Feuerbach-féle kör

Ez a kör a háromszögek oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain, a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjain halad át.

Pontosabban:

 

A háromszög oldalainak felezőpontjai, magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ennek a körnek a középpontja felezi a magasságpontot és a háromszög köré írt kör középpontját összekötő szakaszt. Sugara a háromszög köré írt kör sugarának a fele.

A kört már Euler is ismerte a XVIII. században, de Feuerbach-ról nevezték el, mert a XIX. században ő fedezte fel újra. Feuerbach megmutatta, hogy ez a kör érinti a háromszög oldalait (kívülről és belülről) érintő köröket.

Feladat:

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(3;6), B(6;0) és C(-3;0). Számítsa ki az oldalfelező pontokon átmenő kör egyenletét! Mutassa meg a háromszög valamelyik magasságáról, hogy talppontja rajta van ezen a körön. (Ez a háromszög Feuerbach köre.)

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3361. feladat.)

Készítsünk rajzot! Számítsuk ki az egyes oldalak felezőpontjainak koordinátáit!
CB felezőpontja: F1(1,5;0).
AB felezőpontja: F2(4,5;3).
AC felezőpontja: F3(0;3).

 

 

Az F₁, F₂, F₃ felezési pontok által meghatározott kör egyenletét legegyszerűbben úgy kaphatjuk meg, hogy ezeknek a pontoknak a koordinátáit behelyettesítjük a kör általános egyenletébe:
(x-u)²+(y-v)²=r².
(1,5-u)²+(0-v)²=r².
(4,5-u)²+(3-v)²=r².
(0-u)²+(3-v)²=r².
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: u=2,25, v=2,25, r²=5,625.
Tehát K(2,25;2,25), r=2,37. Így a kör egyenlete: (x-2,25)²+(y-2,25)²=5,625.

Mivel a BC oldal az x tengelyre esik, legegyszerűbb, ha az A csúcsból induló magasságvonal T talppontját határozzuk meg. Ennek a magasságvonalnak az egyenlete: x=3. A T talppont koordinátái tehát T(3;0).
Ennek a pontnak a koordinátái kielégítik a kör (x-2,25)²+(y-2,25)²=5,625. egyenletét, tehát a T pont illeszkedik erre a körre.