Határértékszámítási feladatok

1. Feladat

Határozzuk meg az ​\( a_{n}=\frac{n^3+2n+1}{2n^3-n^2+3} \)​ sorozat határértékét!

Megoldás

Osszuk el a számlálót és a nevezőt is n3-nel.

Ekkor az algebrai tört számlálója  ​\( 1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3} \)​ lesz. Mivel ​\( \lim_{ n \to \infty }\frac{2}{n^2}=0 \; és \; \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n^3}=0 \)​, ezért ​\( \lim_{nx \to\infty}\left( 1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3} \right) =1 \)​.

Az algebrai tört nevezője  ​\( 2-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^3} \)​  lesz. Mivel  ​\( \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n}=0 \; és \; \lim_{ n \to \infty }\frac{3}{n^3}=0 \)​, ezért  ​\( \lim_{ n \to \infty }\left(2-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^3} \right) =2 \)​ .

Tehát: ​\( \lim_{ n \to \infty }\left( \frac{n^3+2n+1}{2n^3-n^2+3} \right) =\frac{1}{2} \)​.

Az alábbi animáció ezt mutatja:

Általánosítva:

Ha egy sorozat két „n” –ben algebrai polinom hányadosa akkor a következő esetek lehetségesek:

• Ha a számláló és a nevező fokszáma azonos, akkor a sorozat konvergens és határértéke a legmagasabb fokszámú tagok együtthatóinak a hányadosa.
• Ha a nevező fokszáma nagyobb, mint a számláló fokszáma, akkor sorozat konvergens és határértéke = 0
• Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, akkor a sorozat divergens lesz és a + vagy – végtelenhez fog tartani.

2. Feladat

Határozzuk meg a következő sorozat határértékét ​\( d_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \)​ !

(NTK 14311/43. oldal)

Szorozzuk meg és osszuk el a sorozatot  ​\( \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} \)​-nel!

\( d_{n}=\frac{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} \right) ·\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \right) }{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} \right) } \)​.

 

Ekkor az (a2 –b2) azonosság alkalmazásával: ​\( d_{n}=\frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}} \)​.

Mivel ​\( \lim_{n \to \infty }\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=+∞ \)​ és a számláló konstans, ezért  ​\( \lim_{ n \to \infty }\frac{2}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}=0 \).

3. Feladat

A „t” paraméter milyen értékei estén lesz konvergens az ​\( a_{n}=\left(\frac{t+4}{2t-3} \right)^n \)​ sorozat? (n=1; 2; 3;..;n;…).

(Összefoglaló feladatgyűjtemény Z/3659.)

Megoldás:

A feladat értelmezési tartománya: t≠1.5. (3/2), hiszen a nevező nem lehet nulla.

Egy {qn} sorozat csak akkor konvergens, ha -1<q≤1. Ekkor \lim_{ n \to \infty }q_{n}=0.

Ha -1<q< negatív, akkor a sorozat ugyan nem monoton (oszcilláló), de alulról és felülről is korlátos és határértéke nulla.

Ha 0<q≤1, akkor a sorozat szigorúan monoton csökken, alulról és felülről is korlátos. (k=0, K=q)

A feladat tehát a következő egyenlőtlenség-rendszer megoldását kívánja: ​\( -1<\frac{t+4}{2t-3}≤1 \)​.

A kifejezés, mint függvény egy lineáris törtfüggvény: ​\( f(t)=\frac{t+4}{2t-3}=\frac{1}{2}+\frac{5.5}{2(t-1.5)} \)​.
Az adott lineáris törtfüggvény szigorúan monoton csökkenő. Grafikonja hiperbola. Az y=1 egyenes az x=7. míg az y=-1 egyenes az x=-1/3 pontban metszik a görbét. A keresett megoldások a két párhuzamos által határolt sávban találhatók.

A monotonitásból következően az \( -1<\frac{t+4}{2t-3}≤1 \)​ egyenlőtlenség- rendszer eredményei: t1<-1/3, vagy t2≥7 .

Az \( a_{n}=\left(\frac{t+4}{2t-3} \right)^n \)​ sorozat tehát konvergens, ha t1<-1/3, vagy t2≥7 .

Megjegyzés: Ha t=-4, akkor a megadott sorozat konstans, hiszen a számlálója ekkor nulla.
Könnyen belátható, hogy t=7 esetén is konstans sorozatot kapunk, hiszen ekkor a számláló és a nevező is 11-gyel egyenlő. A konstans sorozat pedig konvergens.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.