Hatvány fogalma pozitív egész kitevő esetén

Ha egy szorzat azonos tényezőkből épül fel, azt rövidebben hatványalakban írjuk fel. Bár a matematikusok már a középkorban is használták a hatványozást, de a középkorban Descartes volt az, aki elkezdte a hatványkitevők használatát, és a⋅a helyett ​\( a^{2} \)-t írt.

Definíció:

Az ​\( a^{n} \)​ olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a, ahol a tetszőleges valós szám, n pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám. Bármely valós szám első hatványa önmaga.

Formulával: \( a^{n} \)​=a· a· a· ….· a,  (n tényező) a∈ℝ, n∈ℕ\{0,1}. a1=a, a∈ℝ.

Az a-t a hatvány alapjának, n-t a hatvány kitevőjének, an pedig a hatványmennyiség (hatványérték), vagy röviden csak hatványnak mondjuk.

Példa: 25=2⋅2⋅2⋅2⋅2=32, vagy (-3)5=(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)=-243.

1n=1, azaz 1 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga.
(-1)n=1, ha n=páros, míg (-1)n=-1, ha n páratlan.
0n=0, azaz 0 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga.

Ebből a definícióból következnek a hatványozás azonosságai.

Itt csak felsorolásszerűen:

1. (a⋅b)n=an ⋅bn azaz egy szorzatot tényezőnként is lehet hatványozni.

2. (a:b)n=an:bn azaz egy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy külön hatványozzuk a számlálót, és külön a nevezőt.

3. (an)k=an⋅k azaz hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

4. an⋅am=an+m azaz azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.

5. an:am=an-m azaz azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.