Feladatok
1. Határozzuk meg az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényét!
Megoldás: F(x)=0.25x2+3x+c, azaz \( F(x)=\int{ }\left\{0.5x+3 \right\}dx =0.25x^{2}+3x+c \)
Ellenőrzés: F’(x)={0.25x2+3x+c}’=0.5x + 3.
2.Ábrázoljuk a következő függvényt: f(x)=0.5x + 3!
A grafikon segítségével számítsuk ki a [0;4] intervallumon a függvény alatti trapéz területét!
Megoldás:
A trapéz párhuzamos oldalai 3 és 5 egység, magassága 4 egység, így T=16.
Ez azt jelenti, hogy \( \int_{0}^{4}\left(0.5x+3\right)dx=16 \) .
3. Fejezzük ki az f(x)=0.5x+3 függvény alatti területet a [0;x] intervallumban!
Megoldás:
Az így kapott trapéz párhuzamos oldalai 3 és 0.5x+3, magassága (a két párhuzamos oldal távolsága) pedig x egység.
Így a trapéz területe: \( T(x)=\frac{\left(3+0.5x+3 \right)·x }{2}=0.25x^{2}+3 \).
A kapott kifejezés (terület függvény) megegyezik az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényével.
Úgy tűnik tehát, hogy kapcsolat van a határozott integrál és a primitív függvény között.
A fenti kifejezést általánosíthatjuk is:
Definíció:
Legyen a az f:R→R az [a; b] intervallumon integrálható függvény, így az „f” függvény integrálható az [a; b] intervallum egy [a;x] részintervallumán (a<x<b) is.
Ekkor az \( F(x)=\int_{a}^{x}{ f(t)}dt \) függvényt az „f” függvény integrálfüggvényének nevezzük.
Tétel:
Ha az „f” függvény az [a;b] intervallum minden pontjában folytonos. Ekkor az „f” függvény integrálható és az integrálfüggvény az [a;b] intervallumon minden pontban differenciálható és F’(x)= f(x).
Ez a tétel az integrálszámítás alaptétele – a Newton–Leibniz -tétel teremt kapcsolatot a differenciálszámítás és az integrál számítás között.
Feladat: Határozzuk meg az f(x)=x2 függvény F(x) primitív függvényét!
Megoldás: \( F(x)=\frac{x^{3}}{3}=\int{x^{2}dx } \). Hiszen \( F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}+c\right)’=x^{2} \) .
Számítsuk ki az F(x) primitív függvény értékét (c=0 esetén) az x=1 helyen: \( F(1)=\frac{1^{3}}{3}=\frac{1}{3} \) .
Ezt az értéket kaptuk a parabola alatti terület mértékeként.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.