Halmazok elemszáma, a logikai szita

Halmazok elemszámát tekintve alapvetően két eset van:

1. Véges elemszámú halmazok
2. Végtelen elemszámú halmazok

1. Véges halmazok számosságán elemeinek számát értjük.

Példák:

„A” halmaz: {Az ókori világ hét csodája}={Gízai piramisok; Szemiramisz függőkertje; Az epheszoszi Artemisz-templom; Pheidiasz olümpiai Zeusz-szobra; Halikarnasszoszi mauzóleum; Rodoszi kolosszus; Pharoszi világítótorony}
Az „A” halmaz elemszáma: |A|=7

http://latvanyossagok.hu/az-okori-vilag-7-csodaja/ 

„B” halmaz: {A világ hét új csodája}. {Chichén Itzá; Megváltó Krisztus szobra; Kínai Nagy Fal; Machu Picchu; Petra; Tádzs Mahal; Colosseum; }
A „B” halmaz elemszáma: |B|=7

https://hu.wikipedia.org/wiki/A_vil%C3%A1g_h%C3%A9t_%C3%BAj_csod%C3%A1ja

 

 

„D” halmaz: {Tejút rendszerben található csillagok száma}
|D|= véges szám, pontos értéke nem ismert.

 

 

„E” halmaz: {Földünkön valaha élt emberek száma}
|E|= véges szám, bár nem meghatározható.

Egyesített véges halmazok elemszáma – a logikai szita.

Egyesítsük a fenti „A” és „B” halmazt: C= A∪B={A világ régi és új csodái}
C={Gízai piramisok; Szemiramisz függőkertje; Epheszoszi Artemisz-templom; Pheidiasz olümpiai Zeusz-szobra; Halikarnasszoszi mauzóleum; Rodoszi kolosszus; Pharoszi világítótorony; Chichén Itzá; Megváltó Krisztus szobra; Kínai Nagy Fal; Machu Picchu; Petra; Tádzs Mahal; Colosseum}

Mivel az „A” és „B” halmaz egymáshoz viszonyítva diszjunkt halmazok (nincs közös elemük), ezért a „C” halmaz elemszáma az „A” és „B” halmazok elemszámának az összege:|C|=|A|+|B|=7+7=14.

Más a helyzet akkor, ha olyan halmazokat egyesítünk, amelyek nem diszjunktak.
K={20-nál kisebb páros számok halmaza}={0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;}. Így |K|=10
H={20-nál kisebb, hárommal osztható számok halmaza}={0; 3; 6; 9; 12;15; 18} |H|=7

Egyesítsük a „K” és „H” halmazokat:

C=K∪H={0; 2; 3; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 15; 16; 18}. Azaz |C|=13. Tehát |C|≠|K|+|H|=17.

Ennek oka, hogy a két halmaz közös elemeinek számát kétszer is számoltuk.
Mivel a „K” és „H” halmazok közös elemei: K∩H={0; 6; 12; 18}, vagyis |K∩H|=4
Tehát két véges elemszámú halmaz egyesítése után kapott halmaz elemszámára a következő formula ad helyes megoldást:

|K∪H|=|K|+|H|-|K∩H|.

Ezt a formulát hívjuk logikai szitának. A logikai szita diszjunkt halmazok esetén is alkalmazható, hiszen diszjunkt halmazok közös részének, metszetének elemszám = 0.


Tetszőleges három („A”; „B”; „C”´) véges elemszámú halmazok egyesítésekor a logikai szita a következő:

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

2. Vannak azonban olyan halmazok is, amelyeknek végtelen sok eleme van, ezek a végtelen elemszámú halmazok.

Gondoljunk csak a prímszámok vagy a természetes számok, vagy a valós számok halmazára.
A végtelen elemszámú halmazok számosságával kapcsolatban itt találsz információkat.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.