A határozott integrál és a primitív függvény

Feladatok

1. Határozzuk meg az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényét!

Megoldás: F(x)=0.25x2+3x+c, azaz ​\( F(x)=\int{ }\left\{0.5x+3 \right\}dx =0.25x^{2}+3x+c \)

Ellenőrzés: F’(x)={0.25x2+3x+c}’=0.5x + 3.

2.Ábrázoljuk a következő függvényt: f(x)=0.5x + 3!

A grafikon segítségével számítsuk ki a [0;4] intervallumon a függvény alatti trapéz területét!

Megoldás:

A trapéz párhuzamos oldalai 3 és 5 egység, magassága 4 egység, így T=16.

Ez azt jelenti, hogy ​\( \int_{0}^{4}\left(0.5x+3\right)dx=16 \)​ .

3. Fejezzük ki az f(x)=0.5x+3 függvény alatti területet a [0;x] intervallumban!

Megoldás:

Az így kapott trapéz párhuzamos oldalai 3 és 0.5x+3, magassága (a két párhuzamos oldal távolsága) pedig x egység.

Így a trapéz területe: ​\( T(x)=\frac{\left(3+0.5x+3 \right)·x }{2}=0.25x^{2}+3 \)​.

A kapott kifejezés (terület függvény) megegyezik az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényével.
Úgy tűnik tehát, hogy kapcsolat van a határozott integrál és a primitív függvény között.

A fenti kifejezést általánosíthatjuk is:

Definíció:

Legyen a az f:R→R az [a; b] intervallumon integrálható függvény, így az „f” függvény integrálható az [a; b] intervallum egy [a;x] részintervallumán (a<x<b) is.
Ekkor az ​\( F(x)=\int_{a}^{x}{ f(t)}dt \)​ függvényt az „f” függvény integrálfüggvényének nevezzük.

Tétel:

Ha az „f” függvény az [a;b] intervallum minden pontjában folytonos. Ekkor az „f” függvény integrálható és az integrálfüggvény az [a;b] intervallumon minden pontban differenciálható és F’(x)= f(x).

Ez a tétel az integrálszámítás alaptétele  – a NewtonLeibniz -tétel teremt kapcsolatot a differenciálszámítás és az integrál számítás között.

Feladat: Határozzuk meg az f(x)=x2 függvény F(x) primitív függvényét!

Megoldás:\( F(x)=\frac{x^{3}}{3}=\int{x^{2}dx } \)​. Hiszen ​\( F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}+c\right)’=x^{2} \)​ .

Számítsuk ki az F(x) primitív függvény értékét (c=0 esetén) az x=1 helyen: ​\( F(1)=\frac{1^{3}}{3}=\frac{1}{3} \)​ .

Ezt az értéket kaptuk a parabola alatti terület mértékeként.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.