Elemi függvények deriváltjai

Függvény

Derivált függvénye

Konstans függvény: k(x) = c k’(x) =0
Elsőfokú függvény: l(x)= mx +b l’(x) =m
Másodfokú függvény: m(x) = x2 m’(x) =2x
m(x) = ax2+bx+c m’(x) =2x+b
Hatvány függvény: h(x) = xn h'(x)=n⋅xn-1
Négyzetgyök függvény: \( g(x)=\sqrt{x} \) \( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
N-edik gyök függvény: \( n(x)=\sqrt[n]{x} \) \( n'(x)=\frac{1}{n·\sqrt[n]{x^{n-1}}} \)
Fordított arányosság: \( f(x)=\frac{1}{x} \) \( f'(x)=-\frac{1}{x^2} \)
Exponenciális függvény: \( e(x)=a^x \)

\[ f'(x)=a^x⋅lna \]

  \( e(x)=e^x \) \( e'(x)=e^x \)
Logaritmus függvény: \( f(x)=log_{a}x \) \( f'(x)=\frac{1}{lna}·\frac{1}{x} \)
  f(x)=lnx \( f'(x)=\frac{1}{x} \)
Trigonometrikus függvények: s(x)=sinx s'(x)=cosx
c(x)=cosx c'(x)=-sinx
t(x)=tgx \( t'(x)=\frac{1}{cos^2x} \)
f(x)=ctgx \( f'(x)=-\frac{1}{sin^2x} \)

Megjegyzés:

Az abszolút érték függvény nem deriválható a töréspontban. Mindenhol máshol igen.
Ezért, ha egy abszolút érték függvényt kell deriválni, akkor célszerű a függvény felbontani.

Például:

Ábrázoljuk és deriváljuk az a(x)=2|x+1|-4 függvényt!

Megoldás:

a(x)=2|x+1|-4

A függvény töréspontja: x=-1.

A függvény felbontása, a függvény az abszolút érték nélkül: ​\( a(x)=2\left|x+1 \right|-4=\left\{\begin{array}{} 2x-2, & ha \; x≥-1 \\ -2x-6, & ha \; x<-1 \\ \end{array} \right\} \)​.

A függvény deriváltja: ​\( a'(x)=\left\{\begin{array}{} (2x-2)’=2, \; ha & x≥-1 \\ (-2x-6)’=-2, \; ha & x<-1 \\ \end{array} \right\} \)​.

A függvény deriváltja összevont alakban: a'(x)=2⋅sign(x+1)

 

a(x) és az a'(x) függvények grafikonja

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.