A2 szakasz. 2. Mértani közép: G1G2 szakasz. 3. Harmonikus közép: H1H2 szakasz. 4. Négyzetes közép: N1N2 szakasz. 1. Állítás: A trapéz középvonala a két párhuzamos oldal számtani közepe. A1A2=k=(a+c)/2.
- [Nevezetes közepek közötti összefüggések](https://matekarcok.hu/nevezetes-kozepek-kozotti-osszefuggesek/) - Állítás: Az egyes nevezetes közepek között a következő relációk érvényesek adott nem-negatív valós számok esetén: Harmonikus közép (H) ≤ Geometria közép (G)≤ Számtani közép (A)≤ Négyzetes közép. Egyenlőség csak egyenlő számok esetén áll fenn. Formulával (két szám esetére): ​\( H(a;b)=\frac{2ab}{a+b}≤G(a;b)=\sqrt{a·b}≤A(a;b)=\frac{a+b}{2}≤N(a,b)=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \)​​ A számtani és mértani közép közötti ​\( G(a;b)=\sqrt{a·b}≤A(a;b)=\frac{a+b}{2} \)​ összefüggés bizonyítását itt láthatod. Bizonyítandó még tehát,
- [Egyenlet fogalma, egyenletek ekvivalenciája](https://matekarcok.hu/egyenlet-fogalma-egyenletek-ekvivalenciaja/) - Egyenlet bármely két egyenlőségjellel összekapcsolt kifejezés. Az egyenletet szokás olyan speciális nyitott mondatnak (változó(k)tól függő állítás) is nevezni, amelynek alaphalmaza számhalmaz. Egyenlőtlenségről beszélünk, ha a két kifejezést a kisebb (), nemkisebb (≥), nemnagyobb (≤ ) relációs jelek kapcsolnak össze. Az egyenleteket, egyenlőtlenségeket kétféleképpen is értelmezhetjük. I. Az első értelmezés szerint a relációs jel
- [Kitérő egyenesek hajlásszöge](https://matekarcok.hu/kitero-egyenesek-hajlasszoge/) - Definíció: Két egyenes kitérő, ha nincs olyan sík, amely mindkét egyenest tartalmazza. Kitérő "egyenesekkel" gyakran találkozhatunk a hétköznapokban is. Gondoljunk az autópályák, illetve a metrók kereszteződéseire. Definíció: Két kitérő egyenes (e;f) hajlásszögén azt a szöget értjük, amelyet egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak.
- [Paralelogramma, trapéz illetve háromszög középvonala](https://matekarcok.hu/paralelogramma-trapez-illetve-haromszog-kozepvonala/) - Definíció: A négyszög szemközti oldalainak felezési pontját összekötő szakaszokat a négyszög középvonalának nevezzük. A mellékelt ábra szerint az ABCD négyszög középvonalai az F1F3 és az F2F4 szakaszok. Paralelogramma középvonala Tétel: A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő középvonala párhuzamos és egyenlő hosszúságú a másik két oldallal. A mellékelt ábra jelölései szerint: F1F2||AB||DC és F1F2=AB=DC. Bizonyítás:
- [Két adott ponttól illetve két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza](https://matekarcok.hu/ket-adott-ponttol-illetve-ket-adott-egyenestol-egyenlo-tavolsagra-levo-pontok-halmaza/) - 1. Két adott (de különböző) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban. Két adott, de különböző (A és B) pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az adott pontok által meghatározott (AB) szakasznak az adott (S) síkra illeszkedő felező merőleges egyenese (f). 2. Két adott (de különböző) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok
- [Három ponttól illetve három egyenestől egyenlő távolságra lenni](https://matekarcok.hu/harom-ponttol-illetve-harom-egyenestol-egyenlo-tavolsagra-lenni/) - A. Három ponttól egyenlő távolságra lenni. Három különböző pont vagy egy egyenesre esik, vagy nem. Ha nem esnek egy egyenesre, akkor egy háromszöget, illetve egy síkot határoznak meg. 1. A három különböző pont egy egyenesre illeszkedik. 1.1 Adott három (A, B, C) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban. Adott 3 különböző (A,
- [Egyenes – sík illetve két sík hajlásszöge](https://matekarcok.hu/egyenes-sik-illetve-ket-sik-hajlasszoge/) - Egyenes és sík illetve két sík hajlásszögének meghatározásánál induljunk ki a térelemek kölcsönös helyzetéből. A) Egyenes és sík hajlásszöge 1. Egyenes illeszkedik a síkra. Ekkor hajlásszögük 0°. 2. Az egyenes párhuzamos a síkkal. Az egyenes és sík hajlásszöge ebben az esetben is 0°. 3. Az "e" egyenes döfi a síkot (D pontban),
- [Geometriai alapismeretek](https://matekarcok.hu/geometriai-alapismeretek/) - A geometria szó a földmérés görög elnevezése. Ma a matematika egyik szakterületét jelenti elsősorban. Az ókorban többek között a kínaiaktól, a babilóniaiaktól, az egyiptomiaktól is maradtak fenn geometria feladatok, ismeretek, de a geometriát tudománnyá az ókori nagy görög matematikusok tették. 1. Fogalmak, alapfogalmak Melyik a kakukktojás az alábbiak közül? Pont, egyenes, sík, szakasz, vonal, felület,
- [Távolság fogalma, térelemek távolsága](https://matekarcok.hu/tavolsag-fogalma-terelemek-tavolsaga/) - A távolság fogalma szorosan kötődik a mérés és így az egység fogalmához. Egy adott szakaszt egységnyi hosszúságúnak tekinthetünk. A hétköznapi életben igen sokféle módon tesszük ezt. (méter, yard, könyök, stb.) Legyen a mellékelt ábrán az A és B pontok távolsága egységnyi, azaz AB szakasz hossza 1. Ezt így jelöljük: d(A;B)=1 A mellékelt ábrán P és
- [Szögek osztályozása nagyságuk szerint](https://matekarcok.hu/szogek-osztalyozasa-nagysaguk-szerint/) - Szög fogalma: Az egy pontból kiinduló két félegyenes a rájuk illeszkedő síkot két tartományra, két részre bontja. Ezeket a részeket szögtartományoknak nevezzük. A két félegyenes (e, és f) tehát két szögtartományt, vagy röviden két szöget hoz létre. A két félegyenest a szög szárainak, közös kezdőpontjukat (O) a szög csúcsának nevezzük. A szögeket nagyságuk szerint a
- [Szögpárok](https://matekarcok.hu/szogparok/) - Az egymáshoz képest speciális (sajátos) helyzetű szögeket szögpároknak mondjuk. 1. Egyállású szögek Ha két szög szárai párhuzamosak és páronként megegyező irányúak, akkor azokat egyállású szögeknek nevezzük. Az egyállású szögek egyenlők. 2. Váltó szögek Ha két szög szárai párhuzamosak és páronként ellentétes irányúak, akkor azokat váltószögeknek mondjuk. A váltószögek egyenlők. 3. Csúcsszögek Azokat a váltószögeket, amelyeknek
- [Kitérő egyenesek távolsága](https://matekarcok.hu/kitero-egyenesek-tavolsaga/) - Két egyenes kitérő, ha nincs olyan sík, amely mindkét egyenest tartalmazza. Kitérő "egyenesekkel" gyakran találkozhatunk a hétköznapokban is. Gondoljunk az autópályák, illetve a metrók kereszteződéseire. Definíció: Két kitérő egyenes távolsága annak a szakasznak a hossza, amely a két kitérő egyenest metsző és mindkettőre merőleges egyenesen van a két kitérő egyenes között. Előállítása: Legyen adott két,
- [Műveletek függvényekkel](https://matekarcok.hu/muveletek-fuggvenyekkel/) - A) Két függvény összege; különbsége, szorzata és hányadosa. Definíció: Az f(x) és g(x) függvények összegén; különbségén, szorzatán, hányadosan azt a c(x) függvényt értjük, amely minden x0∈ Df ∩ Dg esetén. · c(x0)=f(x0)+g(x0.) · c(x0)=f(x0)-g(x0). · c(x0)=f(x0)∙g(x0). · c(x0)=f(x0)/g(x0), g(x0)≠0. Megjegyzés: Az eredmény függvény értelmezési tartománya a két függvény értelmezési tartományának a közös része (metszete). Példa: Az alábbi
- [Az inverz függvény](https://matekarcok.hu/az-inverz-fuggveny/) - Az inverz függvény: Legyen adott egy olyan f(x) függvény, amely kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít a Df értelmezési tartomány és az Rf értékkészlet elemei között. Definiáljuk a következő függvényt: f: (R\R-)→ R, f(x)=x2. Ennek függvénynek az értelmezési tartománya most a nemnegatív valós számok halmaza. Ez kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést jelent az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei
- [Arkhimédészi spirál](https://matekarcok.hu/arkhimedeszi-spiral/) - Spirál: síkbeli csavarvonal (csigavonal). Ezek közül az egyik legegyszerűbb az arkhimédeszi spirál. Arkhimédeszi spirál esetén a spirál tetszőleges P pontjának a kezdőponttól való távolsága (r) egyenesen arányos az elfordulás szögével. Az arkhimédészi spirál polárkoordinátás egyenlete: r=kj, ahol j az elfordulás szöge radiánban, és k egy állandó valós szám. Az arkhimédészi spirál két egymást követő íve (P1P2)
- [Feuerbach-féle kör](https://matekarcok.hu/feuerbach-fele-kor/) - Ez a kör a háromszögek oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain, a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjain halad át. Pontosabban: A háromszög oldalainak felezőpontjai, magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ennek a körnek a középpontja felezi a magasságpontot és a háromszög köré írt kör középpontját összekötő szakaszt.
- [Síkidomok hasonlósága](https://matekarcok.hu/sikidomok-hasonlosaga/) - A hasonlóság fogalma kapcsolódik az egybevágósági transzformáció, és a középpontos hasonlóság fogalmához. Definíció: Hasonlósági transzformációnak olyan geometriai transzformációt nevezünk, amely középpontos hasonlóság és távolságtartó (egybevágósági) transzformáció egymás utáni elvégzésével (szorzatával) jön létre. A transzformáció sorrendje adott kell legyen. A mellékelt ábrán ABCΔ hasonló az A"B"C"Δ.-höz. Ezt így jelöljük: ABCΔ∼A"B"C"Δ. Hiszen az ABCΔ egybevágó az ≅A'B'C'Δ- höz,
- [Hasonló síkidomok területe, hasonló gúlák térfogata](https://matekarcok.hu/hasonlo-sikidomok-terulete-hasonlo-gulak-terfogata/) - A) Hasonló sokszögek területe. 1. Hasonló sokszögek területeinek arányának vizsgálatát kezdjük a hasonló háromszögekkel. Ha két háromszög hasonló, akkor egybevágósági transzformációk segítségével előállítható olyan helyzet, hogy a két háromszög középpontosan is hasonló, úgy hogy a hasonlóság aránya pozitív legyen. Tekintsünk tehát két középpontosan hasonló háromszöget. Adottnak tekinthetjük a hasonlóság középpontját (O) és a hasonlóság arányát
- [Gúlák párhuzamos síkmetszeteinek területe](https://matekarcok.hu/gulak-parhuzamos-sikmetszeteinek-terulete/) - Tétel: A gúla alappal párhuzamos síkmetszetének területe úgy aránylik a gúla alapterületéhez, mint ahogy a síkmetszetnek a gúla csúcsától mért távolságának a négyzete aránylik a gúla magasságához. Jelöléssel: A mellékelt ábra jelölései szerint: t:T=x2:m2. Bizonyítás: A két síkidom -a t alapterületű síkmetszet, és a gúla T területű alaplapja- a gúla csúcsára nézve középpontosan hasonló. A
- [Függvények periodikussága, korlátossága](https://matekarcok.hu/fuggvenyek-periodikussaga-korlatossaga/) - Függvények periodikussága Definíció: Az f:H→ℝ x→f(x) függvény periodikus (ismétlődő), ha van olyan p>0 állandó valós szám (ismétlési tényező), hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f(x+p)=f(x). Ha az ilyen p konstans számok között létezik legkisebb, akkor azt a p konstanst a függvény periódusának nevezzük. Periodikus függvények a trigonometrikus függvények, a szinusz, koszinusz, a tangens és a
- [Negyedik arányos szerkesztése](https://matekarcok.hu/negyedik-aranyos-szerkesztese/) - Descartes francia matematikus a geometria problémák megoldásához gyakran alkalmazott algebrai módszereket. A szakaszok közötti alapműveleteket úgy igyekezett definiálni, hogy az eredmény ismét szakasz legyen. Szakaszok összeadása és kivonása természetesen adódott. Azért, hogy két szakasz szorzatát és hányadosát is értelmezni tudja, bevezette az egységszakasz fogalmát és a negyedik arányos szerkesztését, amely a párhuzamos szelők tételére támaszkodik.
- [Wallace (Simson) egyenes](https://matekarcok.hu/wallace-simson-egyenes/) - Tétel: A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldal egyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek. A tétel Wallace skót matematikus nevét viseli. Leggyakrabban azonban (tévesen) Simson egyenesnek is mondják Simson szintén skót matematikus után.
- [Síkidomok egybevágósága](https://matekarcok.hu/sikidomok-egybevagosaga/) - Definíció: Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan távolságtartó (egybevágósági) transzformáció, amellyel az egyik alakzatot a másikba vihetjük át. Az egybevágóság jele: ≅ , amelyet Leibniz vezetett be. Háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó, ha: 1. Oldalainak hossza páronként egyenlő. 2. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az általuk közrefogott szögek egyenlők. 3. Egy-egy oldaluk hossza,
- [Szimmetrikus ponthalmazok a síkban](https://matekarcok.hu/szimmetrikus-ponthalmazok-a-sikban/) - Definíció: Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre történő tükrözésnél az alakzat képe önmaga. Középpontosan szimmetrikus síkbeli alakzatok: 1. Középpontosan szimmetrikus háromszög nem létezik. 2. Középpontosan szimmetrikus négyszögek a paralelogrammák. 3. Középpontosan szimmetrikus sokszögek a páros számú szabályos sokszögek. 4. Természetesen középpontosan szimmetrikus a kör is. Definíció: Egy síkbeli alakzat tengelyesen
- [Függvény fogalmának kialakulása](https://matekarcok.hu/fuggveny-fogalmanak-kialakulasa/) - A függvény fogalma természetesen fokozatosan alakult ki az idők során. A függvény fogalma, és kialakulása is szorosan összefügg az analitikus (koordináta) geometria fejlődésével. Apollóniosz fő művében, a 8 kötetes Kónika-ban, a kúpszeletek (ellipszis, parabola, hiperbola) tárgyalásánál a kúpszeleteket egy ferde kettős körkúp síkmetszeteiként tárgyalta. Mivel mindent a kúpszeletek átmérőire vonatkoztatott, ez már a koordináta-geometria tárgyalás
- [Derékszögű háromszögek magasság tétele](https://matekarcok.hu/derekszogu-haromszogek-magassag-tetele/) - Ezt a tételt a befogó tétellel együtt szokás a derékszögű háromszögekre vonatkozó arányossági tételeknek is nevezni. Állítás: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. A mellékelt ábra betűzése szerint: ​\( m=\sqrt{x·y} \)​. Bizonyítás: Az AB átfogóhoz tartozó magasság az ABC háromszöget két derékszögű háromszögre, az ATC és a BTC háromszögekre bontja.
