Függvények deriváltjainak és primitív függvényeinek összefoglaló táblázata: Függvény f(x) Derivált függvény f'(x) Primitív függvény ​\( \int{f(x)}dx \)​ Konstans fv. k(x) =a k’(x) =0 ​\( \int{a}dx=a·x+c \)​ Elsőfokú fv. l(x)= mx +b l’(x) =m \[ \int{mx+b}dx=m\frac{x^{2}}{2}+bx+c \] Másodfokú fv. m(x) = m2 m’(x) =2⋅x ​\( \int{x^{2} dx}=\frac{x^{3}}{3}+c \)​ Hatvány fv. h(x) =hxnTovább

A) Számtani sorozatok konvergenciája A számtani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (a1) és differenciája d. A hozzárendelési szabály: an=a1+(n-1)⋅d. A számtani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás  és határérték szempontjából. A sorozat differenciája d>0.  Ebben az esetben a sorozat alulról korlátos, alsó korlátja k=a1, felülről nem korlátos, szigorúan monoton nő ésTovább

Sorozatok közötti műveleteket úgy értelmezzük, hogy az adott műveletet a sorozatok elemei között hajtjuk végre. Műveletek: 1. Sorozat szorzása számmal 2. Sorozatok összege illetve különbsége 3. Sorozatok szorzata illetve hányadosa 1. Sorozat szorzása számmal Legyen a {bn} sorozat: b1; b2; b3; b4; … bn; .. Ezt egy „c” konstanssal szorozvaTovább

1. Feladat Határozzuk meg az ​\( a_{n}=\frac{n^3+2n+1}{2n^3-n^2+3} \)​ sorozat határértékét! Megoldás Osszuk el a számlálót és a nevezőt is n3-nel. Ekkor az algebrai tört számlálója  ​\( 1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3} \)​ lesz. Mivel ​\( \lim_{ n \to \infty }\frac{2}{n^2}=0 \; és \; \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n^3}=0 \)​, ezért ​\( \lim_{nx \to\infty}\left( 1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3} \right) =1 \)​.Tovább

Bevezető feladatok 1. Írjuk fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját: 2.5; 5/21; 10/9! Az eredmények: 2/5=0.1 pontos érték; ​\( \frac{5}{21}=0.2380952380…=0.\dot{2}3809\dot{5}….. \)​ ;  ​\( \frac{10}{9}=1.111111….=1.\dot{1} \)​ . 2. Hogyan írható fel a következő tizedes tört két egész szám hányadosaként?  ​\( 0.\dot{2}3\dot{8} \)​= ? Legyen ​\( x=0.\dot{2}3\dot{8} \)​. Ekkor ​\( 1000x=238.\dot{2}3\dot{8} \)​.Tovább

A függvény fogalma természetesen fokozatosan alakult ki az idők során. A függvény fogalma, és kialakulása is szorosan összefügg az analitikus (koordináta) geometria fejlődésével. Apollóniosz fő művében, a 8 kötetes Kónika-ban, a kúpszeletek (ellipszis, parabola, hiperbola) tárgyalásánál a kúpszeleteket egy ferde kettős körkúp síkmetszeteiként tárgyalta. Mivel mindent a kúpszeletek átmérőire vonatkoztatott,Tovább

Definíció: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz elemeihez valamilyen egyértelmű módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A H halmazt a függvény alaphalmazának, a K halmazt a függvény képhalmazának nevezzük. A H alaphalmaznak azt részhalmazát, amelyhez  a képhalmaznak valamely eleme hozzá lettTovább

Középiskolában függvényeket a következő szempontok szerint vizsgáljuk. Függvény értelmezési tartománya: A függvény változóinak halmaza, amelyekhez lett függvényérték rendelve. (Jele “g” nevű függvény esetén: Dg.) Példa: A mellékelt g: ℝ​→ℝ​, ​​\( g(x)=2\sqrt{x-4}-3 \)​ függvény esetén: Dg=ℝ\{x<4}. Másképp: Értelmezési tartomány: x∈ℝ|x≥4. Az értelmezési tartományt az ábrázolható függvények esetén a”x” (változó) tengely mutatja. Függvény értékkészlete:Tovább

Függvény értelmezési tartományának és értékkészletének meghatározásánál a függvény fogalmából indulunk ki. Definíció: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz elemeihez valamilyen egyértelmű módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A H halmazt a függvény alaphalmazának, a K halmazt a függvény képhalmazának nevezzük. Definíció:Tovább

Függvények periodikussága Definíció: Az f:H→ℝ x→f(x) függvény periodikus (ismétlődő), ha van olyan p>0 állandó valós szám (ismétlési tényező), hogy az  értelmezési tartomány minden x elemére f(x+p)=f(x). Ha az ilyen p konstans számok között létezik legkisebb, akkor azt a p konstanst a függvény periódusának nevezzük. Periodikus függvények a trigonometrikus függvények, a szinusz,Tovább