A. Három ponttól egyenlő távolságra lenni.
Három különböző pont vagy egy egyenesre esik, vagy nem. Ha nem esnek egy egyenesre, akkor egy háromszöget, illetve egy síkot határoznak meg.
1. A három különböző pont egy egyenesre illeszkedik.
1.1 Adott három (A, B, C) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban.
Adott 3 különböző (A, B és C) pont, amelyik egy (e) egyenesre illeszkedik.
Az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az AB szakasz f1 felező merőlegese.
A B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az BC szakasz f2 felező merőlegese.
Mivel a három pont egy egyenesre esik, ezért az f1 és f2 felezőmerőlegesek párhuzamosak, tehát nincs közös pontjuk.
Ebben az esetben tehát nincs olyan pont, amely mindhárom ponttól egyenlő távolságban lenne a síkban.
1.2 Adott három (A, B, C) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.
Adott a térben 3 különböző (A, B és C) pont, amelyik egy (e) egyenesre illeszkedik.
Az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben az AB szakasz S1 felező síkja.
A B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az BC szakasz S2 felező síkja.
Mivel a három pont egy egyenesre esik, ezért az S1és S2 felezőmerőleges síkok párhuzamosak, tehát nincs közös pontjuk.
Ebben az esetben tehát nincs olyan pont, amely mindhárom ponttól egyenlő távolságban lenne a térben.
2. A három különböző pont nem illeszkedik egy egyenesre. Ebben az esetben egy háromszöget, így egy síkot határoznak meg.
2.1 Három adott nem egy egyenesbe eső ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Az adott három nem egy egyenesre illeszkedő (A, B, C) pontok háromszöget határoznak meg.
Az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő halmaza az AB szakasz felező merőlegese. (e)
A B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő halmaza a BC szakasz felező merőlegese. (f)
Mivel az AB és BC pontokon átmenő egyenesek nem párhuzamosak, ezért az AB és BC szakaszok felező merőlegesei metszik egymást. (M pontban)
Ez a pont az ABC pontok (háromszög) síkjában egyenlő távolságra van mindhárom ponttól.
2.2 Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.
Az adott B és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben az adott pontok által meghatározott (BC) szakasz felezőmerőleges síkja (S1)
Az adott A és C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben az adott pontok által meghatározott (AC) szakasz felezőmerőleges síkja (S2)
Mivel az AC és BC pontokon áthaladó egyenesek nem párhuzamosak, ezért az AC és BC szakaszok felezőmerőleges síkjai sem párhuzamosak, azaz metszik egymást. Az S1 és S2 síkok m metszésvonala egyenlő távol van a térben mindhárom adott ponttól.
B. Három egyenestől egyenlő távolságra lenni.
1. Ha a három adott egyenes párhuzamos egymással.
Adott 3 különböző (a, b és c) egyenes, amelyek párhuzamosak egymással.
Az a és b egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az adott a és b egyenesek síkjában az az egyenes, amelyik az adott egyenesekkel párhuzamos és a távolságukat felezi (p1 középpárhuzamos).
A b és c egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az adott b és c egyenesek síkjában az az egyenes, amelyik az adott egyenesekkel párhuzamos és a távolságukat felezi (p2 középpárhuzamos).
Mivel a három adott egyenes mindegyike párhuzamos egymással, ezért a p1 és p2 középpárhuzamosuk is párhuzamosak, tehát nincs közös pontjuk.
Ebben az esetben tehát nincs olyan pont, amely mindhárom ponttól egyenlő távolságban lenne a síkban.
2. A három adott egyenes közül kettő párhuzamos egymással.
Két adott egyenes (a és b) párhuzamosak, a harmadik adott egyenes (c) pedig metszi őket.
Ekkor a két párhuzamos (a és b) egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az p egyenes, amelyik az adott egyenesekkel párhuzamos és a távolságukat felezi (p középpárhuzamos).
A c és b metsző egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f1 és f2 szögfelező egyenesek.
Ezeknek a szögfelezőknek és az p középpárhuzamosnak az M1 és M2 metszéspontja egyenlő távolságra van mindhárom egyenestől.
(Az a és c egyenesek szögfelezői is ezekben a pontokban metszik a p középpárhuzamost.)
3. A három adott egyenes között nincs két párhuzamos egyenes.
3.1 A három adott egyenes egy pontban metszi egymást.
Az adott három egyenes (a, b és c) egy pontban (M) metszi egymást, akkor egyetlen pont van egyenlő távol az egyenesektől (0 távolságra), a három egyenes közös M metszéspontja.
3.2 A három adott egyenes három különböző pontban metszi egymást.
Adott három különböző egyenes (a, b, c) amelyek különböző pontokban metszik egymást.
Ekkor egy háromszöget határoznak meg.
Az a és b egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f1 és f2 szögfelező egyenesek.
Az a és c egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f3 és f4 szögfelező egyenesek.
A b és c egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f5 és f6 szögfelező egyenesek.
Az f1, f5, f4 szögfelezők metszik egymást az M1 pontban, a három egyenes által meghatározott háromszög belsejében. Ez a pont a háromszög beírt körének a középpontja.
Az f2, f4, f6 szögfelezők metszik egymást az M2 pontban Ez a pont a háromszög egyik hozzáírt körének középpontja.
Az f2, f3, f5 szögfelezők metszik egymást az M3 pontban Ez a pont is a háromszög egyik hozzáírt körének középpontja.
Az f1, f3, f6 szögfelezők metszik egymást az M4 pontban Ez a pont is a háromszög egyik hozzáírt körének középpontja.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.