- [Derékszögű háromszögek befogó tétele](https://matekarcok.hu/derekszogu-haromszogek-befogo-tetele/) - Ezt a tételt a magasság tétellel együtt szokás a derékszögű háromszögekre vonatkozó arányossági tételeknek is nevezni. Állítás: Derékszögű háromszögben a háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetületének. A mellékelt ábra betűzése szerint: ​: ​\( a=\sqrt{c·y} \)​ és ​\( b=\sqrt{c·x} \)​ Bizonyítás: Az AB átfogóhoz tartozó magasság az ABC háromszöget két derékszögű
- [Egybevágósági transzformáció fogalma](https://matekarcok.hu/egybevagosagi-transzformacio-fogalma/) - Alakzatok, tárgyak tükrözése, forgatása, eltolása, nagyítása, kicsinyítése, a vetítés mindennapi tapasztalatunk része. Párhuzamos vetítés Fény, árnyék. A tárgy pontjaihoz az árnyék pontjait rendeli. Nem kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A T és P pontok képe ugyanaz a T' pont. Nagyítás, kicsinyítés Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a tárgy és a kép pontjai között. Nem távolságtartó, de aránytartó leképezés. Eltolás
- [Pitagoraszi számhármasok](https://matekarcok.hu/pitagoraszi-szamharmasok/) - Definíció: Pitagoraszi számhármason három olyan pozitív egész szám együttesét értjük, amelyek kielégítik az x2+y2=z2 egyenletet. x;y;z∈ℤ. Ennek a speciális diophantoszi egyenletnek nyilvánvaló megoldása például x=3, y=4 és z=5. A pitagoraszi számhármasokkal mint oldalhosszúságokkal szerkesztett háromszögek mindig derékszögűek lesznek, hiszen megfelelnek Pitagorasz tételének. Természetesen egy számhármas pozitív egész számú többszöröse is pitagoraszi számhármas. Így például a
- [Apollóniusz kör](https://matekarcok.hu/apolloniosz-kor/) - Definíció: Apollóniusz kör azon pontok halmaza (mértani helye) a síkban, amely pontoknak két adott ponttól való távolságainak aránya állandó. (Apollóniosz görög matematikusról elnevezve.) Formulával: Apollóniusz kör={P|(AP:BP)=m:n. Apollóniusz kör szerkesztése: Adott: 1. AB szakasz. 2. AP:PB arány (m:n). Például: 2:3 Szerkesztés menete: 1. Az adott szakaszon belül az adott aránynak megfelelő pont (C) szerkesztése a párhuzamos szelők tétele
- [Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között](https://matekarcok.hu/osszefugges-a-haromszog-oldalai-es-szogei-kozott/) - Ez a tétel a következő három állítást és azok bizonyítását tartalmazza: Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők. Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. Segédtétel: Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők. Bizonyítás:
- [Húrnégyszög, érintőnégyszög](https://matekarcok.hu/hurnegyszog-erintonegyszog/) - Definíció: Azokat a konvex négyszögeket. amelynek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögeknek nevezzük. A húrnégyszögek oldalfelező merőlegesei egy pontban, a köré írt kör középpontjában metszik egymást. Tétel: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°. A bizonyítást itt találod. A nevezetes négyszögek közül a négyzet, a téglalap, a szimmetrikus trapéz és
- [Az érintőnégyszögek tétele](https://matekarcok.hu/az-erintonegyszogek-tetele/) - Definíció: Azokat a konvex négyszögeket. amelynek oldalai egy körnek érintői, érintőnégyszögeknek nevezzük. Az érintőnégyszögek belsejébe érintő kört szerkeszthetünk. Belső szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást. Tétel: Egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. A tétel két állítást tartalmaz: 1. Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti
- [Körcikk és a körszelet területe](https://matekarcok.hu/korcikk-es-a-korszelet-terulete/) - Meghatározások: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω) a körvonalból egy körívet (AB ív), a körlapból egy körcikket (AOB) határoz meg. A körszelet a körlapnak a kör egy húrja (h) és a hozzátartozó körív (CD ív) által határolt része. 1.
- [Szelő tétel](https://matekarcok.hu/szelo-tetel/) - Ha egy körhöz egy külső "P" pontból szelőket húzunk, azt tapasztalhatjuk, hogy ahogy a szelő végigsöpör a körön, A "P" ponttól a távolabbi metszéspontokig terjedő szakaszok egy darabig növekednek, ugyanakkor a közelebbi metszéspontokig terjedő szakaszok csökkennek. A "P" ponttól a távolabbi metszéspontokig terjedő szakaszok (PB1,PB2, PB3) egy darabig növekednek, ugyanakkor a közelebbi metszéspontokig terjedő szakaszok (PA1, PA2, PA3),
- [Kerületi szögek tétele](https://matekarcok.hu/keruleti-szogek-tetele/) - Tétel: Egy körben az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Ez a tétel a kerületi és középponti szögek tételéből következik. Ebből a tételből viszont azonnal következik az a kérdés, hogy mi azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyekből egy adott AB szakasz adott a szög alatt látszik? Tétel: A síkon azoknak
- [Vektor abszolút értéke](https://matekarcok.hu/vektor-abszolut-erteke/) - Definíció: Vektor abszolút értékén a vektor hosszát értjük. A bázisvektorok által meghatározott koordináta-rendszerben minden koordinátáival adott vektort tekinthetünk helyvektornak. A vektor koordinátáinak megrajzolásával egy derékszögű háromszöget kapunk (ha a vektor nincs a koordináta-tengelyek valamelyikén). Ennek átfogója a vektor abszolút értéke, mint szakasz. Befogói, mint távolságok a koordináták abszolút értékei. Pitagorasz tételével kapjuk az alábbi összefüggést: ​\(
- [Skaláris szorzás definíciója](https://matekarcok.hu/skalaris-szorzat/) - A fizikából ismert tény, hogy ha az erő és az elmozdulás azonos irányú, akkor az erő nagyságának és az elmozdulás nagyságának a szorzata adja a munka nagyságát: ​\( W=|\vec{F}|·|\vec{s}| \)​. Itt az erő és az elmozdulás vektor jellegű mennyiségek, hiszen nagyságukon kívül az irányuk is jellemző rájuk, míg a munka csak számmal jellemezhető, azaz skaláris
- [Skaláris szorzat tagolható](https://matekarcok.hu/skalaris-szorzat-tagolhato/) - Tétel: Vektorok skaláris szorzata a vektorok összeadására nézve tagolható (disztributív). Formulával: Minden ​\( \vec{a} \)​, ​\( \vec{b} \) és ​\( \vec{c} \)​ vektor esetén ​​\( (\vec{a}+\vec{b})·\vec{c}=\vec{a}·\vec{c}+\vec{b}·\vec{c} \)​. Bizonyítás: 1. Ha a ​\( \vec{c} \)​ vektor nullvektor, azaz |​\( \vec{c} \)|=0, akkor az állítás igaz, ugyanis a skaláris szorzat definíciója szerint bármely vektornak, így az ​\( (\vec{a}+\vec{b})
- [Vektorok vektoriális szorzata](https://matekarcok.hu/vektorok-vektorialis-szorzata/) - Vektorok skaláris szorzatához hasonlóan szintén a fizikából eredeztetjük vektorok vektoriális szorzatát. Amikor két vektor szorzata nem egy szám, hanem egy harmadik vektor. A legegyszerűbb értelmezés szerint a forgatónyomaték a forgató hatást létrehozó erőnek és az erőkarnak a vektoriális szorzata: ​​\( \vec{M}=\vec{F}×\vec{r} \)​. A mellékelt ábrán az O pont a forgáspont, ​\( \vec{F} \)​ az erő,
- [Vektor számszorosa](https://matekarcok.hu/vektor-szamszorosa/) - Definíció: Ha az ​\( \vec{a} \) vektor nem nullvektor (​\( |\vec{a}|≠0 \)​), akkor az \( \vec{a} \) vektor és a λ valós szám (λ∈ ℝ) szorzata a λ⋅ \( \vec{a} \) vektor olyan az \( \vec{a} \) vektorral egyállású (párhuzamos) vektor amelynek abszolút értéke (hossza) az eredeti vektor abszolút értékének (hosszának) λ szorosa. (azaz ​\( |λ·\vec{a}|=|λ|·|\vec{a}| \)​) vektor. Pozitív számmal
- [Bázisvektorok](https://matekarcok.hu/bazisvektorok/) - Tétel: Ha felveszünk a a síkon két tetszőleges ​\( \vec{a} \)​ és ​\( \vec{b} \)​ nem egyállású, O kezdőpontú vektort, akkor bármely velük egysíkú \( \vec{v} \)​ vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre. Azaz egyértelműen felírható: ​\( \overrightarrow{OP}=\vec{v}=k_{1}·\vec{a}+k_{2}·\vec{b} \), ahol k1;k2 tetszőleges valós számok. Az ​\( \vec{a} \)​ és ​\( \vec{b} \)​ vektorokat bázisvektoroknak, az
- [Vektor fogalma](https://matekarcok.hu/vektor-fogalma/) - "Told el a széket!" "Merre?" "Mennyire?" Az eltolás végrehajtásához szükségünk van: az eltolás mértékének és irányának a megadására. Az eltolást mint geometriai transzformációt irányított szakasszal, vektorral adjuk meg. Definíció: Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. Jelölések: ​​\( \vec{v}=\underline{v}=\overrightarrow{AB} \)​ Vektor hossza: A vektor hosszát a vektor abszolút értékének nevezzük, és a következőképpen jelöljük: ​\( \left|\underline{v}\right| =\left|\overrightarrow{AB} \right|
- [Trigonometrikus  Pitagorasz tétel](https://matekarcok.hu/trigonometrikus-pitagorasz-tetel/) - A derékszögű háromszgek oldalhosszúságaira megfogalmazott Pitagorasz tétel, mint összefüggés alkalmazható a szögek szinuszára és koszinuszára is. A sinus, cosinus szögfüggvények általános értelmezése szerint az α szöggel elforgatott ​\( \vec{e} \)​ egységvektor koordinátái: ​\( \vec{e} \)​(cosα ;sinα ). A.) Amennyiben az elforgatott egységvektor nem esik rá a koordináta tengelyek egyikére sem, akkor ennek az egységvektornak
- [Síkidomok merőleges vetületeinek területe](https://matekarcok.hu/sikidomok-meroleges-vetuleteinek-terulete/) - Állítás: Legyen S1 és S2 síkok hajlásszöge α és az S1 síkban fekvő t1 területű háromszög S2-re merőleges vetületének területe t2. Ekkor t2=t1⋅ cosα. A tétel bizonyítását három lépésben fogjuk végezni. 1. Feltételezzük, hogy a háromszög egyik oldala illeszkedik a két sík metszésvonalára 2. Feltételezzük, hogy a háromszög csak egyik csúcsa illeszkedik a két sík
- [Kör sugara, húrja és kerületi szög összefüggése](https://matekarcok.hu/kor-sugara-hurja-es-keruleti-szog-osszefuggese/) - Állítás: Egy kör r hosszúságú sugara, az a hosszúságú húrja és az ahhoz tartozó α kerületi szög között a következő összefüggés áll fenn: a=2⋅r⋅sinα. A bizonyítást három esetre érdemes elvégezni. 1. Amikor a húrhoz tartozó kerületi szög hegyesszög. 2. Amikor a húrhoz tartozó kerületi szög derékszög. 3. Amikor a húrhoz tartozó kerületi szög tompaszög. 1. eset.
- [Szinusztétel](https://matekarcok.hu/szinusztetel/) - Tétel: Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával. A háromszögek területe meghatározható bármelyik két oldalának és a közbezárt szögének ismeretében, függetlenül attól, hogy az hegyes vagy tompa esetleg derékszög: ​ \( t=\frac{a·c·sinβ}{2} \)​, vagy ​\( t=\frac{a·b·sinγ}{2} \)​ vagy ​\( t=\frac{b·c·sinα}{2} \)​. Ezekből az összefüggésekből kapjuk: a⋅c⋅sinβ=a⋅b⋅sinγ=b⋅c⋅sinα
- [Adott meredekségű egyenes egyenlete](https://matekarcok.hu/adott-meredeksegu-egyenes-egyenlete/) - Adott az egyenes egy pontja: P0(x0;y0) és adott az egyenes irányvektora: \( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ . Az egyenes irányvektoros egyenletéből indulunk ki, amely a következő: v2x-v1y=v2x0-v1y0 az alábbi animációs ábra jelölései szerint. Egyenes iránytangense csak akkor létezik, ha az egyenes nem párhuzamos az y tengellyel. Ebben az esetben az egyenes irányvektorának első koordinátája biztosan nem nulla, azaz v1≠0.
- [Párhuzamos és merőleges egyenesek](https://matekarcok.hu/parhuzamos-es-meroleges-egyenesek/) - Tekintsük az alábbi ábrát. Az "e" és "f" egyenesek párhuzamosak egymással, és az "m" egyenes merőleges mindkettőjükre. A ​\( \vec{v} \)​ vektor párhuzamos e és f egyenesekkel, míg az ​\( \vec{n} \)​n vektor merőleges rájuk. Mivel az (xy) síkban egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, a zérusvektortól különböző bármely vektor, ezért az "'e", az "f"
- [Az ellipszis egyenlete](https://matekarcok.hu/az-ellipszis-egyenlete/) - Az ellipszis egyenletének meghatározásához induljunk ki az ellipszis definíciójából! Definíció: Az ellipszis azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) összege állandó (2a). Ez a távolság nagyobb kell legyen, mint a két fókuszpont (2c) távolsága. Formulával:
- [A hiperbola egyenlete](https://matekarcok.hu/a-hiperbola-egyenlete/) - A hiperbola egyenletének meghatározásához induljunk ki a hiperbola definíciójából! Definíció: A hiperbola azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) különbségének abszolút értéke állandó (2a). Ez a távolság kisebb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága
- [Háromszög súlypontjának koordinátái](https://matekarcok.hu/haromszog-sulypontjanak-koordinatai/) - Adott egy háromszög három csúcspontjának koordinátái: A(x1;y1), B(x2;y2), és C(x3;y3), helyvektoraik: ​\( \vec{a} \)​; ​\( \vec{b} \)​, és ​\( \vec{c} \)​. Jelölje F(f1;f2) a BC oldal felezési pontját, S(s1;s2) pedig a háromszög súlypontját. F pont helyvektorára felírható a felezési pontra vonatkozó alábbi vektoregyenlet: ​\( \vec{f}=\frac{(\vec{b}+\vec{c})}{2} \)​. Ez alapján F pont koordinátái: ​\( f_{1}=\frac{x_{2}+x_{3}}{2} \)​ és ​\(
- [Egyenes iránytangense](https://matekarcok.hu/egyenes-iranytangense/) - Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányszöge az egyenesnek és az x tengelynek a hajlásszöge. Jelöljük ezt α -val. Ekkor α∈ [90° ;-90° ). Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányszögének tangensét (ha létezik, azaz ≠ 90°) az egyenes iránytangensének nevezzük. Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos nem nullvektor. ​\( \vec{v}=(v_{1};v_{2}) \)​, ​\(
- [Alakzat egyenlete](https://matekarcok.hu/alakzat-egyenlete/) - Definíció: Egy alakzat (egyenes, kör, parabola, ellipszis, hiperbola stb.) egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll, vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat bármely pontjának koordinátái kielégítenek és az alakzaton kívüli (az alakzathoz nem tartozó) pontok koordinátái pedig nem. Például: Az (xy) koordináta síkon az adott C(u;v) középpontú r sugarú kör egyenlete: (x-u)2+(y-v)2=r2.
