Állítás: A \( \sqrt{2} \) irracionális szám
Indirekt bizonyítás, azaz azt fogjuk bizonyítani, hogy nem lehet racionális. A bizonyítás Eukleidész-től származik.
Bizonyítás:
Tételezzük fel, hogy \( \sqrt{2} \) racionális, azaz \( \sqrt{2} \)=\( \frac{a}{b} \), ahol a, b egész számok, és b≠0. Azt is feltételezhetjük, hogy (a,b)=1, azaz egymáshoz képest relatív prímek, azaz a tört tovább nem egyszerűsíthető.
\( \sqrt{2} \)=\( \frac{a}{b} \)egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve
\( 2=\frac{a^2}{b^2} \) Az egyenlőséget b2-tel szorozva: 2b2= a2.
Tehát a2 osztható 2-vel, azaz páros szám, de akkor „a” is az, így a=2c, így a2=4c2.
Ebből: 2b2=4c2, azaz b2=2c2.
Azaz b2 is páros szám lenne, ami nem lehetséges, hiszen feltételeztük, hogy a és b egymáshoz képest relatív prímek.
Ellenmondásra jutottunk, a kiinduló feltételezésünk hibás, \( \sqrt{2} \) nem lehet racionális szám.
Tehát a \( \sqrt{2} \) irracionális szám.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.