Koordinátáival adott vektorok skaláris szorzatának kiszámítása

Legyen adott az (x;y) koordináta síkon két vektor.
Az A pontba mutasson az ​\( \vec{a} \)​(x1;y1), B pontba pedig a \( \vec{b} \)​(x2;y2) vektorok.

A megadott vektorokat az \( \vec{i} \)​;\( \vec{j} \)bázisvektorokkal felírva: \( \vec{a} \)​=x1\( \vec{i} \)​+y1\( \vec{j} \)​ és \( \vec{b} \)=x2\( \vec{i} \)​+y2\( \vec{j} \).

Így tehát az ​\( \vec{a} \)​ és ​\( \vec{a} \)​ vektorok skaláris szorzata: ​\( \vec{a} \)​⋅​\( \vec{b} \)=(x1\( \vec{i} \)​+y1\( \vec{j} \)​)⋅( x2\( \vec{i} \)+y2\( \vec{j} \)).

A skaláris szorzás disztributív tulajdonsága alapján a szorzást tagonként végezhetjük: ​\( \vec{a} \)​⋅​\( \vec{b} \)​=x1⋅x2⋅​\( \vec{i} \)2+ x1⋅y2⋅​\( \vec{i} \)⋅​\( \vec{j} \)​+ y1⋅x2⋅​\( \vec{i} \)​⋅​\( \vec{j} \)​+y1⋅y2⋅​\( \vec{j} \)2.

Ugyancsak a skaláris szorzás definíciójából következik, hogy ​\( \vec{i} \)​⋅​\( \vec{j} \)=0, hiszen \( \vec{i} \) és \( \vec{j} \) egymásra merőlegesek  valamint ​\( \vec{i} \)2=​\( \vec{j} \)2=1, mivel \( \vec{i} \) és \( \vec{j} \) egységvektorok.
Ezért:

\( \vec{a} \)​⋅​\( \vec{b} \)=x1⋅x2+y1⋅y2.

Tétel: Két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.