Csonkakúp felszíne

A csonkakúp felszínét a R sugarú alapkör, a r sugarú fedőkör és a palást területe adja.

Tétel:

A csonkakúp felszíne: A=π⋅[R2 +r2 +(R+r)⋅a] .

A felszín meghatározásához már csak a palást területének a meghatározására van szükség.
Az adott csonkakúpot egészítsük ki teljes kúppá. Ez a csonkakúp a hosszúságú alkotóját x hosszúságú szakasszal növeli meg.

Nyissuk fel a csonkakúpot, illetve a teljes kúpot is egyik alkotója mentén és terítsük ki síkba. (A kúp és a csonkakúp palástja síkba teríthető.)
A csonkakúp palástja egy olyan körgyűrű szelet, amelyiknek az egyik ívének hossza a fedőkör kerületével (2rπ), a másik ívének hossza az alapkör kerületével (2Rπ) egyenlő.

 

A csonkakúp palástját alkotó körgyűrű szelet két körcikk különbségeként állítható elő. Az egyik körcikk x sugarú és 2rπ ívű, a másik x+a sugarú és 2Rπ ívű. Felhasználva, hogy egy körcikk területe a sugár és az ív szorzatának a fele, ezért a két körcikk területe:
T1=x⋅r⋅π , és T2=(a+x)⋅R⋅π.

Így a palást területe: P=T2-T1 azaz P=π ⋅(R⋅a+R⋅x-r⋅x)=π⋅[R⋅a+x⋅(R-r)].

Ebben az összefüggésben azonban az x segédváltozó kifejezhető a megadott adatokkal (a, R, r). A mellékelt ábra jelöléseivel: K1AT és K2BT háromszögek hasonlók. Ebből következik a következő aránypár: r:x=R:(a+x).
Ezt szorzat alakba írva: x⋅R=r⋅(a+x).

Zárójelet felbontva: x⋅R=r⋅a+r⋅x.
Átrendezve: x⋅R-x⋅r=r⋅a.
A jobb oldalon x-t kifejezve: x⋅(R-r)=r⋅a.
A (R-r) tényezővel átosztva: (R≠r): x=(r⋅a)/(R-r).

A kapott eredményt a palást területére kapott P=π⋅[R⋅a+x⋅(R-r)] kifejezésbe helyettesítve és (R-r) tényezővel egyszerűsítve: P=π⋅[R⋅a+a⋅r].

A csonkakúp felszíne tehát a A=R2⋅π+r2⋅π +P alapján a P-re kapott kifejezést felhasználva: A=R2⋅π +r2⋅π +π⋅[R⋅a+a⋅r].

A jobboldalon π -t kiemelve: A=π⋅[R2 +r2 +R⋅a+a⋅r].

Ezt követően még a R⋅a+r⋅a tagokból a-t is kiemelve kapjuk a tétel állításában szereplő kifejezést:

A csonkakúp felszíne: A=π⋅[R2 +r2 +(R+r)⋅a]

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.