Adott meredekségű egyenes egyenlete

Adott az egyenes egy pontja: P0(x0;y0) és adott az egyenes irányvektora: \( \vec{v}(v_1;v_2) \)​ .

Az egyenes irányvektoros egyenletéből indulunk ki, amely a következő: v2x-v1y=v2x0-v1y0 az alábbi animációs ábra  jelölései szerint.
Egyenes iránytangense csak akkor létezik, ha az egyenes nem párhuzamos az y tengellyel. Ebben az esetben az egyenes irányvektorának első koordinátája biztosan nem nulla, azaz v1≠0.

Ekkor az egyenes iránytangensét az irányvektor második és első koordinátájának hányadosaként értelmezzük, azaz m=v2/v1 (v1≠0).

Mivel az egyenes irányvektora tetszőleges, az egyenessel párhuzamos vektor, az irányvektor első koordinátáját tekinthetjük 1-nek (v1=1), azaz  ​\( \vec{v}(v_{1},v_{2}) \)​.
Ekkor m=v2/v1 definícióból m=v2 adódik, azaz  ​\( \vec{v}(1,m) \)​v(1; m).
Ezt felhasználva az egyenes irányvektoros  v2x-v1y=v2x0-v1y0 egyenletében: mx-y=mx0-y0.

Ezt rendezve: y-y0=m(x-x0) alakot kapjuk. Ezt nevezzük az egyenes iránytényezős alakjának.

Kiegészítés:

A fenti egyenletet y-ra rendezve: y=m⋅x+y0-mx0.

Ez az adott P0(x0;y0) ponton átmenő és adott m=v2/v1 (v1≠0) meredekségű egyenes egyenlete

Ha itt az y0-mx0 tagot b-vel jelöljük, akkor az egyenes egyenlete y=mx+b alakú lesz.
Itt az m iránytangens (meredekség) az x együtthatója, a b állandó pedig megmutatja, hogy hol metszi az egyenes az y tengelyt.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.