Kizáró diszjunkció, kizáró vagy logikai művelete

Nézzük a következő összetett logikai állítást:

„A labdarúgó világbajnokságot vagy Németország vagy Brazília nyeri.”

A két lehetőség kizárja egymást. Az ilyen típusú logikai művelet a kizáró vagy, szemben a megengedő vagy műveletével.

Definíció:

A kizáró vagy az a logikai művelet, amely két kijelentést (állítást) a „vagy” kötőszóval úgy kapcsol össze egy összetett kijelentéssé (állítássá), hogy a kapott összetett állítás csak akkor igaz, ha a két összekapcsolt állítás közül az egyik, és csak az egyik igaz.
Jele: ∇ .

Jelöljön P és Q két logikai állítást. A P∇Q összetett állítás logikai értéke akkor igaz, ha P és Q állítások közül csak az egyik igaz.

A diszjunkció művelet igazságtáblázata:

Megjegyzés:

1. A fenti táblázatban az „i” betű az igaz, az „h” betű a hamis logikai értéket jelenti. Szokás még ezt az igen/nem-mel (i/h) vagy az 1/0-val jelölni.

2. Ez a logikai művelet nem engedi meg, hogy mindkét állítás igaz legyen. Az összetett állítás ekkor hamis lenne. Ezért szokták ezt a logikai vagy műveletet kizáró vagy műveletnek nevezni, szemben a megengedő vagy műveletével, amikor az összetett állítás akkor is igaz, ha mindkét állítás igaz.

Példa:

Legyen a C összetett állítás a következő:
C: „Ősztől vagy a budapesti vagy a pécsi egyetemre fogok járni.”
A C állítás olyan összetett állítás, amelyik két egyszerű állításból a kizáró diszjunkció (kizáró vagy) műveletével jött létre, hiszen a két lehetőség kizárja egymást.

Bontsuk fel a C összetett állítást két egyszerű állításra!

A: ” Ősztől a budapesti egyetemre fogok járni..”
B: ” Ősztől a pécsi egyetemre fogok járni..”

C=A∇B.
A C állítás akkor igaz, ha a két egyszerű állítás, az A és B állítások közül az egyik és csak az egyik igaz.

A kizáró diszjunkció művelet tulajdonságai:

1. A kizáró diszjunkció művelete kommutatív (felcserélhető), vagyis: A∇B =B∇A.
A definíció értelmében az eredmény logikai értéke mindkét esetben csak akkor igaz, ha az egyik és csak az egyik állítás igaz, ez tehát nem függ az egyes állítások sorrendjétől.
2. A kizáró diszjunkció művelete asszociatív (csoportosítható), vagyis: (A∇B)∇C =A∇(B∇C).

Ennek belátásához készítsük el az alábbi igazságtáblázatot, amelyben az A, B és C állítások logikai értéke minden lehetséges módon figyelembe van véve.

A táblázat 5. és a 7 oszlopa sorról sorra megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a két összetett kijelentés, az (A∇ B)∇ C és az A∇(B∇C) kijelentések logikai értéke az A, B illetve C minden lehetséges logikai értékére azonos.

Tehát a kizáró diszjunkció művelete asszociatív.