Halmazelméleti alapfogalmak

A geometriában megszokott szóhasználat, hogy az adott tulajdonságú pontok összességét adott tulajdonságú pontok halmazának (mértani helynek) mondjuk.

A halmaz olyan alapfogalom, amelyet igen tág értelemben, igen sok helyen használunk a matematikán kívül is.
A halmazelmélet, mint matematikai szakterülete azonban csak a XIX. század során kezdett kialakulni. Előfutára Richard Dedekind német matematikus volt.

A halmazelmélet megalapozója és megteremtője az 1870-es években a német Cantor volt. Ő a halmazokat úgy vizsgálta, hogy azokat függetlenítette elemeinek sajátosságaitól.

A halmazelmélet eredeti, un. “naiv” álláspontja szerint egy halmaz elemei bármiféle “dolgok” lehetnek. Már az időszakban kialakultak a halmazelmélet kezdeti megállapításai:

1. Egy halmazt egyértelműen meghatároznak az elemei.
2. Két halmaz akkor és csak akkor azonos, ha elemeik ugyanazok.
3. Egy halmazban egy dolog legfeljebb egyszer szerepelhet elemként.
4. Egy halmazt végesnek mondunk, ha elemei számát egy természetes számmal meg lehet adni.
5. Üres halmaznak mondjuk azt a halmazt, amelynek egyetlen dolog sem eleme. Az üres halmaz jele: ∅ ={}.

A halmazelméletben bevezették a halmaz részhalmaza fogalmát. Megfogalmazódtak a halmazműveletek (unió, metszet, különbség, halmazok direkt szorzata, stb.) és az egyes műveletek tulajdonságai.

A halmazműveleteket és a rájuk vonatkozó összefüggések szemléltetésére a Venn diagramokat használjuk, amelyet John Venn  angol matematikusról neveztek el.

A matematika és ezen belül a halmazelmélet fejlődésének jelentős állomása volt, amikor 1908 körül kialakult a halmazelmélet axiómarendszere.

A halmazelmélet nagy jelentőségét éppen annak köszönheti, hogy a matematika szinte minden ága kapcsolódik hozzá. A halmazelmélet döntő mértékben befolyásolta többek között az analízis, az algebra és a topológia fejlődését. A halmazelmélet a matematika szerteágazó területeit foglalja egységbe.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.