- [A koordináta-rendszerben adott két pont távolságának a meghatározása](https://matekarcok.hu/a-koordinata-rendszerben-adott-ket-pont-tavolsaganak-a-meghatarozasa/) - Tétel: Ha adott a koordináta-rendszerben az A(a1;a2) és B(b1;b2) pontok, akkor a két pont távolsága egyenlő a két pont megfelelő koordináták különbségeinek négyzetösszegéből vont négyzetgyökével. ​\( AB=d=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^2+(b_{2}-a_{2})^2} \)​ Bizonyítás: Két pont távolsága egyenlő a két pont által meghatározott vektor abszolút értékével. A két pont által meghatározott vektor a két pont helyvektorának különbsége. Az A pontból a
- [Egy szakasz felezőpontjának illetve harmadoló pontjának koordinátái](https://matekarcok.hu/egy-szakasz-felezopontjanak-illetve-harmadolo-pontjanak-koordinatai/) - Szakasz felezési pontjának meghatározása. Adott az (xy) koordinátasíkon az A pont, helyvektora ​\( \vec{a} \)​, B pont helyvektora ​\( \vec{b} \). Az AB szakasz F felezőpontjának helyvektora ​\( \vec{f} \). Ezt úgy kapjuk meg, ha az A pont helyvektorához hozzáadjuk az ​\( \overrightarrow{AB} \)​ vektor felét. A mellékelt ábrán olvasható levezetés eredménye: Az F pont helyvektora
- [Analitikus geometria](https://matekarcok.hu/analitikus-geometria/) - Az analitikus (koordináta) geometriában a geometriai feladatokat algebrai eszközökkel oldunk meg. Ehhez szükség van egy koordináta rendszerre, amelynek segítségével a pontokhoz koordinátákat rendelhetünk. Az alakzatokat egy, a pontjaira vonatkozó összefüggéssel, az alakzat egyenletével adunk meg. A koordináta-rendszert bázisvektorok segítségével definiáljuk. A függvények grafikonjait is koordináta rendszerben ábrázoljuk. A fenti animációban láthatunk pontokat: (A, C, P),
- [Henger- és a kúpszerű testek](https://matekarcok.hu/henger-es-a-kupszeru-testek/) - Hengerszerű testek származtatása. Adott a síkon egy önmagát nem átmetsző zárt görbe. Ha ennek a síkidomnak (alaplapnak) a kerületén önmagával párhuzamosan körbevezetünk egy a síkkal nem párhuzamos e egyenest (vezéregyenes), akkor egy végtelen hengerfelülethez (palásthoz) jutunk. Ha ezt a hengerfelületet egy, az eredeti síkkal párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor ez a két sík és a palástfelület
- [Kúp térfogata](https://matekarcok.hu/kup-terfogata/) - Az egyenes körkúp térfogatának meghatározásánál felhasználjuk, hogy a gúla térfogata: ​\( V_{gúla}=\frac{T_{alap}·m_{gúla}}{3} \)​. A kúp térfogatát köré és beleírt gúlák segítségével, a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg. A kúp alaplapjába, azaz az r sugarú körbe és a kör köré egy-egy szabályos sokszöget írunk, melyek oldalszámai n=3, 4, 6, 8, stb. A beírt gúláknál a sokszög csúcsai
- [Csonkakúp térfogata](https://matekarcok.hu/csonkakup-terfogata/) - Ennek a tételnek a bizonyítása a csonkagúla térfogatának a levezetésének menetét követi. A csonkakúp térfogatának meghatározásánál a következőket használjuk fel: A teljes, nem csonka kúp térfogata: ​\( V_{kúp}=\frac{t_{kör}·M_{kúp}}{3} \)​, azaz ​\( V_{kúp}=\frac{r^2· π ·M}{3} \)​. A középpontos hasonlóságot. A csonka kúp térfogatának meghatározásánál egy teljes kúpból indulunk ki. Ennek felső részéből levágunk egy kisebb, az
- [Csonka gúla térfogata](https://matekarcok.hu/csonka-gula-terfogata/) - Ennek a tételnek a bizonyítása a csonka kúp térfogatának a levezetésének menetét követi. A csonka gúla térfogatának meghatározásánál a következőket használjuk fel: A teljes, nem csonka gúla térfogata: ​\( V_{gúla}=\frac{T_{alap}·m_{gúla}}{3} \)​ . A középpontos hasonlóságot. A csonka gúla térfogatának meghatározásánál egy teljes gúlából indulunk ki. Ennek felső részéből levágunk egy kisebb, az eredetihez középpontosan hasonló gúlát.
- [Gömb térfogata](https://matekarcok.hu/gomb-terfogata/) - Tétel: A gömb térfogata: ​\( V_{gömb}=\frac{4·R^3· π }{3} \)​. Ennek a bizonyításában is a Cavalieri-elvet fogjuk használni, mely szerint: Ha egy síkon két olyan test van, amelyek a. alapterülete egyenlő, és b. az alaplapjukkal párhuzamos bármely síkkal képzett síkmetszetük páronként egyenlő területű, akkor a két test térfogat egyenlő. Vágjuk ketté a gömböt főköre mentén két
- [Gömb felszíne](https://matekarcok.hu/gomb-felszine/) - A kúp, a henger és persze a hasábok felszíne síkba kiteríthető (a test hálója). Felszínüket az egyes testek hálóját alkotó síkidomok területeinek összege adja. A gömbfelület a középiskolában eddig megismert felületektől alapvetően eltérő, ugyanis a gömbfelület síkba ki nem teríthető. Felszínére vonatkozó összefüggés precíz levezetése túlmutat a normál középiskolai követelményeken. Az összefüggést azonban szemléletessé lehet
- [Trigonometria](https://matekarcok.hu/trigonometria/) - A trigonometria fejlődésének, kialakulásának mozgató rugója a csillagászat és persze a közlekedés, a hajózás volt. Az ókori görög csillagászat a babiloniaktól vett át nagyon sok mindent. Elsőként kell megemlíteni Hipparkhosz ókori görög csillagászt és matematikust, akinek ezen a téren kifejtett tevékenységét Ptolemaiosz "Almageszt" című művéből ismerjük. Úttörő munkát végzett a gömbháromszögekkel kapcsolatban és a trigonometria területén
- [Valószínűségi változó eloszlása](https://matekarcok.hu/valoszinusegi-valtozo-eloszlasa/) - A valószínűségeloszlás fogalma. A valószínűségi változóval, mint a kísérlet kimenetelének numerikus jellemzőjével összefüggésben elsősorban az érdekel minket, hogy a lehetséges értékeket milyen valószínűséggel veszi fel. Egy lövész mesterségbeli tudására nyilván az a jellemző, hogy milyen valószínűséggel ér el 10-es; 9-es stb. találatot. Ha ξ–vel jelöljük találat értékét jelző valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei x1; x2;
- [A valószínűségi változó szórása](https://matekarcok.hu/a-valoszinusegi-valtozo-szorasa/) - A) Statisztikai átlag és a valószínűségi változó várható értéke. Egy adott adatsokaság (a1, a2;a3,...,an) átlagának kiszámítására a statisztikában alkalmazott képlet: Átlag: ​\( \overline{a}=\frac{gy_{1}·a_{1}+gy_{2}·a_{2}+...+gy_{n}·a_{n}}{gy_{1}+gy_{2}+...gy_{n}} \)​. Itt az egyes adatok gyakoriságát, előfordulásainak a számát gyi jelöli. Amennyiben a gyakoriság (gyi) helyett a relatív gyakorisággal (rgyi) számolunk, akkor a képlet így alakul: ​\( \overline{a}=rgy_{1}·a_{1}+rgy_{2}·a_{2}+...+rgy_{n}·a_{n} \)​. A valószínűségi változó várható értékét a
- [A valószínűség kiszámításának geometriai modellje](https://matekarcok.hu/a-valoszinuseg-kiszamitasanak-geometriai-modellje/) - Bevezető példa: Egy célba lövő egy 50 cm oldalú négyzet alakú táblára lő. Feltételezzük, hogy lövései egyenlő eséllyel érik el a céltábla bármely pontját. Mi a valószínűsége annak, hogy a tábla közepén lévő 10 cm átmérőjű körbe talál? (Készüljünk az érettségire matematikából közép-, emelt szinten. (MK-2947-3, 284. oldal) Megoldás: Az nyilvánvaló, hogy ebben az esetben
- [Teljes valószínűség tétele](https://matekarcok.hu/teljes-valoszinuseg-tetele/) - Kísérlet: 1 db dobókockával egyszer dobunk. B1 esemény:{párosat dobunk}, B2 esemény {páratlant dobunk}. Nyilvánvaló, hogy B1⋅B2={}=∅. (Üres halmaz.) Ugyanakkor: B1+B2 =H (Az eseménytér). A valószínűségszámítási axiómákból következik, hogy P(H)=1=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2). Definíció: A {B1, B2,...,Bn } események halmazát teljes eseményrendszernek nevezzük, ha ezen események bármelyik Bi eseménye részhalmaza a az eseménytérnek (Bi⊆H, i=1,2,..n) és bármelyik két esemény szorzata üres
- [Bayes tétele](https://matekarcok.hu/bayes-tetele/) - Példa: Hazánkban a népesség 4%-a cukorbeteg. Egy nem teljesen pontos teszt szolgál a betegség felismerésére. A teszt a cukorbetegek 95%-ánál ad pozitív jelzést de ugyanakkor az egészségesek (nem cukorbetegek) 2%-ánál is pozitív jelzést ad. 1. Mennyi a valószínűsége, hogy a teszt pozitív jelzést ad? 2. Mennyi a valószínűsége, hogy a teszt pozitív, de a személy
- [Események függetlensége](https://matekarcok.hu/esemenyek-fuggetlensege/) - Hétköznapi értelemben két eseményt akkor nevezünk függetlennek, ha nincsenek egymásra befolyással, azaz az egyik bekövetkezése esetén a másik esemény bekövetkezésének az esélye sem nem nagyobb, sem nem kisebb. o Ha két ember céltáblára lő, akkor a találatok egymástól függetlenek. o Ha egy társasjátékban az a szabály, hogy csak 6-os dobással lehet kezdeni, akkor minden játékosnak
- [Valószínűségi változó fogalma](https://matekarcok.hu/valoszinusegi-valtozo-fogalma/) - 1. Kísérlet: Két kockával dobunk. Az elemi eseményekhez rendeljük hozzá a dobott számok összegét! Ebben a kísérletben az eseménytér 6⋅6=36 elemű. A hozzárendelt értékek a lehetséges összegek: [2; 12] intervallumba eső egész számok. Minden elemi eseményhez egyértelműen tartozik egy valós szám, a dobott számok összege. 2. Kísérlet: Céltáblára lövünk. Az elemi eseményekhez rendeljük hozzá a lövés pontértékét! Elemi események:
- [Valószínűségszámítás alapfogalmai](https://matekarcok.hu/valoszinusegszamitas-alapfogalmai/) - A valószínűségszámítás olyan jelenségekkel foglalkozik, amelyek többször is megismétlődhetnek, de amelyek kimenetelét előre nem lehet megmondani. A véletlenszerű jelenségeket és megfigyelésüket kísérletnek nevezzük. Kísérlet tehát például a fenti példákban a kockadobás, a pénzfeldobás, a céltáblára lövés, a lottó húzás. Egy elemi eseményről egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezik vagy nem. A kísérletek kimeneteleit egyelemű halmazokként tartalmazó eseményeket elemi eseményeknek hívjuk.
- [A valószínűség klasszikus modellje](https://matekarcok.hu/a-valoszinuseg-klasszikus-modellje/) - Bevezető feladatok: 1. Példa: Dobjunk fel három darab pénzérmét. Milyen elemi események fordulhatnak elő? Mi az esélye annak, hogy egy fej és két írás lesz felül a dobás után? Megoldás: Minden érménél két lehetőség van: fej vagy írás. Három érme esetén ez 2⋅2⋅2=23=8 elemi eseményt jelent. Ezek: {F,F,F}; {F,F,I}; {F,I,F};{I,F,F}; {F,I,I}; {I,F,I};{I,I,F}; {I,I,I}. Látható, hogy ezek között három olyan
- [Fibonacci sorozat](https://matekarcok.hu/fibonacci-sorozat/) - Ezt a sorozatot az olasz Fibonacci-ról nevezték el, mert ő fogalmazta meg a következő feladatot: "Hány pár nyúl származhat egy évben egyetlen pártól, ha minden pár havonta új párnak ad életet, amely a második hónaptól lesz tenyészképes, és feltételezzük, hogy egy ivadék sem pusztul el?" A válasz a következő sorozat: 1, 1, 2, 3, 5,
- [Valószínűségszámításról](https://matekarcok.hu/valoszinusegszamitas/) - A valószínűségszámítás a matematika egy viszonylag új, dinamikusan fejlődő területe. Mindenki tudja, hogy nagyon kicsi az esélye annak, hogy 5-ös találatunk legyen az 5-ös lottón. A futball mérkőzés kezdetén a bíró és a két csapatkapitány pénzfeldobással dönti el a pályaválasztást. Hiszen itt csak két eset (esemény) lehet és egyenlő az esélye a
- [Forgástestek térfogata](https://matekarcok.hu/forgastestek-terfogata/) - Feladatok: 1. Legyen adott az a következő lineáris függvény: l(x)=0.5⋅x . Ábrázoljuk és számítsuk ki a függvény alatti területet a [2,6] intervallumon! Megoldás: A lineáris függvény alatti terület ezen az intervallumon egy trapéz. Így a területe a trapézokra vonatkozó terület képlettel könyen számítható: Ttrapéz= (1+3)⋅4/2=8 területegység. Persze, a terület kiszámítása a határozott integrál segítségével sem
- [Számsorozat fogalma](https://matekarcok.hu/szamsorozat-fogalma/) - Hogyan folytatnád? Az alábbi néhány számsorozatot nagyon könnyű folytatni. a) 2, 4, 6, … b) 2;-6;18; c) 3; 5; 7;…. Vegyük azonban észre, hogy ezeknél a fenti feladatoknál a folytatás nem is annyira egyértelmű. Például így is folytathatnánk: a) 2, 4, 6, 2, 4, 6, ,… és így tovább. b) 2;-6;18, 2,-6,18,… és így tovább.
- [Rekurzív sorozatok](https://matekarcok.hu/rekurziv-sorozatok/) - Mi a közös az alábbi sorozatokban? a) a1=3; an=an-1+n. (n>1) b) b1=2, b2=3, bn=bn-1⋅√2+bn-2⋅sin(π/4). (n>2) c) c1=1, c2=1, cn=cn-1+cn-2. (n>2) Mindhárom esetben az első (néhány) tag közvetlenül (explicit módon) lett megadva. A további tagok definíciójánál hivatkozunk az előző tagra vagy tagokra. Az ilyen sorozatok az un. rekurzív sorozatok. Az egyik legismertebb rekurzív sorozat az un.
