Középpontos hasonlóság

A középpontos hasonlóságnál adott a síkban egy pont, a hasonlóság középpontja (O), és adott egy nullától különböző valós szám, a hasonlóság arányszáma. (λ∈ℝ|λ≠0)

A középpontos hasonlóság kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.

Definíció:

 Az adott (O) pontra vonatkozó középpontos hasonlóság az O ponthoz önmagát, minden más (P) ponthoz az OP egyenesen azt a képpontot (P’) rendeli, amely az O ponttól |λ|-szor akkora távolságra van, mint a P. Azaz  ​\( \left| λ \right|=\frac{OP’}{OP} \)​

Ha |λ|>1, akkor nagyítás, ha |λ|<1, akkor kicsinyítésről beszélünk.
Ha λ=1, akkor identitásról, helybenhagyásról van szó.

Ha |λ|>1, akkor a P pont a P’ és az O pont között helyezkedik el.
Ha |λ|<1, akkor a P’ pont a P és az O pont között helyezkedik el.
Ha λ<0, akkor az O pont a P és P’ pont között helyezkedik el. Ha -1<λ <0, akkor a P’ pont a P és az O pont között helyezkedik el, úgy hogy P’ közelebb van az O ponthoz, mint a P.
Ha λ<-1, akkor a P’ pont a P és az O pont között helyezkedik el, úgy hogy P’ távolabb van az O ponttól, mint a P.
Ha λ=-1, akkor a középpontos hasonlóság a középpontos tükrözéssel egyezik meg.

A középpontos hasonlóság tulajdonságai:

1.  Egyetlen fix pont van, a hasonlóság (O) középpontja.

2. Szögtartó, azaz szög képe vele azonos nagyságú szög.

3. A középpontos hasonlóság aránytartó, azaz bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya egyenlő, megegyezik a hasonlóság arányával.

4. Körüljárástartó.

5. Egyenes képe egyenes.

6. Ha az egyenes illeszkedik a hasonlóság középpontjára, akkor a képe önmaga. (Invariáns egyenes)

7. Ha az egyenes nem illeszkedik a hasonlóság középpontjára, akkor a képe vele párhuzamos egyenes.