Háromszög belső szögfelezői

Tétel:

A háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást.

Bizonyítás:

Tudjuk, hogy a szögfelező félegyenes azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szög száraitól.
Tekintsük a mellékelt ABC háromszöget ahol meghúztuk az A csúcsból induló f_a és a B csúcsból induló f_b belső szögfelezőt. Az f_a szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög AC és AB oldalaitól. Az f_b szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög AB és BC oldalaitól. A két szögfelező metszi egymást egy M pontban.

Mivel M pont rajta van az f_a szögfelezőn, ezért egyenlő távol van AB és AC oldalaktól, de rajta van f_b szögfelezőn is, tehát egyenlő távol van AB és BC oldalaktól is.
Ez azt jelenti, hogy az M pont egyenlő távol van a háromszög mindhárom oldalától, ezért az M pontnak illeszkednie kell a C csúcsból induló f_c szögfelezőre.

Így beláttuk, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást.

Ez a pont a háromszög oldalait érintő beírt kör középpontja. A beírt kör sugarát megkapjuk, ha a szögfelezők metszéspontjából merőlegest bocsátunk a háromszög oldalaira.

Alkalmazás, következmény:

1. Az „a” „b” befogójú és a „c” átfogójú derékszögű háromszög esetén igaz a következő összefüggés:

c=a-r+b-r= a+b-2⋅r

2. A háromszög területe (T), kerülete (K) valamint a háromszög beírt köre sugara (r_b) hossza között fennáll a következő összefüggés: ​\( T=\frac{K}{2}·r_{b} \)​.  Bevezetve az ​\( s=\frac{K}{2} \)​ jelölést , háromszög területére a következő összefüggést kapjuk: T=s⋅r_b.

Ez könnyen belátható.

A beírt kör „M” középpontja az ABC háromszöget olyan három darab háromszögre bontja (ABM, BMC és a CAM háromszögek), amelyek magassága mindhárom esetben az r_b sugár. Ezen háromszögek területei:
​\( T_{ABM}=\frac{c·r_{b}}{2} \)​, ​\( T_{BCM}=\frac{a·r_{b}}{2} \)  ​, ​\( T_{CAM}=\frac{b·r_{b}}{2} \)​.

Ezek összege az eredeti ABC háromszög területe: T_ABC=T_ABM+T_BCM+T_CAM.

\[ T_{ABC}=\frac{c·r_{b}}{2}+\frac{a·r_{b}}{2}+\frac{b·r_{b}}{2}=\frac{(a+b+c)·r_{b}}{2}=\frac{K·r_{b}}{2}=s·r_{b}​ \]

​Megjegyzés: A háromszögek egy belső, valamint a nem mellette levő külső szögeinek szögfelezői is egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög hozzáírt körének a középpontja, amely kör a háromszög oldalain kívül helyezkedik el és érinti a háromszög oldalait illetve azok meghosszabbításait.  Minden háromszögnek tehát egy beírt és három hozzáírt köre van.