- [Görbék hajlásszöge](https://matekarcok.hu/gorbek-hajlasszoge/) - A görbék hajlásszöge fogalmának tisztázása előtt érdemes visszatérni a szög fogalmához. Szögtartományt két - egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Egyenesek hajlásszöge az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetétől függ. Párhuzamos illetve egybeeső egyenesek hajlásszöge 0. Metsző egyenesek esetén a közös kezdőpontból kiinduló félegyenesek által határolt nem nagyobb szögtartományt tekintjük az egyenesek hajlásszögének. Kitérő egyenesek hajlásszögét visszavezetjük
- [Newton-Leibniz formula](https://matekarcok.hu/newton-leibniz-formula/) - Feladat Ábrázoljuk az f(x)=2x+3 függvényt és határozzuk meg az [1; 4] intervallumon a függvény alatti terület értékét! Megoldás: A függvény grafikonja: Ez egy lineáris függvény. Az "x" tengely [1,4] intervalluma és a függvény közötti síkidom egy trapéz, amelynek párhuzamos oldalai: f(1)=5, f(4)=11 és a két párhuzamos oldal távolsága az intervallum hossza, a trapéz magassága=3 egység.
- [Függvények közötti terület](https://matekarcok.hu/fuggvenyek-kozotti-terulet/) - A határozott integrál illetve a Newton-Leibniz formula segítségével meg tudjuk határozni egy integrálható függvény és az "x" tengely által közbezárt síkidom területét. Ez az alapja annak is, hogy két függvény által közrefogott terület értékét is k tudjuk számítani. Példa: Határozzuk meg az g: ℝ\ℝ-→ℝ, g(x)=​\( \sqrt{2x} \)​ gyökfüggvény és az l(x)=x/3+4/3 lineáris függvény által közrefogott
- [Integrálás helyettesítéssel](https://matekarcok.hu/integralas-helyettesitessel/) - A helyettesítési integrálás formulája: Az összetett függvény differenciálási szabálya és a Newton-Leibniz formula segítségével igazolható az alábbi étel: ​\( \int_{g(a)}^{g(b)}{ f(x)dx}=\int_{a}^{b}{ f(g(t))·g'(t)dt} \)​. Figyelem: A helyettesítés módszerének alkalmazásánál az eredeti határok megváltozhatnak. Példa: Határozzuk meg a ​\( \int_{0}^{\frac{ π }{2}}{sin(2x)dx } \)​ integrál értékét! Megoldás: Legyen 2x = t. Ez a belső függvény. Ekkor ​\( dx=\frac{1}{2}dt
- [Szinuszx_per_x](https://matekarcok.hu/szinuszx_per_x/) - Határozzuk meg a következő határértéket: ​\( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x} \)​! Mivel a sin⁡(x) páratlan függvény, azaz sin⁡(-x)=-sin⁡(x), ezért az ​​\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)​ függvény páros, hiszen: ​\( f(-x)=\frac{sin(-x)}{-x} \)​ =​\( \frac{-sin(x)}{-x} \)​=​\( \frac{sin(x)}{x} \)​=f(x). Ebből az következik, hogy elegendő a csak az x>0 estben vizsgálni a függvényt. Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatát! Azt sejtjük, hogy a
- [Elemi függvények deriváltjai](https://matekarcok.hu/elemi-fuggvenyek-derivaltjai/) - Függvény Derivált függvénye Konstans függvény: k(x) = c k’(x) =0 Elsőfokú függvény: l(x)= mx +b l’(x) =m Másodfokú függvény: m(x) = x2 m’(x) =2x m(x) = ax2+bx+c m’(x) =2x+b Hatvány függvény: h(x) = xn h'(x)=n⋅xn-1 Négyzetgyök függvény: ​\( g(x)=\sqrt{x} \)​ ​\( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)​ N-edik gyök függvény: ​\( n(x)=\sqrt[n]{x} \)​ ​\( n'(x)=\frac{1}{n·\sqrt[n]{x^{n-1}}} \)​ Fordított arányosság: ​\(
- [A határozott integrál](https://matekarcok.hu/a-hatarozott-integral/) - A határozott integrál szemléletes fogalma Tekintsük egy adott intervallumon korlátos f:[a;b]→ℝ;f(x) függvényt! Osszuk fel az [a;b] intervallumot „n” részre! Az nem lényeges, hogy egyenlő részek legyenek. (a=x0; x1; x2; …;xn=b). A parabolikus háromszöghöz hasonlóan fogunk eljárni, a kétoldali közelítés módszerét fogjuk alkalmazni. Képezzük az adott beosztáshoz tartozó alsó közelítő összegeket:​ \[ s_{n}=m_{1}·\left(x_{1}-x_{0}\right) +m_{2}·\left(x_{2}-x_{1}\right)+...+m_{i}·\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+...+m_{n}·\left(x_{n}-x_{n-1}\right)​. \] Ebben

## Oldalak

- [](https://matekarcok.hu/) - Matematikusokról és a matematikáról elsősorban a középiskolás diákok számára. Normál és emelt szintű tananyag legfontosabb fogalmai és tételei, érdekességek
- [Bevezetés](https://matekarcok.hu/bevezetes/) - Ez a rendszer matematikusokról és matematikáról szól a középiskolások számára. A középiskolai matematika tananyagból indultam ki a normál érettségi szerint.
- [Matematikusok arcképcsarnoka](https://matekarcok.hu/matematikusok-idorendben/) - Híres és jelentős matematikusok gyűjteménye az ókortól napjainkig.
- [Fogalmak és tételek - Témakörök szerint](https://matekarcok.hu/temakorok/) - A középiskolai matematikai tananyag fogalmai és tételi témakörök szerint csoportosítva: algebra, függvények, geometria, gondolkodási módszerek, nevezetes problémák
- [Felhasznált irodalom](https://matekarcok.hu/felhasznalt-irodalom/) - Matematikatörténet Sain Márton Nincs királyi út (Matematikatörténet) Gondolat Kiadó Budapest 1986 Sain Márton Matematikatörténeti ABC Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex Budapest 1993 Elméleti összefoglalók Fried-Pásztor-Reimann- Révész -Ruzsa Matematikai kisenciklopédia Gondolat Kiadó Budapest 1968 Hajós György Bevezetés a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Gábos Adél-Halmos Mária Készüljünk az érettségire! Matematika Calibra Kiadó Budapest 1995 Gábos Adél-Halmos Mária Készüljünk
- [Tartalom felhasználás](https://matekarcok.hu/tartalom-felhasznalas/) - A „Matematikusok arcképcsarnoka” – mint egy speciális összeállítás a Szerzői Jogvédő Hivatal által szerzői jogvédelem alatt áll. A jelen weboldalon (matekarcok.hu) található valamennyi információ, leírás, magyarázat nyilvános forrásokból származik, lásd: „Felhasznált irodalom”. Amennyiben a weboldal tartalmát ebben formában szeretné használni, kérem forrásmegjelölésként adja meg a "matekarcok.hu"-t a weboldalra mutató link formájában. Az illusztrációk legnagyobb részét

## FM Mail Verification

- [Email Verification](https://matekarcok.hu/fmemailverification/email-verification/)

## FM Preview

- [Preview](https://matekarcok.hu/form-maker/preview/)

## Kategóriák

- [Egyéb](https://matekarcok.hu/kategoria/egyeb/)
- [Matematikusok](https://matekarcok.hu/kategoria/matematikusok/) - Neves matematikusokról szóló cikkek a középiskolás tananyaghoz kapcsolódóan.
- [Középiskolai tananyag témakörei](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/) - A középiskolai matematika tananyag fogalmai és tételei tematikus csoportosításban.
- [Nevezetes matematikai problémák](https://matekarcok.hu/kategoria/nevezetes-matematikai-problemak/) - Megoldatlan és érdekes matematikai problémák
- [Matematikai érdekességek](https://matekarcok.hu/kategoria/matematikai-erdekessegek/) - Érdekes és meglepő furcsaságok a matematika világából.
- [Gondolkodási módszerek](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/matematikai-gondolkodasi-muveletek/) - Halmazokról, gráfokról, logikáról, kombinatorikáról.
- [Algebra](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/) - Számelmélet, hatvány-gyök-logaritmus, egyenletek.
- [Halmazok](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/matematikai-gondolkodasi-muveletek/halmazok/) - Halmazok és halmazműveletek
- [Függvények](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/fuggvenyek/) - Elemi függvények. Függvények jellemzése. Függvénytranszformációk.
- [Geometria](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/)
- [Valószínűségszámítás](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/valoszinusegszamitas/)
- [Statisztika](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/statisztika/)
- [Matematikáról](https://matekarcok.hu/kategoria/matematikarol/) - Axiómák, szakterületek
- [Matematikai logika](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/matematikai-gondolkodasi-muveletek/matematikai-logika/) - Matematikai logikai műveletek, matematikai bizonyítási módszerek
- [Kombinatorika](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/matematikai-gondolkodasi-muveletek/hanyfelekeppen/) - Sorbarendezések, kiválasztások
- [Gráfok](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/matematikai-gondolkodasi-muveletek/kapcsolatok-bejarasok/) - pontok és élek, kapcsolatok és bejárások
- [Számelmélet](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/szamelmelet/) - Oszthatóság, prímszámok, számhalmazok, számrendszerek
- [Számhalmazok](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/szamhalmazok/) - Természetes, egész, racionális és irracionális számok.
- [Hatvány, gyök, logaritmus](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/hatvany-gyok-logaritmus/) - Hatványozás, gyökvonás és logaritmus definiciók és azonosságok.
- [Algebrai kifejezések](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/algebrai-kifejezesek/) - Polinomok, algebrai törtek, nevezetes azonosságok.
- [Arány, arányosság](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/egyenes_es_forditott_aranyossag-szazalekszamitas-negyedik_aranyos/) - Egyenes és fordított arányosság fogalma. Százalékszámítás. Negyedik arányos.
- [Egyenletek, egyenlőtlenségek, közepek](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/algebra/egyenletek/) - Első és másodfokú egyenletek. Diophantoszi egyenletek.
- [Elemi függvények és tulajdonságaik](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/fuggvenyek/elemi-fuggvenyek/) - Függvénytípusok. Elemi függvények jellemzése. Függvénytranszformációk. Műveletek függvényekkel.
- [Sorozatok](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/fuggvenyek/sorozatok/) - Sorozat fogalma, számtani és mértani sorozatok. Rekurzív sorozatok, a Fibonacci sorozat. Sorozatok jellemzése, határértéke. Műveletek sorozatokkal.
- [Differenciálszámítás](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/fuggvenyek/differencialszamitas/) - Függvények, határértéke, folytonossága. Differencia és differenciálhányados. Deriválási szabályok. Elemi függvények derivált függvénye. Függvényvizsgálatok. Szélsőértékfeladatok.
- [Integrálszámítás](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/fuggvenyek/integralszamitas/) - Primitív függvény. Függvénygörbe alatti terület. Derivált függvény. Alapintegrálok. Integrálási szabályok. Newton-Leibniz formula. területszámítás. Forgástest térfogata.
- [Geometriai alapfogalmak](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/geometriai-alapfogalmak/) - Térelemek távolsága, hajlásszöge. Mértani helyek.
- [Geometriai transzformációk](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/geometriai-transzformaciok/) - Egybevágósági transzformációk. Tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás. Középpontos hasonlóság. Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata.
- [Háromszögek](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/haromszogek/) - Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai. Derékszögű háromszögek. Pitagorasz tétel, Thalész tétel.
- [Négyszögek](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/negyszogek/) - Négyszögek osztályozása. Húrnégyszögek. Érintő négyszögek. Ptolemaiosz tétel.
- [Sokszögek](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/sokszogek/) - Konvex sokszögek átlóinak száma, belső szögeinek összege. Pitagorasz csillag.
- [Kör](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/kor/) - Kerületi és középponti szögek tétele. Körcikk és körszelet területe. Szelő tétel. Aranymetszés. Apolloniosz kör. π közelítő szerkesztése.
- [Vektorok](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/vektorok/) - Vektor fogalma. Műveletek vektorokkal. Bázis vektorok. Vektorok skaláris és vektoriális szorzata.
- [Trigonometria](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/trigonometria/) - Hegyesszögek szögfüggvényei. Szögfüggvények általánosítása. Vetület területe. Szinusz tétel. Koszinusz tétel.
- [Koordináta-geometria](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/koordinata-geometria/) - Felezőpont, harmadoló pont koordinátái. Háromszög súlypontja. Egyenesek egyenlete. Kör, parabola, ellipszis és hiperbola egyenlete.
- [Térgeometria](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/tergeometria/) - Szabályos poliéderek. Hengerszerű testek felszíne és térfogata. Kúpok és kúpszerű testek felszíne és térfogata. Csonka gúla és csonka kúp felszíne és térfogata. Gömb és részei. Gömb felszíne és térfogata.
- [Topológia](https://matekarcok.hu/kategoria/matek-temakorok/geometria/topologia/) - Möbius szalag. Klein-féle palack
- [Ókori matematikusok](https://matekarcok.hu/kategoria/matematikusok/okori-matematikusok/) - Thalésztől Diophantoszig – Kr. e. 624-től – Kr. u.334-ig.
- [Középkor matematikusai](https://matekarcok.hu/kategoria/matematikusok/kozepkor-matematikusai/) - Fibonaccitól – Pascalig 1170-től 1662-ig
- [Újkori matematikusok](https://matekarcok.hu/kategoria/matematikusok/ujkori-matematikusok/) - Newtontól Kolmogorovig 1643-tól -1987-ig.

