Diszjunkció, megengedő vagy logikai művelet

Nézzük a következő állítást!

Az “n”szám vagy páros vagy prím.
Ha az n=2, akkor az állítás igaz, hiszen páros is és prím is. Ha az n=9, akkor ez az állítás hamis, hiszen se nem páros, se nem prím. Ha n=4 vagy n=5, az állítás mindkét esetben igaz, hiszen a 4 páros, az 5 pedig prím szám.

Definíció:

A diszjunkció az a logikai művelet, amely két kijelentést (állítást) a “vagy” kötőszóval kapcsol össze megengedő értelemben egy összetett kijelentéssé (állítássá).
Jele: ∨

Jelöljön P és Q két logikai állítást. A P∨Q összetett állítás logikai értéke akkor igaz, ha P és Q állítások közül legalább az egyik igaz. A P∨ Q összetett állítás logikai értéke csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis.

A diszjunkció művelet igazságtáblázata:

P Q P∨Q
i i i
i h i
h i i
h h h

Megjegyzés:

1. A fenti táblázatban az “i” betű az igaz, a “h” betű a hamis logikai értéket jelenti. Szokás még ezt az igen/nem-mel (i/n) vagy az 1/0-val jelölni.
2. Ez a logikai művelet megengedi, hogy mindkét állítás igaz legyen, az összetett állítás ekkor is igaz. Ezért szokták ezt a logikai vagy műveletet megengedő vagy műveletnek nevezni, szemben a kizáró vagy műveletével, amikor az összetett állítás csak akkor igaz, ha a két állítás közül csak az egyik igaz.

Példa:

Legyen a C összetett állítás a következő:
C:Tegnap Budapesten vagy eső vagy hó esett.”
A C állítás olyan összetett állítás, amelyik két egyszerű állításból a diszjunkció (vagy) műveletével jött létre. Bontsuk fel a C összetett állítást két egyszerű állításra!

A: “Tegnap Budapesten esett az eső.”
B: “Tegnap Budapesten esett a hó.”

C=A∨B.
Ez az állítás csak akkor hamis, ha Budapesten nem esett sem eső, sem hó.
Nem zárható ki, hogy egy napon belül hó is és eső eshet, ezért  ez az állítás ebben az esetben is igaz.

A diszjunkció művelet tulajdonságai:

1. A diszjunkció művelete kommutatív (felcserélhető), vagyis: A∨ B=B∨ A.
A definíció értelmében az eredmény logikai értéke mindkét esetben csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis, minden más esetben igaz, ez tehát nem függ az egyes állítások sorrendjétől.

2. A diszjunkció művelete asszociatív (csoportosítható), vagyis: (A∨ B)∨C =A∨(B∨C).
Ennek belátásához készítsük el az alábbi igazságtáblázatot, amelyben az A, B és C állítások logikai értéke minden lehetséges módon figyelembe van véve.

A B C A∨B (A∨B)∨C B∨C A∨(B∨C )
i i i i i i i
i i h i i i i
i h i i i i i
i h h i i h i
h i i i i i i
h i h i i i i
h h i h i i i
h h h h h h h

A táblázat 5. és a 7 oszlopa sorról sorra megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a két összetett kijelentés, az (A∨B)C) és A∨(B∨C) kijelentések logikai értéke az A, B illetve C minden lehetséges logikai értékére azonos.

Tehát a diszjunkció művelete asszociatív.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.