Halmazok megadása

A halmaz és a halmaz eleme (halmazhoz tartozás) fogalma a matematikában alapfogalom. Magát a fogalmat körülírhatjuk, de szabatos definíciót adni nem lehet.

Halmazok megadása

Egy halmazt megadhatunk utasítással, vagy elemeinek felsorolásával. A halmazokat nagy betűkkel jelöljük, a halmaz definícióját pedig kapcsos zárójelbe tesszük. Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha a definíció alapján bármiről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy eleme-e az adott halmaznak.

Példa halmazok megadására:

A={Az ókori világ hét csodája}={Rhodoszi kolosszus, Olymposzi Zeusz szobor,  Babilóniai függőkertek, Ephesosi Artemis templom, Pharosi világító_torony, Halikarnassosi mauzóleum, Egyiptomi piramisok.}

B={Prímszámok} B={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… }

T={A honfoglaló hét magyar törzs}={Nyék, Megyer, Kürt-Gyarmat, Tarján, Jenő, Kér, Keszi}.

K={O pont körüli r sugarú körvonal}, másképp: K={P|OP=r}

Ezek a definíciók jók, mert egyértelműek. Például 41 ∈ B-nek (∈: eleme), mert 41 prímszám, 1∉ B-nek. (∉: nem eleme), mivel az 1 nem prímszám.

Megadhatunk egy halmazt egy másik halmazzal (alaphalmaz) és egy tulajdonsággal, amely a halmaz elemeire igaz. Például: ℝ⁺={Pozitív valós számok halmaza.} definíció így is írható: ℝ⁺={x∈ ℝ|x>0}, ahol ℝ={A valós számok halmaza.}

Az „A” és „T” halmazok mindketten véges halmazok, hiszen 7 darab elemből állnak. Ezt úgy is jelöljük, hogy |A|=7.

Ha egy halmaznak nincs egyetlen eleme sem, akkor azt üres halmaznak mondjuk. Jele: Ø, vagy {}.
Megjegyzés: Az {0} halmaz nem üres halmaz, hanem egy elemű halmaz, amelynek az eleme a 0 szám.

Ha egy halmaznak végtelen sok eleme van, akkor azt a halmazt végtelen halmaznak mondjuk.

Halmazok egyenlősége

Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak. (Röviden: ha elemeik megegyeznek.)

Halmazok ábrázolása

A halmazok szemléletes ábrázolását a Venn-diagramokkal szoktuk szemléltetni John Venn angol matematikusról elnevezve.
A Venn-diagramokon általában valamilyen síkidomok (körök, ellipszisek vagy téglalap) jelképezik az egyes halmazokat.

A mellékelt ábrán az egyes számhalmazokat szemléltető Venn-diagram látható.

ℕ={Természetes számok halmaza.}
ℤ={Egész számok halmaza.}
ℚ={Racionális számok halmaza. }
ℚ*={Irracionális számok halmaza.}
T={Transzcendens számok halmaza.}
ℝ={Valós számok halmaza.}