## Címkék

- [Ókori matematikusok](https://matekarcok.hu/cimke/okori-matematikusok/)
- [Aranymetszés](https://matekarcok.hu/cimke/aranymetszes/)
- [Derékszögű háromszögek](https://matekarcok.hu/cimke/derekszogu-haromszogek/)
- [Pi közelítése](https://matekarcok.hu/cimke/pi-kozelitese/)
- [Gömb és henger térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/gomb-es-henger-terfogata/)
- [kúpszeletek területe](https://matekarcok.hu/cimke/kupszeletek-terulete/)
- [Arkhimédész törvénye](https://matekarcok.hu/cimke/arkhimedesz-torvenye/)
- [Középiskolai matematika verseny](https://matekarcok.hu/cimke/kozepiskolai-matematika-verseny/)
- [Hiperbolikus geometria](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbolikus-geometria/)
- [Komplementer halmaz](https://matekarcok.hu/cimke/komplementer-halmaz/)
- [Hlamzok uniója](https://matekarcok.hu/cimke/hlamzok-unioja/)
- [Halmazok metszete](https://matekarcok.hu/cimke/halmazok-metszete/)
- [Halmazok különbsége](https://matekarcok.hu/cimke/halmazok-kulonbsege/)
- [Prímszámok 1187-ig.](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok-1187-ig/)
- [Tökéletes számok](https://matekarcok.hu/cimke/tokeletes-szamok/)
- [Eratoszthenész](https://matekarcok.hu/cimke/eratoszthenesz/)
- [Nagyon nagy prímszámok](https://matekarcok.hu/cimke/nagyon-nagy-primszamok/)
- [Eratoszthenészi szita](https://matekarcok.hu/cimke/eratosztheneszi-szita/)
- [Thalész tétele](https://matekarcok.hu/cimke/thalesz-tetele/)
- [Thalész kör](https://matekarcok.hu/cimke/thalesz-kor/)
- [Thalész tétel](https://matekarcok.hu/cimke/thalesz-tetel/)
- [Matematika axiomatikus felépítése](https://matekarcok.hu/cimke/matematika-axiomatikus-felepitese/)
- [Aritmetika axiómái](https://matekarcok.hu/cimke/aritmetika-axiomai/)
- [Számítógépek alapelvei](https://matekarcok.hu/cimke/szamitogepek-alapelvei/)
- [Újkori matematikusok](https://matekarcok.hu/cimke/ujkori-matematikusok/)
- [Klein-féle kancsó](https://matekarcok.hu/cimke/klein-fele-kancso/)
- [Topológia](https://matekarcok.hu/cimke/topologia/)
- [Kelin-féle palack](https://matekarcok.hu/cimke/kelin-fele-palack/)
- [Möbius szalag](https://matekarcok.hu/cimke/mobius-szalag/)
- [Halmazelmélet](https://matekarcok.hu/cimke/halmazelmelet/)
- [Halmazok számossága](https://matekarcok.hu/cimke/halmazok-szamossaga/)
- [Venn diagramok](https://matekarcok.hu/cimke/venn-diagramok/)
- [Hatványozás racionális kitevő esetén](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyozas-racionalis-kitevo-eseten/)
- [matematikai logika](https://matekarcok.hu/cimke/matematikai-logika/)
- [Boole algebra](https://matekarcok.hu/cimke/boole-algebra/)
- [Feuerbach](https://matekarcok.hu/cimke/feuerbach/)
- [Euler](https://matekarcok.hu/cimke/euler/)
- [kör egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/kor-egyenlete/)
- [szakaszfelező](https://matekarcok.hu/cimke/szakaszfelezo/)
- [Feuerbach-kör](https://matekarcok.hu/cimke/feuerbach-kor/)
- [prímszámok eloszlása](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok-eloszlasa/)
- [szabályos sokszögek szerkesztése](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-sokszogek-szerkesztese/)
- [nem-euklideszi geometria](https://matekarcok.hu/cimke/nem-euklideszi-geometria/)
- [Algebrai egyenletek](https://matekarcok.hu/cimke/algebrai-egyenletek/)
- [középiskolai matematikai lapok](https://matekarcok.hu/cimke/kozepiskolai-matematikai-lapok/)
- [Szabályos háromszögek](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-haromszogek/)
- [Kerületi és középponti szögek](https://matekarcok.hu/cimke/keruleti-es-kozepponti-szogek/)
- [Euklideszi axiómák](https://matekarcok.hu/cimke/euklideszi-axiomak/)
- [Koszinusztétel](https://matekarcok.hu/cimke/koszinusztetel/)
- [Euler szám](https://matekarcok.hu/cimke/euler-szam/)
- [Euler egyenes](https://matekarcok.hu/cimke/euler-egyenes/)
- [Gráfok](https://matekarcok.hu/cimke/grafok/)
- [Wallace-egyenes](https://matekarcok.hu/cimke/wallace-egyenes/)
- [Simson-egyenes](https://matekarcok.hu/cimke/simson-egyenes/)
- [Goldbach-sejtés](https://matekarcok.hu/cimke/goldbach-sejtes/)
- [Wallace (Simson)-egyenes](https://matekarcok.hu/cimke/wallace-simson-egyenes/)
- [Differenciálszámítás](https://matekarcok.hu/cimke/differencialszamitas/)
- [Integrálszámítás](https://matekarcok.hu/cimke/integralszamitas/)
- [Pascal-háromszög](https://matekarcok.hu/cimke/pascal-haromszog/)
- [valószínűségszámítás](https://matekarcok.hu/cimke/valoszinusegszamitas/)
- [teljes indukciós bizonyítás](https://matekarcok.hu/cimke/teljes-indukcios-bizonyitas/)
- [számológép](https://matekarcok.hu/cimke/szamologep/)
- [Prímszámok](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok/)
- [Barátságos számok](https://matekarcok.hu/cimke/baratsagos-szamok/)
- [Fermat-sejtés](https://matekarcok.hu/cimke/fermat-sejtes/)
- [Logikai műveletek](https://matekarcok.hu/cimke/logikai-muveletek/)
- [Középkori matematikusok](https://matekarcok.hu/cimke/kozepkori-matematikusok/)
- [térfogatszámítás](https://matekarcok.hu/cimke/terfogatszamitas/)
- [Koordináta-rendszer](https://matekarcok.hu/cimke/koordinata-rendszer/)
- [Hatványkitevők](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanykitevok/)
- [Halmazok direkt szorzata](https://matekarcok.hu/cimke/halmazok-direkt-szorzata/)
- [Analitikus geometria](https://matekarcok.hu/cimke/analitikus-geometria/)
- [Alaki érték](https://matekarcok.hu/cimke/alaki-ertek/)
- [Helyi érték](https://matekarcok.hu/cimke/helyi-ertek/)
- [Számrendszerek](https://matekarcok.hu/cimke/szamrendszerek/)
- [Kettes számrendszer](https://matekarcok.hu/cimke/kettes-szamrendszer/)
- [Régi korok számírásairól](https://matekarcok.hu/cimke/regi-korok-szamirasairol/)
- [Kúpszeletek](https://matekarcok.hu/cimke/kupszeletek/)
- [Csillagász](https://matekarcok.hu/cimke/csillagasz/)
- [Természetes száok prímszámok összegeként](https://matekarcok.hu/cimke/termeszetes-szaok-primszamok-osszegekent/)
- [Természetes számok prímszámok összegeként](https://matekarcok.hu/cimke/termeszetes-szamok-primszamok-osszegekent/)
- [Ne higgy a szemednek](https://matekarcok.hu/cimke/ne-higgy-a-szemednek/)
- [Kör négyszögesítése](https://matekarcok.hu/cimke/kor-negyszogesitese/)
- [Kétoldalú közelítés](https://matekarcok.hu/cimke/ketoldalu-kozelites/)
- [Hogyan lehet kettő egyenlő eggyel?](https://matekarcok.hu/cimke/hogyan-lehet-ketto-egyenlo-eggyel/)
- [Logaritmus függvény](https://matekarcok.hu/cimke/logaritmus-fuggveny/)
- [Logaritmus táblázat](https://matekarcok.hu/cimke/logaritmus-tablazat/)
- [Számjegyírás](https://matekarcok.hu/cimke/szamjegyiras/)
- [Dürer bűvös négyzete](https://matekarcok.hu/cimke/durer-buvos-negyzete/)
- [Számjegyek](https://matekarcok.hu/cimke/szamjegyek/)
- [A pi szám](https://matekarcok.hu/cimke/a-pi-szam/)
- [Négyszínsejtés](https://matekarcok.hu/cimke/negyszinsejtes/)
- [Nagy Fermat tétel](https://matekarcok.hu/cimke/nagy-fermat-tetel/)
- [Pitagorasz tétel](https://matekarcok.hu/cimke/pitagorasz-tetel/)
- [Pitagoraszi számhármasok](https://matekarcok.hu/cimke/pitagoraszi-szamharmasok/)
- [Viéte formulák](https://matekarcok.hu/cimke/viete-formulak/)
- [Másodfokú egyenlet](https://matekarcok.hu/cimke/masodfoku-egyenlet/)
- [Pi számjegyei](https://matekarcok.hu/cimke/pi-szamjegyei/)
- [Harmadfokú egyenlet](https://matekarcok.hu/cimke/harmadfoku-egyenlet/)
- [Trigonometria](https://matekarcok.hu/cimke/trigonometria/)
- [Fibonacci sorozat](https://matekarcok.hu/cimke/fibonacci-sorozat/)
- [Indo-arab számjegyírás](https://matekarcok.hu/cimke/indo-arab-szamjegyiras/)
- [Diophantoszi egyenletek](https://matekarcok.hu/cimke/diophantoszi-egyenletek/)
- [Arányos osztás](https://matekarcok.hu/cimke/aranyos-osztas/)
- [Hippokratész holdacskái](https://matekarcok.hu/cimke/hippokratesz-holdacskai/)
- [Geometria axiomatikus felépítése](https://matekarcok.hu/cimke/geometria-axiomatikus-felepitese/)
- [Arisztotelész](https://matekarcok.hu/cimke/arisztotelesz/)
- [Euklidész](https://matekarcok.hu/cimke/euklidesz/)
- [Euklideszi szerkesztés](https://matekarcok.hu/cimke/euklideszi-szerkesztes/)
- [Prímszámok száma végtelen](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok-szama-vegtelen/)
- [A déloszi probléma](https://matekarcok.hu/cimke/a-deloszi-problema/)
- [Szögharmadolás](https://matekarcok.hu/cimke/szogharmadolas/)
- [A kör négyszögesítése](https://matekarcok.hu/cimke/a-kor-negyszogesitese/)
- [Prímszámok előállítása](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok-eloallitasa/)
- [Apollóniosz kör](https://matekarcok.hu/cimke/apolloniosz-kor/)
- [Középponti szögek](https://matekarcok.hu/cimke/kozepponti-szogek/)
- [Ptolemaiosz-tétel](https://matekarcok.hu/cimke/ptolemaiosz-tetel/)
- [Ókori maten](https://matekarcok.hu/cimke/okori-maten/)
- [Héron képlet](https://matekarcok.hu/cimke/heron-keplet/)
- [Szabályos testek](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-testek/)
- [Háromszög területe](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-terulete/)
- [Peano axiómák](https://matekarcok.hu/cimke/peano-axiomak/)
- [Bolyai-Lobacsevszkij geometria](https://matekarcok.hu/cimke/bolyai-lobacsevszkij-geometria/)
- [Matematika szakterületei](https://matekarcok.hu/cimke/matematika-szakteruletei/)
- [Matematika axióma rendszerei](https://matekarcok.hu/cimke/matematika-axioma-rendszerei/)
- [Görbevonalú síkidomok területe](https://matekarcok.hu/cimke/gorbevonalu-sikidomok-terulete/)
- [Matematikai Nobel-díj](https://matekarcok.hu/cimke/matematikai-nobel-dij/)
- [Fraktálok](https://matekarcok.hu/cimke/fraktalok/)
- [Pi versek](https://matekarcok.hu/cimke/pi-versek/)
- [normál alak](https://matekarcok.hu/cimke/normal-alak/)
- [Számóriások](https://matekarcok.hu/cimke/szamoriasok/)
- [számtörpék](https://matekarcok.hu/cimke/szamtorpek/)
- [Hatványozás](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyozas/)
- [Tíz hatványai](https://matekarcok.hu/cimke/tiz-hatvanyai/)
- [Mértani hely](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-hely/)
- [Párhuzamos szelők](https://matekarcok.hu/cimke/parhuzamos-szelok/)
- [Szögfelező tétel](https://matekarcok.hu/cimke/szogfelezo-tetel/)
- [Pentagram](https://matekarcok.hu/cimke/pentagram/)
- [Szabályos ötszög](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-otszog/)
- [Pitagorasz](https://matekarcok.hu/cimke/pitagorasz/)
- [Konvex sokszög](https://matekarcok.hu/cimke/konvex-sokszog/)
- [Belső szögek összege](https://matekarcok.hu/cimke/belso-szogek-osszege/)
- [Átlók száma](https://matekarcok.hu/cimke/atlok-szama/)
- [π közelítő szerkesztése](https://matekarcok.hu/cimke/π-kozelito-szerkesztese/)
- [Permutációk száma](https://matekarcok.hu/cimke/permutaciok-szama/)
- [Faktoriális](https://matekarcok.hu/cimke/faktorialis/)
- [Hányféleképpen](https://matekarcok.hu/cimke/hanyfelekeppen/)
- [Königsbergi gráf](https://matekarcok.hu/cimke/konigsbergi-graf/)
- [Egyszerű gráf](https://matekarcok.hu/cimke/egyszeru-graf/)
- [Teljes gráf](https://matekarcok.hu/cimke/teljes-graf/)
- [Pont fokszáma](https://matekarcok.hu/cimke/pont-fokszama/)
- [Összefüggő gráf](https://matekarcok.hu/cimke/osszefuggo-graf/)
- [Fokszám tétel](https://matekarcok.hu/cimke/fokszam-tetel/)
- [Függvény fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-fogalma/)
- [Apollóniosz](https://matekarcok.hu/cimke/apolloniosz/)
- [Ptolemaiosz](https://matekarcok.hu/cimke/ptolemaiosz/)
- [Descartes](https://matekarcok.hu/cimke/descartes/)
- [Leibniz](https://matekarcok.hu/cimke/leibniz/)
- [Cantor](https://matekarcok.hu/cimke/cantor/)
- [Venn](https://matekarcok.hu/cimke/venn/)
- [Halmazműveletek](https://matekarcok.hu/cimke/halmazmuveletek/)
- [Gráfok bejárása](https://matekarcok.hu/cimke/grafok-bejarasa/)
- [Út](https://matekarcok.hu/cimke/ut/)
- [vonal](https://matekarcok.hu/cimke/vonal/)
- [kör](https://matekarcok.hu/cimke/kor/)
- [Euler vonal](https://matekarcok.hu/cimke/euler-vonal/)
- [Halmazok megadása](https://matekarcok.hu/cimke/halmazok-megadasa/)
- [Diszjunk halamzok](https://matekarcok.hu/cimke/diszjunk-halamzok/)
- [Részhalmaz](https://matekarcok.hu/cimke/reszhalmaz/)
- [Valódi részhalmaz](https://matekarcok.hu/cimke/valodi-reszhalmaz/)
- [Véges halmaz részhalmazainak szám](https://matekarcok.hu/cimke/veges-halmaz-reszhalmazainak-szam/)
- [Binomiális tétel](https://matekarcok.hu/cimke/binomialis-tetel/)
- [Descartes-szorzat](https://matekarcok.hu/cimke/descartes-szorzat/)
- [Logikai szita](https://matekarcok.hu/cimke/logikai-szita/)
- [Megszámlálhatóan végtelen](https://matekarcok.hu/cimke/megszamlalhatoan-vegtelen/)
- [kontinuumnyi számosságú](https://matekarcok.hu/cimke/kontinuumnyi-szamossagu/)
- [Megengedő vagy](https://matekarcok.hu/cimke/megengedo-vagy/)
- [Kizáró vagy](https://matekarcok.hu/cimke/kizaro-vagy/)
- [Logikai tagadás](https://matekarcok.hu/cimke/logikai-tagadas/)
- [Negáció](https://matekarcok.hu/cimke/negacio/)
- [Direkt bizonyítás](https://matekarcok.hu/cimke/direkt-bizonyitas/)
- [Indirekt bizonyítás](https://matekarcok.hu/cimke/indirekt-bizonyitas/)
- [Teljes indukció](https://matekarcok.hu/cimke/teljes-indukcio/)
- [Skatulya-elv](https://matekarcok.hu/cimke/skatulya-elv/)
- [Variációk száma](https://matekarcok.hu/cimke/variaciok-szama/)
- [Kombinációk száma](https://matekarcok.hu/cimke/kombinaciok-szama/)
- [Alapfogalmak](https://matekarcok.hu/cimke/alapfogalmak/)
- [Axiómák](https://matekarcok.hu/cimke/axiomak/)
- [Térelemek kölcsönös helyzete](https://matekarcok.hu/cimke/terelemek-kolcsonos-helyzete/)
