Hatványozás azonosságai

Hatványozás azonosságai:

1. ​\( (a·b)^{n}=a^{n}·b^{n} \)​ Egy szorzatot tényezőnként is lehet hatványozni.

2. ​\( \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n} \)​ Egy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy külön hatványozzuk a számlálót és külön a nevezőt.

3. ​\( \left(a^{n} \right) ^{k}=a^{n·k} \)​ Egy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

4. ​\( a^{n}·a^{m}=a^{n+m} \) Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.

5. ​\( \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \)​Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük.

Bizonyítások:

A bizonyításoknál a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmát alkalmazzuk.  A hatványozás fogalmának kiterjesztésekor ezek az azonosságok továbbra is érvényben vannak.  (Permanencia-elv.)

1. (a⋅b)ⁿ=(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅….⋅(a⋅b) n-szer a hatványozás definíciója szerint.
A jobb oldali kifejezésben a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján a tényezők más sorrendben írva:
(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅….⋅(a⋅b)=(a⋅a⋅a⋅…⋅a)(⋅b⋅b⋅b⋅b⋅….⋅b)
Ebben a szorzatban n-szer szorozzuk a-t és n-szer b-t. A hatványozás definíciója szerint ez =aⁿ⋅bⁿ.

2.  ​\( \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·…·\frac{a}{b} \) n-szer a hatványozás definíciója szerint.
A jobb oldali kifejezésben a törtekre vonatkozó szorzás és a szorzás asszociatív tulajdonsága szerint:
​\( \frac{a}{b}·\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·…·\frac{a}{b}=\frac{a·a·a·a·…·a}{b·b·b·b·…·b} \)​
Itt a számlálóban n-szer szorozzuk a-t önmagával és a nevezőben pedig n-szer b-t.
A hatványozás definíciója szerint ez =​\( \frac{a^n}{b^n} \)​.

3. (aⁿ)^k==aⁿ⋅aⁿ⋅ aⁿ⋅ aⁿ ⋅….⋅aⁿ n-szer.
Itt mindegyik tényezőt szorzat alakba írva:
a⋅a⋅a⋅….⋅a⋅a⋅a⋅a⋅….⋅a⋅a⋅a⋅a⋅….⋅a⋅….⋅a⋅a⋅a⋅…⋅a.
Ebben a szorzatban n⋅k-szor szerepel az a szorzótényezőül, ezért a hatványozás definíciója szerint=a^n⋅k.

4. aⁿ⋅a^m  Írjuk szorzat alakba az  aⁿ-t és az a^m-t is:
(a⋅a⋅a⋅….⋅a)⋅(a⋅a⋅a⋅a⋅….⋅a). Így n+m-szer szoroztuk össze önmagával az a-t. Ezért a hatványozás definíciója szerint:
(a⋅a⋅a⋅….⋅a)⋅(a⋅a⋅a⋅a⋅….⋅a)=a^n+m

5.  Azonos alapú hatványok  osztásakor az \( \frac{a^n}{a^m} \)   törtnél írjuk szorzat alakba a számlálót és a nevezőt is.
​\( \frac{a·a·a·a·…·a}{a·a·a·…·a} \)​. Egyszerűsítés után n-m számú tényező marad és ez a hatványozás definíciója szerint a^n-m alakba írható.

Feladat:

Egyszerűsítse a következő törtet! ​\( \frac{(ab)^2·(b^2)^3·a^4·b^7}{(a^2b)^3·(ab^3)^2} \)​.
A kifejezésnek csak akkor van értelme, ha a≠0, b≠0.

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 240. feladat.)

Megoldás:

A hatványozás azonosságait használva először bontsuk fel a zárójeleket! ​\( \frac{a^2·b^2·b^6·a^4·b^7}{a^6·b^3·a^2·b^6} \)​

Mind a számlálóban, mind a nevezőben vonjuk össze az azonos alapú hatványokat! ​\( \frac{a^6·b^{15}}{a^8·b^9} \)​

Az azonos alapú hatványok osztására vonatkozó azonosság szerint a végeredmény = ​\( \frac{b^6}{a^2} \)​