A π közelítő szerkesztése

Bár euklideszi módon nem lehet a π-t előállítani, több jó közelítő szerkesztési eljárás is született a π szerkesztésére.

Az egyik legismertebb ezek közül a XVII. században élt lengyel Adam Kochanski-tól származik.

 

Vegyünk fel egy egységnyi sugarú kört, húzzuk meg az egyik átmérőjét!
A mellékelt ábra szerint AB átmérő, és OA=r=1.

 

 

Az átmérő egyik végpontjába (mondjuk B) húzzunk egy érintőt, és ugyanebből a pontból mérjük fel az OA=r=1 húrt. Kapjuk a C pontot.
A konstrukcióból látszik, hogy az OBCΔ szabályos háromszög.

 

 

Húzzuk meg ennek a BC húrnak a szakaszfelező merőlegesét. Ez kimetszi az érintő meghosszabbításán a D pontot.

 

A D pontból kiindulva mérjük rá az érintőre a B pont irányába háromszor az OA=r=1 sugárnyi távolságot. Így kapjuk az E pontot

 

 

Az E pontot az átmérő másik (A) végpontjával összekötve, a kapott EA szelő szakasz hosszúsága megközelíti a π értékét.
Ennek belátásához a Pitagorasz tételén és esetleg a hegyesszögekre vonatozó szögfüggvényen kívül nincs másra szükség.

Mivel a BOCΔ háromszög szabályos, ezért a BOD∠ =30°. A BOD derékszögű háromszögben OB=1, így BD=tg30°. BD szakasz hossza tehát: BD= ​\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)​, ami persze irracionális szám.

EB=ED-BD összefüggésben ED=3, így EB=​\( 3-\frac{\sqrt{3}}{3} \)​.
Az EBA derékszögű háromszögben, ahol BA=2, felírva a Pitagorasz tételét: ​\( EA=\sqrt{EB^{2}+BA^{2}} \)​. Azaz ​\( EA=\sqrt{\left(3-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2+4 }≈ π \)​.

Ugyanis ezt az értéket kiszámolva: EA≈ 3.141533339… értéket kapjuk.
Ha ezt összehasonlítjuk a π közelítő értékével, ami π ≈ 3.141592653589…., akkor láthatjuk, hogy 4 tizedesre egyezik a két érték.
Adam Kochanski szerkesztése tehát 4 tizedes pontossággal adja a π értékét.