- [távolság fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/tavolsag-fogalma/)
- [szög fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/szog-fogalma/)
- [Geometriai szerkesztés](https://matekarcok.hu/cimke/geometriai-szerkesztes/)
- [Szög mérése](https://matekarcok.hu/cimke/szog-merese/)
- [Ívmérték](https://matekarcok.hu/cimke/ivmertek/)
- [radián](https://matekarcok.hu/cimke/radian/)
- [Binomiális együtthatók](https://matekarcok.hu/cimke/binomialis-egyutthatok/)
- [Pascal](https://matekarcok.hu/cimke/pascal/)
- [Műveleti tulajdonságok](https://matekarcok.hu/cimke/muveleti-tulajdonsagok/)
- [Kommutativitás](https://matekarcok.hu/cimke/kommutativitas/)
- [Asszociativitás](https://matekarcok.hu/cimke/asszociativitas/)
- [Disztributivitás](https://matekarcok.hu/cimke/disztributivitas/)
- [Oszthatóság fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/oszthatosag-fogalma/)
- [Oszthatóság tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/oszthatosag-tulajdonsagai/)
- [Oszthatósági szabályok](https://matekarcok.hu/cimke/oszthatosagi-szabalyok/)
- [Eukleidész](https://matekarcok.hu/cimke/eukleidesz/)
- [Számelmélet alaptétele](https://matekarcok.hu/cimke/szamelmelet-alaptetele/)
- [Püthagoreusok](https://matekarcok.hu/cimke/puthagoreusok/)
- [Prímszámok közötti hézagok](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok-kozotti-hezagok/)
- [Osztók száma](https://matekarcok.hu/cimke/osztok-szama/)
- [Kanonikus felbontás](https://matekarcok.hu/cimke/kanonikus-felbontas/)
- [Hiányos szám](https://matekarcok.hu/cimke/hianyos-szam/)
- [Bővelkedő szám](https://matekarcok.hu/cimke/bovelkedo-szam/)
- [Társas számok](https://matekarcok.hu/cimke/tarsas-szamok/)
- [Legnagyobb közös osztó](https://matekarcok.hu/cimke/legnagyobb-kozos-oszto/)
- [Relatív prímek](https://matekarcok.hu/cimke/relativ-primek/)
- [Euklideszi algoritmus](https://matekarcok.hu/cimke/euklideszi-algoritmus/)
- [Oszthatóság](https://matekarcok.hu/cimke/oszthatosag/)
- [Legkisebb közös többszörös előállítása:](https://matekarcok.hu/cimke/legkisebb-kozos-tobbszoros-eloallitasa/)
- [Közös nevező](https://matekarcok.hu/cimke/kozos-nevezo/)
- [Pitagoraszi számhármas](https://matekarcok.hu/cimke/pitagoraszi-szamharmas/)
- [Számrendszer](https://matekarcok.hu/cimke/szamrendszer/)
- [Egyenletek](https://matekarcok.hu/cimke/egyenletek/)
- [Háromszögek hasonlósága](https://matekarcok.hu/cimke/haromszogek-hasonlosaga/)
- [Százalékszámítás](https://matekarcok.hu/cimke/szazalekszamitas/)
- [Számtani és mértani sorozat](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-es-mertani-sorozat/)
- [Egyenlet](https://matekarcok.hu/cimke/egyenlet/)
- [Csonka gúla](https://matekarcok.hu/cimke/csonka-gula/)
- [Racionális számok tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/racionalis-szamok-tulajdonsagai/)
- [Racionális számok tizedestört alakja](https://matekarcok.hu/cimke/racionalis-szamok-tizedestort-alakja/)
- [Irracionális számok](https://matekarcok.hu/cimke/irracionalis-szamok/)
- [Számhalmazok számossága](https://matekarcok.hu/cimke/szamhalmazok-szamossaga/)
- [π történetéről](https://matekarcok.hu/cimke/π-torteneterol/)
- [π közelítése](https://matekarcok.hu/cimke/π-kozelitese/)
- [π első 2000 számjegye](https://matekarcok.hu/cimke/π-elso-2000-szamjegye/)
- [Hatvány fogalma pozitív egész kitevőre](https://matekarcok.hu/cimke/hatvany-fogalma-pozitiv-egesz-kitevore/)
- [Hatványozás negatív kitevővel](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyozas-negativ-kitevovel/)
- [Irracionális kitevő](https://matekarcok.hu/cimke/irracionalis-kitevo/)
- [Permanencia-elv](https://matekarcok.hu/cimke/permanencia-elv/)
- [Hatványozás azonosságai](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyozas-azonossagai/)
- [Négyzetgyök](https://matekarcok.hu/cimke/negyzetgyok/)
- [n-edik gyök fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/n-edik-gyok-fogalma/)
- [gyökvonás azonosságai](https://matekarcok.hu/cimke/gyokvonas-azonossagai/)
- [Arkhimédész](https://matekarcok.hu/cimke/arkhimedesz/)
- [Kepler](https://matekarcok.hu/cimke/kepler/)
- [J. Napier](https://matekarcok.hu/cimke/j-napier/)
- [Cavalieri](https://matekarcok.hu/cimke/cavalieri/)
- [Polinom](https://matekarcok.hu/cimke/polinom/)
- [Algebrai tört](https://matekarcok.hu/cimke/algebrai-tort/)
- [Algebrai egész](https://matekarcok.hu/cimke/algebrai-egesz/)
- [Polinom fokszáma](https://matekarcok.hu/cimke/polinom-fokszama/)
- [Polinomok osztása](https://matekarcok.hu/cimke/polinomok-osztasa/)
- [Nevezetes szorzatok](https://matekarcok.hu/cimke/nevezetes-szorzatok/)
- [Négyzetszámok összege](https://matekarcok.hu/cimke/negyzetszamok-osszege/)
- [Racionális arány](https://matekarcok.hu/cimke/racionalis-arany/)
- [Irracionális arány](https://matekarcok.hu/cimke/irracionalis-arany/)
- [Arányosságok a háromszögben](https://matekarcok.hu/cimke/aranyossagok-a-haromszogben/)
- [Szelő tétel](https://matekarcok.hu/cimke/szelo-tetel/)
- [Egyenes arány](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-arany/)
- [Fordított arány](https://matekarcok.hu/cimke/forditott-arany/)
- [Százalékérték](https://matekarcok.hu/cimke/szazalekertek/)
- [Százalékalap](https://matekarcok.hu/cimke/szazalekalap/)
- [Százalékláb](https://matekarcok.hu/cimke/szazaleklab/)
- [Párhuzamos szelők tétele](https://matekarcok.hu/cimke/parhuzamos-szelok-tetele/)
- [Algebrai egyenlet](https://matekarcok.hu/cimke/algebrai-egyenlet/)
- [Alakzat egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/alakzat-egyenlete/)
- [Diophantosz](https://matekarcok.hu/cimke/diophantosz/)
- [Viete](https://matekarcok.hu/cimke/viete/)
- [Másodfokú egyenlet megoldóképlete](https://matekarcok.hu/cimke/masodfoku-egyenlet-megoldokeplete/)
- [Diszkrimináns](https://matekarcok.hu/cimke/diszkriminans/)
- [Másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja](https://matekarcok.hu/cimke/masodfoku-egyenlet-gyoktenyezos-alakja/)
- [Cardano](https://matekarcok.hu/cimke/cardano/)
- [Másodfokú egyenlet megoldásainak a száma](https://matekarcok.hu/cimke/masodfoku-egyenlet-megoldasainak-a-szama/)
- [Gyökök és együtthatók kapcsolata](https://matekarcok.hu/cimke/gyokok-es-egyutthatok-kapcsolata/)
- [Számtani közép](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-kozep/)
- [Négyzetes közép](https://matekarcok.hu/cimke/negyzetes-kozep/)
- [Harmonikus közép](https://matekarcok.hu/cimke/harmonikus-kozep/)
- [Mértani közép](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-kozep/)
- [Magasság tétel](https://matekarcok.hu/cimke/magassag-tetel/)
- [Értelmezési tartomány](https://matekarcok.hu/cimke/ertelmezesi-tartomany/)
- [Értékkészlet.](https://matekarcok.hu/cimke/ertekkeszlet/)
- [Függvénymegadási módok](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenymegadasi-modok/)
- [Nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségek](https://matekarcok.hu/cimke/nevezetes-kozepek-kozotti-egyenlotlensegek/)
- [Pont egyenes távolsága](https://matekarcok.hu/cimke/pont-egyenes-tavolsaga/)
- [Egyenes-egyenes távolsága](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-egyenes-tavolsaga/)
- [Pont-sík távolsága](https://matekarcok.hu/cimke/pont-sik-tavolsaga/)
- [Síl-sík távolsága](https://matekarcok.hu/cimke/sil-sik-tavolsaga/)
- [Távolság tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/tavolsag-tulajdonsagai/)
- [Teljes szög](https://matekarcok.hu/cimke/teljes-szog/)
- [Egyenes szög](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-szog/)
- [Derékszög](https://matekarcok.hu/cimke/derekszog/)
- [Hegyesszög](https://matekarcok.hu/cimke/hegyesszog/)
- [Tompa szög](https://matekarcok.hu/cimke/tompa-szog/)
- [Homorú szög](https://matekarcok.hu/cimke/homoru-szog/)
- [Egyállású szögek](https://matekarcok.hu/cimke/egyallasu-szogek/)
- [Váltó szögek](https://matekarcok.hu/cimke/valto-szogek/)
- [Kiegészítő szögek](https://matekarcok.hu/cimke/kiegeszito-szogek/)
- [Mellékszögek](https://matekarcok.hu/cimke/mellekszogek/)
- [Pótszögek](https://matekarcok.hu/cimke/potszogek/)
- [Merőleges szárú szögek](https://matekarcok.hu/cimke/meroleges-szaru-szogek/)
- [Szögpárok](https://matekarcok.hu/cimke/szogparok/)
- [Csúcsszögek](https://matekarcok.hu/cimke/csucsszogek/)
- [Kitérő egyenesek](https://matekarcok.hu/cimke/kitero-egyenesek/)
- [Kitérő egyenesek távolsága](https://matekarcok.hu/cimke/kitero-egyenesek-tavolsaga/)
- [Normáltranstverzális](https://matekarcok.hu/cimke/normaltranstverzalis/)
- [Egyenes-sík hajlásszöge](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-sik-hajlasszoge/)
- [Sík-sík hajlásszöge](https://matekarcok.hu/cimke/sik-sik-hajlasszoge/)
- [Függvények ábrázolása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-abrazolasa/)
- [Függvény értelmezési tartománya](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-ertelmezesi-tartomanya/)
- [Függvény értékkészlete](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-ertekkeszlete/)
- [Függvény zérus helye](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-zerus-helye/)
- [Algebrai függvények](https://matekarcok.hu/cimke/algebrai-fuggvenyek/)
- [Függvény menete](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-menete/)
- [Függvény szélsőértéke](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-szelsoerteke/)
- [Függvény korlátossága](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-korlatossaga/)
- [Kitérő egyenesek hajlásszöge](https://matekarcok.hu/cimke/kitero-egyenesek-hajlasszoge/)
- [Középvonal](https://matekarcok.hu/cimke/kozepvonal/)
- [Paralelgramma középvonala](https://matekarcok.hu/cimke/paralelgramma-kozepvonala/)
- [Trapéz középvonala](https://matekarcok.hu/cimke/trapez-kozepvonala/)
- [Háromszög középvonala](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-kozepvonala/)
- [Négyszögek középvonalai](https://matekarcok.hu/cimke/negyszogek-kozepvonalai/)
- [Racionális tört függvény](https://matekarcok.hu/cimke/racionalis-tort-fuggveny/)
- [Gyök függvény](https://matekarcok.hu/cimke/gyok-fuggveny/)
- [Transzcendens függvények](https://matekarcok.hu/cimke/transzcendens-fuggvenyek/)
- [Függvény típusok](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-tipusok/)
- [Exponenciális függvény](https://matekarcok.hu/cimke/exponencialis-fuggveny/)
- [Szinusz függvény](https://matekarcok.hu/cimke/szinusz-fuggveny/)
- [Koszinusz függvény](https://matekarcok.hu/cimke/koszinusz-fuggveny/)
- [Tangens függvény](https://matekarcok.hu/cimke/tangens-fuggveny/)
- [Kotangens függvény](https://matekarcok.hu/cimke/kotangens-fuggveny/)
- [Középpárhuzamos](https://matekarcok.hu/cimke/kozepparhuzamos/)
- [Szögfelező](https://matekarcok.hu/cimke/szogfelezo/)
- [Körvonal](https://matekarcok.hu/cimke/korvonal/)
- [Körlemez](https://matekarcok.hu/cimke/korlemez/)
- [Gömb](https://matekarcok.hu/cimke/gomb/)
- [Ellipszis](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis/)
- [Hiperbola](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola/)
- [Parabola](https://matekarcok.hu/cimke/parabola/)
- [Szakaszfelező egyenes](https://matekarcok.hu/cimke/szakaszfelezo-egyenes/)
- [Szakaszfelező sík](https://matekarcok.hu/cimke/szakaszfelezo-sik/)
- [Parabola pontjainak szerkesztése](https://matekarcok.hu/cimke/parabola-pontjainak-szerkesztese/)
- [Másodfokú függvény](https://matekarcok.hu/cimke/masodfoku-fuggveny/)
- [Érintő](https://matekarcok.hu/cimke/erinto/)
- [Előjel függvény](https://matekarcok.hu/cimke/elojel-fuggveny/)
- [Egészrész függvény](https://matekarcok.hu/cimke/egeszresz-fuggveny/)
- [Törtrész függvény](https://matekarcok.hu/cimke/tortresz-fuggveny/)
- [Függvény paritása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-paritasa/)
- [Függvény konvexitása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-konvexitasa/)
- [Függvénytranszformációk](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenytranszformaciok/)
- [Változóra vonatkozó transzformációk](https://matekarcok.hu/cimke/valtozora-vonatkozo-transzformaciok/)
- [Függvényértékre vonatkozó transzformációk](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyertekre-vonatkozo-transzformaciok/)
- [Műveletek függvényekkel](https://matekarcok.hu/cimke/muveletek-fuggvenyekkel/)
- [Függvények összeadása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-osszeadasa/)
- [Függvények kivonása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-kivonasa/)
- [Függvények szorzása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-szorzasa/)
- [Függvények hányadosa](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-hanyadosa/)
- [Összetett függvények](https://matekarcok.hu/cimke/osszetett-fuggvenyek/)
- [Inverz függvény](https://matekarcok.hu/cimke/inverz-fuggveny/)
- [Függvények invertálása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-invertalasa/)
- [Ellipszis fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-fogalma/)
- [Ellipszis jellemzői](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-jellemzoi/)
- [Hiperbola fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola-fogalma/)
- [Hiperbola adatai](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola-adatai/)
- [Kúszeletek](https://matekarcok.hu/cimke/kuszeletek/)
- [Elsőfokú függvény](https://matekarcok.hu/cimke/elsofoku-fuggveny/)
- [Lineáris függvény](https://matekarcok.hu/cimke/linearis-fuggveny/)
- [Egyenes arányosság függvénye](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-aranyossag-fuggvenye/)
- [Függvény zérushelye](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-zerushelye/)
