A koordináta-geometriában gyakori feladat, hogy fel kell írni két adott ponton áthaladó egyenes egyenletét.

Legyenek ezek az ismert pontok P1 és P2 -vel jelölve, koordinátái: P1(x1;y1) és P2(x2;y2).
Ez a két pont meghatározza az egyenes irányát azaz egyenes irányvektorát: ​\( \vec{v}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}(x_2-x_1;y_2-y_1) \).
A két ismert ponton áthaladó egyenes egyenletének a felírásához felhasználhatjuk az egyenes irányvektoros egyenletét:

 v2x-v1y=v2x0-v1y0.

Itt x0 és y0 az ismert pontok egyikének koordinátái. Legyen ez P1. Így x0=x1 és y0=y1.
Az irányvektor koordinátái az adott két pont P1 és P2 koordinátáinak különbsége: v1= x2-x1 és  v2= y2-y1.
Helyettesítsük ezt be az egyenes irányvektoros egyenletébe: (y2-y1)⋅x-(x2-x1)⋅y=(y2-y1)⋅x1-(x2-x1)⋅y1.
Csoportosítsuk át az egyenletet! (y2-y1)⋅x-(y2-y1)⋅x1=(x2-x1)⋅y-(x2-x1)⋅y1.
Az (y2-y1) és az (x2-x1) tényezőket kiemelve kapjuk a két ponton áthaladó egyenes egyenletét:

  (y2-y1)⋅(x-x1)=(x2-x1)⋅(y-y1).

Példa: Adott két pont: P1(3;5) és P2(5;2).

A két ponton áthaladó egyenlet képletébe az adott pont koordinátáit behelyettesítve kapjuk az egyenes egyenletét: (2-5)⋅(x-3)=(5-3)⋅(y-5).
Vagyis: -3⋅(x-3)=2⋅(y-5). Azaz: -3⋅x+9=2⋅y-10. Ezt rendezve: -3⋅x-2⋅y=-19  és -1-gyel szorozva: 3⋅x+2⋅y=19 egyenletet kapjuk.

A két két pont által meghatározott vektor az egyenes irányvektora: : ​\( \vec{v}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}(5-3;2-5) \).
Azaz ​\( \vec{v}=(2;-3) \)​. Az egyenes normálvektora: ​\( \vec{n}=(3;2) \).
Az egyenes meredeksége, azaz iránytangense: m=-3/2=-1.5. Az egyenes irányszöge: ​\( ζ=tg^{-1}(-1.5)≈-56.31° \)
Az egyenes tengelymetszetei: Mx(19/3;0) és My(0;9.5)

Kiegészítés:

Alkalmazzuk a fenti összefüggést, ha a két ismert pont az egyenesnek x és az y tengelyen lévő metszéspontja.
Legyenek ezek: P1(a;0) és P2(0;b). Ekkor x1=a  és y1=0 valamint  x2=0 y2=b.
Ezt behelyettesítve a két ponton áthaladó egyenes egyenletébe:(b-0)⋅(x-a)=(0-a)⋅(y-0), vagyis b⋅(x-a)=-a⋅y így a b⋅x+a⋅y=a⋅b alakot kapjuk.
Ha a≠0 és b≠0, azaz a metszéspontok az origótól különböző pontok és az egyenesek nem párhuzamosak egyik koordináta tengellyel sem, akkor az egyenletet a⋅b-vel oszthatjuk. Ekkor az koordináta-tengelyeket P1(a;0) és P2(0;b) pontokban metsző egyenes egyenlete:

\( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \)​.

Print Friendly, PDF & Email