Függvények deriváltjainak és primitív függvényeinek összefoglaló táblázata:
|
Függvény |
f(x) | Derivált függvény f'(x) | Primitív függvény \( \int{f(x)}dx \) |
| Konstans fv. | k(x) =a | k’(x) =0 | \( \int{a}dx=a·x+c \) |
| Elsőfokú fv. | l(x)= mx +b | l’(x) =m |
\[ \int{mx+b}dx=m\frac{x^{2}}{2}+bx+c \] |
| Másodfokú fv. | m(x) = m2 | m’(x) =2⋅x | \( \int{x^{2} dx}=\frac{x^{3}}{3}+c \) |
| Hatvány fv. | h(x) =hxn | h'(x)=nxn-1 | \( \int{x^{n} dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \) |
| Négyzetgyök fv. | \( g(x)=\sqrt{x} \) | \( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( \int{\sqrt{x} dx}=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+c \) |
| N-edik gyök fv. | \( n(x)=\sqrt[n]{x} \) | \( n'(x)=\int{\frac{1}{n\sqrt[n]x^{n-1}}} \) | \( \int{ }\sqrt[n]{x}dx=\frac{n}{n+1}\sqrt[n]{x^{n+1}}+c \) |
| Fordított a. fv. | \( f(x)=\frac{1}{x} \) | \( f'(x)=-\frac{1}{x^{2}} \) | \( \int{\frac{1}{x}dx }=ln\left|x\right| +c \) |
| Exp. fv. | f(x)=ex | f'(x)=ex | \( \int{e^{x}dx }=e^{x}+c \) |
| f(x)=ax | f'(x)=ax⋅ln(a) | \( \int{a^{x}dx }=\frac{1}{ln(a)}+c \) | |
| Logaritmus fv. | f(x)=ln(x) | \( f'(x)=\frac{1}{x} \) | \( \int{ln(x) dx}=x·ln(x)-x+c \) |
| f(x)=loga(x) | \( f'(x)=\frac{1}{x·ln(a)} \) | \( \int{log_{a}(x) dx}=\frac{x·ln((x)-x}{ln(a)}+c \) | |
| Trigonometrikus függvények | f(x)=sin(x) | cos(x) | \( \int{sin(x)dx }=-cos(x)+c \) |
| f(x)=cos(x) | -sin(x) |
\[ \int{cos(x) dx=sin(x)} +c\] |
|
| f(x)=tg(x) | \( f'(x)=\frac{1}{cos^{2}(x)} \) | \( \int{ }tg(x)dx=-ln\left|cos(x) \right| +c \) | |
| f(x)=ctg(x) | \( f'(x)=-\frac{1}{sin^{2}x} \) | \( \int{ ctg(x)dx}=ln\left|sin(x) \right| +c\) |
Deriválási szabályok
1. Konstansszoros: (cf(x))’ =c f’(x)
2. Összeg: (f(x)+g(x))’ = f’(x) +g’(x)
3. Szorzat: (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) +f(x)g’(x)
4. Hányados: \( c'(x)=\left [ \frac{f(x)}{g(x)}\right ] ‘=\frac{f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)}{g^2(x)} \), g(x)≠0.
5. Összetett függvény: \( \left [f(g(x)) \right ]’=f'(g(x))·g'(x) \).
Határozatlan integrálás szabályai:
1.Függvény konstans-szorosának integrálása: \( \int{c·f(x)dx }=c·\int{f(x)dx} \).
2. Függvények összegének integrálása: \( \int{\left\{ f(x)±g(x) \right\}dx}=\int{f(x)dx}±\int{g(x)dx } \) .
3. Függvény és derivált függvény szorzata: \( \int{f(x)·g'(x)dx }=f(x)·g(x)-\int{ f'(x)·g(x)dx} \). (Parciális integrálás.).
4. Összetett függvény és a belső derivált függvény szorzata: \( \int{f(g(x))·g'(x)dx }=F(g(x))+c \).
5. f'(x)/f(x) típusú hányados függvény integrálása: \( \int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx }=ln\left|f(x) \right| +c \).
A határozott integrálásra vonatkozó további szabályok:
6. Az intervallum tagolható illetve intervallumok összevonhatók: \( \int_{a}^{b}{f(x)}dx=\int_{a}^{c}{f(x)}dx+\int_{c}^{b}{f(x)}dx \).
7. Az intervallum határainak felcserélése: \( \int_{a}^{b}{f(x)}dx=-\int_{b}^{a}{f(x)}dx \).
8. Integrálás helyettesítéssel: \( \int_{g(a)}^{g(b)}{ f(x)dx}=\int_{a}^{b}{ f(g(t))·g'(t)dt} \).
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.