- [Függvény maximuma](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-maximuma/)
- [Függvény minimuma](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-minimuma/)
- [Függvény monotonitása](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-monotonitasa/)
- [Periodikusság](https://matekarcok.hu/cimke/periodikussag/)
- [Korlátosság](https://matekarcok.hu/cimke/korlatossag/)
- [Páros függvény](https://matekarcok.hu/cimke/paros-fuggveny/)
- [Páratlan függvény](https://matekarcok.hu/cimke/paratlan-fuggveny/)
- [Tetraéder](https://matekarcok.hu/cimke/tetraeder/)
- [Hexaéder](https://matekarcok.hu/cimke/hexaeder/)
- [Oktaéder](https://matekarcok.hu/cimke/oktaeder/)
- [Dodekaéder](https://matekarcok.hu/cimke/dodekaeder/)
- [Ikozaéder](https://matekarcok.hu/cimke/ikozaeder/)
- [Szabályos testek ideái](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-testek-ideai/)
- [Szabályos testek hálója](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-testek-haloja/)
- [Abszolútérték függvény](https://matekarcok.hu/cimke/abszolutertek-fuggveny/)
- [Másodfokú függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/masodfoku-fuggveny-jellemzese/)
- [Linearis törtfüggvény](https://matekarcok.hu/cimke/linearis-tortfuggveny/)
- [Függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-jellemzese/)
- [Függvény inverze](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-inverze/)
- [Befogó tétel](https://matekarcok.hu/cimke/befogo-tetel/)
- [Hatványfüggvények](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyfuggvenyek/)
- [Hatványfüggvények jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyfuggvenyek-jellemzese/)
- [Négyzetgyökfüggvény](https://matekarcok.hu/cimke/negyzetgyokfuggveny/)
- [Négyzetgyökfüggvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/negyzetgyokfuggveny-jellemzese/)
- [n-edik gyök függvény](https://matekarcok.hu/cimke/n-edik-gyok-fuggveny/)
- [N-edik gyök függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/n-edik-gyok-fuggveny-jellemzese/)
- [Exponenciális függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/exponencialis-fuggveny-jellemzese/)
- [Logaritmus függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/logaritmus-fuggveny-jellemzese/)
- [Szinusz függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/szinusz-fuggveny-jellemzese/)
- [Koszinusz függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/koszinusz-fuggveny-jellemzese/)
- [Tangens függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/tangens-fuggveny-jellemzese/)
- [Kotangens függvény jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/kotangens-fuggveny-jellemzese/)
- [Geometriai transtformáció fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/geometriai-transtformacio-fogalma/)
- [Egybevágósági transzformáció fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/egybevagosagi-transzformacio-fogalma/)
- [Egybevágósági traszformációk](https://matekarcok.hu/cimke/egybevagosagi-traszformaciok/)
- [Tengelyes tükrözés](https://matekarcok.hu/cimke/tengelyes-tukrozes/)
- [Tengelyes tükrözés tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/tengelyes-tukrozes-tulajdonsagai/)
- [Középpontos tükrözés fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/kozeppontos-tukrozes-fogalma/)
- [Középpontos tükrözés tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/kozeppontos-tukrozes-tulajdonsagai/)
- [Arkhimédeszi spirál](https://matekarcok.hu/cimke/arkhimedeszi-spiral/)
- [Pont körüli forgatás](https://matekarcok.hu/cimke/pont-koruli-forgatas/)
- [Pont körüli forgatás tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/pont-koruli-forgatas-tulajdonsagai/)
- [Eltolás fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/eltolas-fogalma/)
- [Vektor fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/vektor-fogalma/)
- [Eltolás tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/eltolas-tulajdonsagai/)
- [Síkidomok egybevágósága](https://matekarcok.hu/cimke/sikidomok-egybevagosaga/)
- [Háromszögek egybevágósága](https://matekarcok.hu/cimke/haromszogek-egybevagosaga/)
- [Szimmetrikus alakzatok](https://matekarcok.hu/cimke/szimmetrikus-alakzatok/)
- [Tengelyesen szimmetrikus alakzatok](https://matekarcok.hu/cimke/tengelyesen-szimmetrikus-alakzatok/)
- [Középpontosan szimmetrikus alakzatok](https://matekarcok.hu/cimke/kozeppontosan-szimmetrikus-alakzatok/)
- [Középontos hasonlóság](https://matekarcok.hu/cimke/kozepontos-hasonlosag/)
- [Középpontos hasonlóság tulajdonsáágai](https://matekarcok.hu/cimke/kozeppontos-hasonlosag-tulajdonsaagai/)
- [Hasonlóság fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlosag-fogalma/)
- [Hasonlósági transzformáció fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlosagi-transzformacio-fogalma/)
- [Thalész](https://matekarcok.hu/cimke/thalesz/)
- [Hasonló síkidomok területe](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlo-sikidomok-terulete/)
- [Hasonló testek térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlo-testek-terfogata/)
- [Párhuzamos síkmetszetek területe](https://matekarcok.hu/cimke/parhuzamos-sikmetszetek-terulete/)
- [Egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek](https://matekarcok.hu/cimke/egyenlo-oldalakkal-szemben-egyenlo-szogek/)
- [Kisebb oldallal szemben kisebb szög](https://matekarcok.hu/cimke/kisebb-oldallal-szemben-kisebb-szog/)
- [Háromszögek oldalfelező merőlegesei](https://matekarcok.hu/cimke/haromszogek-oldalfelezo-merolegesei/)
- [Háromszög köré írt köre](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-kore-irt-kore/)
- [Háromszögek belső szögfelezői](https://matekarcok.hu/cimke/haromszogek-belso-szogfelezoi/)
- [Háromszög beírt köre](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-beirt-kore/)
- [Háromszög területe és a beírt kör középpontja](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-terulete-es-a-beirt-kor-kozeppontja/)
- [Háromszögek hozzáírt köre](https://matekarcok.hu/cimke/haromszogek-hozzairt-kore/)
- [Háromszög magasságvonalai](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-magassagvonalai/)
- [Hráromszög magasságpontja](https://matekarcok.hu/cimke/hraromszog-magassagpontja/)
- [Háromszög súlyvonalai](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-sulyvonalai/)
- [Háromszög súlypontja](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-sulypontja/)
- [Háromszög belső szögfelezői](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-belso-szogfelezoi/)
- [Háromszög belső szögfelezői és a háromszög oldalai](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-belso-szogfelezoi-es-a-haromszog-oldalai/)
- [Fermat](https://matekarcok.hu/cimke/fermat/)
- [Wiles](https://matekarcok.hu/cimke/wiles/)
- [Pitagorasz tétele](https://matekarcok.hu/cimke/pitagorasz-tetele/)
- [Nevezetes négyszögek](https://matekarcok.hu/cimke/nevezetes-negyszogek/)
- [Nevezetes négyszögek csoportosítása](https://matekarcok.hu/cimke/nevezetes-negyszogek-csoportositasa/)
- [Húrnégyszög fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/hurnegyszog-fogalma/)
- [Érintőnégyszög fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/erintonegyszog-fogalma/)
- [Érintő négyszögek tétele](https://matekarcok.hu/cimke/erinto-negyszogek-tetele/)
- [Látókör](https://matekarcok.hu/cimke/latokor/)
- [Látókör szerkesztése](https://matekarcok.hu/cimke/latokor-szerkesztese/)
- [Körcikk területe](https://matekarcok.hu/cimke/korcikk-terulete/)
- [Körszelet területe](https://matekarcok.hu/cimke/korszelet-terulete/)
- [Szabályos tízszög](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-tizszog/)
- [Pitagorasz csillag](https://matekarcok.hu/cimke/pitagorasz-csillag/)
- [Vektor hossza](https://matekarcok.hu/cimke/vektor-hossza/)
- [Vektorok egyenlősége](https://matekarcok.hu/cimke/vektorok-egyenlosege/)
- [Ellentett vektor](https://matekarcok.hu/cimke/ellentett-vektor/)
- [Vektorok összeadás](https://matekarcok.hu/cimke/vektorok-osszeadas/)
- [Vektorösszeadás tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/vektorosszeadas-tulajdonsagai/)
- [Vektorok kivonása](https://matekarcok.hu/cimke/vektorok-kivonasa/)
- [Bázisvektor fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/bazisvektor-fogalma/)
- [Helyvektor](https://matekarcok.hu/cimke/helyvektor/)
- [Szabad vektor](https://matekarcok.hu/cimke/szabad-vektor/)
- [Vektor abszolút értéke](https://matekarcok.hu/cimke/vektor-abszolut-erteke/)
- [Skaláris szorzat fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/skalaris-szorzat-fogalma/)
- [Merőleges vektorok](https://matekarcok.hu/cimke/meroleges-vektorok/)
- [Skaláris szorzat tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/skalaris-szorzat-tulajdonsagai/)
- [Skaláris szorzás tagolható](https://matekarcok.hu/cimke/skalaris-szorzas-tagolhato/)
- [Skalárvetület](https://matekarcok.hu/cimke/skalarvetulet/)
- [Skaláris szorzat koordinátákból](https://matekarcok.hu/cimke/skalaris-szorzat-koordinatakbol/)
- [Vektoriális szorzat fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/vektorialis-szorzat-fogalma/)
- [Vektoriális szorzás tulajdonságai](https://matekarcok.hu/cimke/vektorialis-szorzas-tulajdonsagai/)
- [Hegyesszögek szögfüggvényei](https://matekarcok.hu/cimke/hegyesszogek-szogfuggvenyei/)
- [Hegyes szög szinusza](https://matekarcok.hu/cimke/hegyes-szog-szinusza/)
- [Hegyes szög koszinusza](https://matekarcok.hu/cimke/hegyes-szog-koszinusza/)
- [Hegyesszög tangense](https://matekarcok.hu/cimke/hegyesszog-tangense/)
- [Hegyesszög kotangense](https://matekarcok.hu/cimke/hegyesszog-kotangense/)
- [Tetszőleges szög szinusza](https://matekarcok.hu/cimke/tetszoleges-szog-szinusza/)
- [Tetszőleges szög koszinusza](https://matekarcok.hu/cimke/tetszoleges-szog-koszinusza/)
- [Tetzsőleges szög tangense](https://matekarcok.hu/cimke/tetzsoleges-szog-tangense/)
- [Tetszőleges szög kotangense](https://matekarcok.hu/cimke/tetszoleges-szog-kotangense/)
- [Nevezetes szögek szögfüggvényeinek pontos értéke](https://matekarcok.hu/cimke/nevezetes-szogek-szogfuggvenyeinek-pontos-erteke/)
- [Trigonometrikus Pitagorasz tétel](https://matekarcok.hu/cimke/trigonometrikus-pitagorasz-tetel/)
- [Vetület területe](https://matekarcok.hu/cimke/vetulet-terulete/)
- [Kör sugara](https://matekarcok.hu/cimke/kor-sugara/)
- [húrja és a kerületi szög](https://matekarcok.hu/cimke/hurja-es-a-keruleti-szog/)
- [Szinusz tétel](https://matekarcok.hu/cimke/szinusz-tetel/)
- [Szinusz tétel alkalmazhatósága](https://matekarcok.hu/cimke/szinusz-tetel-alkalmazhatosaga/)
- [Koszinusz tétel](https://matekarcok.hu/cimke/koszinusz-tetel/)
- [Két pont távolsága](https://matekarcok.hu/cimke/ket-pont-tavolsaga/)
- [Felezési pont koordinátái](https://matekarcok.hu/cimke/felezesi-pont-koordinatai/)
- [Harmadoló pont koordinátái](https://matekarcok.hu/cimke/harmadolo-pont-koordinatai/)
- [Szakasz adott arányú osztása](https://matekarcok.hu/cimke/szakasz-adott-aranyu-osztasa/)
- [Háromszög súlypontjának koordinátái](https://matekarcok.hu/cimke/haromszog-sulypontjanak-koordinatai/)
- [Felező pont koordinátái](https://matekarcok.hu/cimke/felezo-pont-koordinatai/)
- [Egyenes irányszöge](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-iranyszoge/)
- [Egyenes iránytangense](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-iranytangense/)
- [Egyenes irányvektora](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-iranyvektora/)
- [Egyenes normálvektora](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-normalvektora/)
- [Egyenes normálvektorú egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-normalvektoru-egyenlete/)
- [Egyenes irányvektorú egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-iranyvektoru-egyenlete/)
- [Egyenes meredeksége](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-meredeksege/)
- [Párhuzamos egyenesek](https://matekarcok.hu/cimke/parhuzamos-egyenesek/)
- [Merőleges egyenesek](https://matekarcok.hu/cimke/meroleges-egyenesek/)
- [Parabola egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/parabola-egyenlete/)
- [Parabola paramétere](https://matekarcok.hu/cimke/parabola-parametere/)
- [Parabola fókusza](https://matekarcok.hu/cimke/parabola-fokusza/)
- [Parabola vezéregyenese](https://matekarcok.hu/cimke/parabola-vezeregyenese/)
- [Ellipszis középponti egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-kozepponti-egyenlete/)
- [Hiperbola egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola-egyenlete/)
- [Hengerszerű testek](https://matekarcok.hu/cimke/hengerszeru-testek/)
- [Kúpszerű testek](https://matekarcok.hu/cimke/kupszeru-testek/)
- [Egyenes körhenger](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-korhenger/)
- [Egyenes körkúp](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-korkup/)
- [Szabályos gúla](https://matekarcok.hu/cimke/szabalyos-gula/)
- [Gúla térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/gula-terfogata/)
- [Hasáb térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/hasab-terfogata/)
- [Henger térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/henger-terfogata/)
- [Kúp térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/kup-terfogata/)
- [Csonka kúp térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/csonka-kup-terfogata/)
- [Középpontos hasonlóság](https://matekarcok.hu/cimke/kozeppontos-hasonlosag/)
- [Hasonlók területe](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlok-terulete/)
- [Hasonlók térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlok-terfogata/)
- [Gömb térfogata. Cavalieri-elv](https://matekarcok.hu/cimke/gomb-terfogata-cavalieri-elv/)
