A gyök2 irracionális szám

Állítás: A ​\( \sqrt{2} \)​ irracionális szám

Indirekt bizonyítás, azaz azt fogjuk bizonyítani, hogy nem lehet racionális. A bizonyítás Eukleidész-től származik.

Bizonyítás:

Tételezzük fel, hogy \( \sqrt{2} \)  racionális, azaz \( \sqrt{2} \)=​\( \frac{a}{b} \)​, ahol a, b egész számok, és b≠0. Azt is feltételezhetjük, hogy (a,b)=1, azaz egymáshoz képest relatív prímek, azaz a tört tovább nem egyszerűsíthető. 

\( \sqrt{2} \)=\( \frac{a}{b} \)egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve

\( 2=\frac{a^2}{b^2} \)​ Az egyenlőséget b2-tel szorozva2b2= a2.

Tehát a2 osztható 2-vel, azaz páros szám, de akkor “a” is az, így a=2c, így a2=4c2.

Ebből: 2b2=4c2, azaz b2=2c2.

Azaz b2 is páros szám lenne, ami nem lehetséges, hiszen feltételeztük, hogy a és b egymáshoz képest relatív prímek.

Ellenmondásra jutottunk, a kiinduló feltételezésünk hibás, \( \sqrt{2} \)  nem lehet racionális szám.

Tehát a  \( \sqrt{2} \)  irracionális szám.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.