- [Gömb felszíne](https://matekarcok.hu/cimke/gomb-felszine/)
- [Csonka kúp palástja](https://matekarcok.hu/cimke/csonka-kup-palastja/)
- [Csonkakúp felszíne](https://matekarcok.hu/cimke/csonkakup-felszine/)
- [Téglatestek térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/teglatestek-terfogata/)
- [Háromoldalú hasáb térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/haromoldalu-hasab-terfogata/)
- [Hasábok térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/hasabok-terfogata/)
- [Paralelepipedon térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/paralelepipedon-terfogata/)
- [Számsorozat fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/szamsorozat-fogalma/)
- [Számsorozatok megadási módjai](https://matekarcok.hu/cimke/szamsorozatok-megadasi-modjai/)
- [Számsorozatok ábrázolása](https://matekarcok.hu/cimke/szamsorozatok-abrazolasa/)
- [Rekurzív sorozatok](https://matekarcok.hu/cimke/rekurziv-sorozatok/)
- [Számsorozatok korlátossága](https://matekarcok.hu/cimke/szamsorozatok-korlatossaga/)
- [Számsorozatok monotonitása](https://matekarcok.hu/cimke/szamsorozatok-monotonitasa/)
- [Számtani sorozat fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-sorozat-fogalma/)
- [Számtani sorozat jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-sorozat-jellemzese/)
- [Számtani sorozat n-edik tagja](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-sorozat-n-edik-tagja/)
- [Számtani sorozat elnevezése](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-sorozat-elnevezese/)
- [Számtani sorozat tagjainak összege](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-sorozat-tagjainak-osszege/)
- [Mértani sorozat fogalma](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-sorozat-fogalma/)
- [Mértani sorozat jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-sorozat-jellemzese/)
- [Mértani sorozat elnevezése](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-sorozat-elnevezese/)
- [Mértani sorozaz n-edik tagja](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-sorozaz-n-edik-tagja/)
- [Mértani sorozat összegképlete](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-sorozat-osszegkeplete/)
- [Hipparkhosz](https://matekarcok.hu/cimke/hipparkhosz/)
- [Regiomontanus](https://matekarcok.hu/cimke/regiomontanus/)
- [π szerkesztése](https://matekarcok.hu/cimke/π-szerkesztese/)
- [Csonka kúp](https://matekarcok.hu/cimke/csonka-kup/)
- [Hasonló sokszögek területe](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlo-sokszogek-terulete/)
- [Hasonló gúlák térfogata](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlo-gulak-terfogata/)
- [Euler tétele](https://matekarcok.hu/cimke/euler-tetele/)
- [oszlopdiagram](https://matekarcok.hu/cimke/oszlopdiagram/)
- [kördiagram](https://matekarcok.hu/cimke/kordiagram/)
- [Átlag](https://matekarcok.hu/cimke/atlag/)
- [Módusz](https://matekarcok.hu/cimke/modusz/)
- [Medián](https://matekarcok.hu/cimke/median/)
- [Variancia](https://matekarcok.hu/cimke/variancia/)
- [Szórás](https://matekarcok.hu/cimke/szoras/)
- [vonaldiagram](https://matekarcok.hu/cimke/vonaldiagram/)
- [Kisérlet](https://matekarcok.hu/cimke/kiserlet/)
- [Elemi esemény](https://matekarcok.hu/cimke/elemi-esemeny/)
- [eseménytér](https://matekarcok.hu/cimke/esemenyter/)
- [Kolmogorov axiómák](https://matekarcok.hu/cimke/kolmogorov-axiomak/)
- [Nemteljességi tétel](https://matekarcok.hu/cimke/nemteljessegi-tetel/)
- [Összetett esemény](https://matekarcok.hu/cimke/osszetett-esemeny/)
- [Biztos esemény](https://matekarcok.hu/cimke/biztos-esemeny/)
- [Lehetetlen esemény](https://matekarcok.hu/cimke/lehetetlen-esemeny/)
- [Komplementer esemény](https://matekarcok.hu/cimke/komplementer-esemeny/)
- [Egymást kizáró események](https://matekarcok.hu/cimke/egymast-kizaro-esemenyek/)
- [Események szorzata](https://matekarcok.hu/cimke/esemenyek-szorzata/)
- [Események összege](https://matekarcok.hu/cimke/esemenyek-osszege/)
- [Bolyai János](https://matekarcok.hu/cimke/bolyai-janos/)
- [Közepek](https://matekarcok.hu/cimke/kozepek/)
- [Bernoulli-egyenlőtlenség](https://matekarcok.hu/cimke/bernoulli-egyenlotlenseg/)
- [Eseményalgebra](https://matekarcok.hu/cimke/esemenyalgebra/)
- [Esemény gyakorisága](https://matekarcok.hu/cimke/esemeny-gyakorisaga/)
- [Esemény relatív gyakorisága](https://matekarcok.hu/cimke/esemeny-relativ-gyakorisaga/)
- [Esemény valószínűsége](https://matekarcok.hu/cimke/esemeny-valoszinusege/)
- [Valószínűség klasszikus modellje.](https://matekarcok.hu/cimke/valoszinuseg-klasszikus-modellje/)
- [Valószínűség kombinatórikus modellje](https://matekarcok.hu/cimke/valoszinuseg-kombinatorikus-modellje/)
- [Kedvező események száma](https://matekarcok.hu/cimke/kedvezo-esemenyek-szama/)
- [Összes események száma](https://matekarcok.hu/cimke/osszes-esemenyek-szama/)
- [Elemi események](https://matekarcok.hu/cimke/elemi-esemenyek/)
- [Geometriai valószínűség](https://matekarcok.hu/cimke/geometriai-valoszinuseg/)
- [Binomiális eloszlás](https://matekarcok.hu/cimke/binomialis-eloszlas/)
- [Visszatevéses mintavétel](https://matekarcok.hu/cimke/visszateveses-mintavetel/)
- [Valószínűségek szorzási szabálya](https://matekarcok.hu/cimke/valoszinusegek-szorzasi-szabalya/)
- [Feltételes valószínűség](https://matekarcok.hu/cimke/felteteles-valoszinuseg/)
- [Valószínűségszámítás axiómái](https://matekarcok.hu/cimke/valoszinusegszamitas-axiomai/)
- [Teljes eseményrendszer](https://matekarcok.hu/cimke/teljes-esemenyrendszer/)
- [Teljes valószínűség](https://matekarcok.hu/cimke/teljes-valoszinuseg/)
- [Független események](https://matekarcok.hu/cimke/fuggetlen-esemenyek/)
- [Valószínűségi változó](https://matekarcok.hu/cimke/valoszinusegi-valtozo/)
- [Várható érték](https://matekarcok.hu/cimke/varhato-ertek/)
- [Visszatevés nélküli mintavétel](https://matekarcok.hu/cimke/visszateves-nelkuli-mintavetel/)
- [Cauchy](https://matekarcok.hu/cimke/cauchy/)
- [Küszöbindex](https://matekarcok.hu/cimke/kuszobindex/)
- [Torlódási pont](https://matekarcok.hu/cimke/torlodasi-pont/)
- [Rendőr-elv](https://matekarcok.hu/cimke/rendor-elv/)
- [Szükséges feltétel](https://matekarcok.hu/cimke/szukseges-feltetel/)
- [Elégséges feltétel](https://matekarcok.hu/cimke/elegseges-feltetel/)
- [Számtani sorozat](https://matekarcok.hu/cimke/szamtani-sorozat/)
- [Mértani sorozat](https://matekarcok.hu/cimke/mertani-sorozat/)
- [Euler-féle szám](https://matekarcok.hu/cimke/euler-fele-szam/)
- [Sorozatok határértéke](https://matekarcok.hu/cimke/sorozatok-hatarerteke/)
- [Sorozatok jellemzése](https://matekarcok.hu/cimke/sorozatok-jellemzese/)
- [Sorozatok összege](https://matekarcok.hu/cimke/sorozatok-osszege/)
- [Sorozatok különbsége](https://matekarcok.hu/cimke/sorozatok-kulonbsege/)
- [Sorozatok szorzata](https://matekarcok.hu/cimke/sorozatok-szorzata/)
- [Sorozatok hányadosa](https://matekarcok.hu/cimke/sorozatok-hanyadosa/)
- [Függvény határértéke](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-hatarerteke/)
- [Rendőr szabály](https://matekarcok.hu/cimke/rendor-szabaly/)
- [Differenciahányados](https://matekarcok.hu/cimke/differenciahanyados/)
- [Differenciálhányados](https://matekarcok.hu/cimke/differencialhanyados/)
- [Jobboldali határérték](https://matekarcok.hu/cimke/jobboldali-hatarertek/)
- [Baloldali határérték](https://matekarcok.hu/cimke/baloldali-hatarertek/)
- [Folytonosság](https://matekarcok.hu/cimke/folytonossag/)
- [Differenciálhatóság](https://matekarcok.hu/cimke/differencialhatosag/)
- [Derivált függvény](https://matekarcok.hu/cimke/derivalt-fuggveny/)
- [Hatvány fogalma racionális kitevőre](https://matekarcok.hu/cimke/hatvany-fogalma-racionalis-kitevore/)
- [Egyenes egyenlete](https://matekarcok.hu/cimke/egyenes-egyenlete/)
- [Hatványfüggvények deriváltjai](https://matekarcok.hu/cimke/hatvanyfuggvenyek-derivaltjai/)
- [Függvények határértéke](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-hatarerteke/)
- [Gyöktényezős alak](https://matekarcok.hu/cimke/gyoktenyezos-alak/)
- [Első derivált](https://matekarcok.hu/cimke/elso-derivalt/)
- [Második derivált](https://matekarcok.hu/cimke/masodik-derivalt/)
- [Inflexiós pont](https://matekarcok.hu/cimke/inflexios-pont/)
- [Lokális szélsőérték](https://matekarcok.hu/cimke/lokalis-szelsoertek/)
- [Függvény görbülete](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-gorbulete/)
- [Konvexitás](https://matekarcok.hu/cimke/konvexitas/)
- [Konkávitás](https://matekarcok.hu/cimke/konkavitas/)
- [Hajlásszög](https://matekarcok.hu/cimke/hajlasszog/)
- [Egyenesek meredeksége](https://matekarcok.hu/cimke/egyenesek-meredeksege/)
- [A rendőr-elv](https://matekarcok.hu/cimke/a-rendor-elv/)
- [Alsó korlát](https://matekarcok.hu/cimke/also-korlat/)
- [Felső korlát](https://matekarcok.hu/cimke/felso-korlat/)
- [Határozott integrál](https://matekarcok.hu/cimke/hatarozott-integral/)
- [Riemann integrál](https://matekarcok.hu/cimke/riemann-integral/)
- [Primitív függvény](https://matekarcok.hu/cimke/primitiv-fuggveny/)
- [Integrálfüggvény](https://matekarcok.hu/cimke/integralfuggveny/)
- [Newton-Leibniz formula](https://matekarcok.hu/cimke/newton-leibniz-formula/)
- [Függvények folytonossága](https://matekarcok.hu/cimke/fuggvenyek-folytonossaga/)
- [Prímszámok fajtái](https://matekarcok.hu/cimke/primszamok-fajtai/)
- [Mersenne prímek](https://matekarcok.hu/cimke/mersenne-primek/)
- [Függvény alatti terület](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-alatti-terulet/)
- [Deriválási szabályok](https://matekarcok.hu/cimke/derivalasi-szabalyok/)
- [Integrálási szabályok](https://matekarcok.hu/cimke/integralasi-szabalyok/)
- [Irracionális szám](https://matekarcok.hu/cimke/irracionalis-szam/)
- [Logaritmus](https://matekarcok.hu/cimke/logaritmus/)
- [Gráf bejárása](https://matekarcok.hu/cimke/graf-bejarasa/)
- [gyök2](https://matekarcok.hu/cimke/gyok2/)
- [négyzetegyök kettő](https://matekarcok.hu/cimke/negyzetegyok-ketto/)
- [pi szerkesztése](https://matekarcok.hu/cimke/pi-szerkesztese/)
- [Logaritmikus spirál](https://matekarcok.hu/cimke/logaritmikus-spiral/)
- [Következtetés](https://matekarcok.hu/cimke/kovetkeztetes/)
- [Akkor és csak akkor](https://matekarcok.hu/cimke/akkor-es-csak-akkor/)
- [Logikai és](https://matekarcok.hu/cimke/logikai-es/)
- [Halmazelmélet axiómarendszere](https://matekarcok.hu/cimke/halmazelmelet-axiomarendszere/)
- [Halmazelméleti alapfogalmak](https://matekarcok.hu/cimke/halmazelmeleti-alapfogalmak/)
- [Gauss](https://matekarcok.hu/cimke/gauss/)
- [Lobacsevszkij](https://matekarcok.hu/cimke/lobacsevszkij/)
- [Johann Bernoulli](https://matekarcok.hu/cimke/johann-bernoulli/)
- [Theodorus spirál](https://matekarcok.hu/cimke/theodorus-spiral/)
- [Gizai nagy piramis](https://matekarcok.hu/cimke/gizai-nagy-piramis/)
- [Kheopsz piramis](https://matekarcok.hu/cimke/kheopsz-piramis/)
- [Szögfüggvények](https://matekarcok.hu/cimke/szogfuggvenyek/)
- [ókori világ hét csodája](https://matekarcok.hu/cimke/okori-vilag-het-csodaja/)
- [Poliéder](https://matekarcok.hu/cimke/polieder/)
- [Beírt gömb](https://matekarcok.hu/cimke/beirt-gomb/)
- [Köré írt gömb](https://matekarcok.hu/cimke/kore-irt-gomb/)
- [Függvény folytonossága](https://matekarcok.hu/cimke/fuggveny-folytonossaga/)
- [Pi nap](https://matekarcok.hu/cimke/pi-nap/)
- [Pi dallama](https://matekarcok.hu/cimke/pi-dallama/)
- [Kör érintője](https://matekarcok.hu/cimke/kor-erintoje/)
- [Körök közös érintői](https://matekarcok.hu/cimke/korok-kozos-erintoi/)
- [Két kör kölcsönös helyzete](https://matekarcok.hu/cimke/ket-kor-kolcsonos-helyzete/)
- [Kerületi szögek tétele](https://matekarcok.hu/cimke/keruleti-szogek-tetele/)
- [Hasonló háromszögek](https://matekarcok.hu/cimke/hasonlo-haromszogek/)
- [Ellipszis szerkeszthetősége](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-szerkeszthetosege/)
- [Ellipszis területe](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-terulete/)
- [Ellipszis megrajzolása](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-megrajzolasa/)
- [Ellipszis érintői](https://matekarcok.hu/cimke/ellipszis-erintoi/)
- [Hiperbola érintői](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola-erintoi/)
- [Hiperbola szerkeszthetősége](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola-szerkeszthetosege/)
- [Hiperbola megrajzolása](https://matekarcok.hu/cimke/hiperbola-megrajzolasa/)
- [Archimédesz](https://matekarcok.hu/cimke/archimedesz/)
- [Külső szögek összege](https://matekarcok.hu/cimke/kulso-szogek-osszege/)
- [Három falu temploma](https://matekarcok.hu/cimke/harom-falu-temploma/)
- [Hippokratész](https://matekarcok.hu/cimke/hippokratesz/)
- [negyedik arányos](https://matekarcok.hu/cimke/negyedik-aranyos/)
- [négyzet alapú egyenes gúla](https://matekarcok.hu/cimke/negyzet-alapu-egyenes-gula/)
- [Möbius](https://matekarcok.hu/cimke/mobius/)
- [Számrendszerek közötti átváltás](https://matekarcok.hu/cimke/szamrendszerek-kozotti-atvaltas/)
- [Hexadecimális számrendszer](https://matekarcok.hu/cimke/hexadecimalis-szamrendszer/)
- [Bináris számrendszer](https://matekarcok.hu/cimke/binaris-szamrendszer/)
- [16-os számrendszer](https://matekarcok.hu/cimke/16-os-szamrendszer/)
- [Szakasz felezőpontja](https://matekarcok.hu/cimke/szakasz-felezopontja/)
- [Nagy számok](https://matekarcok.hu/cimke/nagy-szamok/)
- [Cauchy-sorozat; Cauchy](https://matekarcok.hu/cimke/cauchy-sorozat-cauchy/)
- [Kamatos kamat](https://matekarcok.hu/cimke/kamatos-kamat/)
- [Járadék számítás](https://matekarcok.hu/cimke/jaradek-szamitas/)